(SKKN 2022) Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để giải và biện luận một số dạng toán về phương trình, bất phương trình

MỤC LỤC 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Đối tượng khảo sát thực nghiệm Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Dạng 1: Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm y  f   x  để biện Trang 1 1 2 2 2 luận nghiệm bất phương trình Loại 1: Bài toán cho bảng biến thiên hàm số y  f   x  Loại 2: Bài toán cho đồ thị hàm số y  f   x  Dạng 2: Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm y  f   x  để biện luận nghiệm phương trình Loại 1: Sử dụng tính đơn điệu hàm số y  f  x  Loại 2: Tìm hàm số y  f  x  dạng tường minh Dạng 3: Cho bảng biến thiên, đồ thị hàm số y  f  x  để biện luận 12 14 bất phương trình Loại 1: Khơng chứa tham số m Loại 2: Chứa tham số m 2.4 Hiệu thực KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Danh mục sáng kiến kinh nghiệm Hội đồng chấm sáng 14 15 18 19 21 kiến kinh nghiệm cấp ngành xếp loại từ C trở lên TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ HÀM SỐ y  f  x  ĐỂ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Kể từ năm học 2017 trở đi, GD&ĐT đổi việc kiểm tra đánh giá lực học sinh việc chuyển đổi hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm nhiều mơn, có mơn tốn Việc dạy học tổ chức thi theo hình thức tự luận chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm, tạo nhiều thay đổi trình giảng dạy học tập Với việc đề thi trắc nghiệm có nhiều dạng tốn phát sinh, nhiều kiểu câu hỏi lạ… Nó ln đặt u cầu cho giáo viên phải tìm hiểu, rèn luyện, tìm phương án tối ưu cho việc giảng dạy để đạt hiệu tối ưu việc truyền tải kiến thức cho học sinh kỹ làm thi trắc nghiệm Trong chương trình tốn THPT chương hàm số chương trọng tâm, chứa số lượng câu hỏi ma trận đề lớn Chương hàm số chứa nhiều kiến thức quan trọng, chiếm phần lớn số lượng tiết dạy theo phân phối chương trình chung Mỗi năm, có nhiều câu hỏi hay, lạ phải sử dụng kiến thức chương hàm số để thực Năm 2019 GD&ĐT đề thi minh họa cho kỳ thi THPT quốc gia nhằm định hướng cho giáo viên, học sinh cách ôn tập hợp lý Đề minh họa mơn Tốn năm giới thiệu số dạng toán, cách đề dựa chất ứng dụng tính đơn điệu hàm số Nếu tập trung vào phương pháp cũ, học sinh gặp nhiều khó khăn trình giải tốn, rơi vào phương án nhiễu đề Với lí trên, tơi định chọn đề tài: “Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số y  f   x  để giải biện luận số dạng toán phương trình, bất phương trình” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu ứng dụng tính đơn điệu hàm số việc giải toán phương trình, bất phương trình - Đưa phương pháp giải hợp lý cho toán, dạng toán cụ thể 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các toán giải phương trình, bất phương trình cho trước đồ thị hàm số y  f  x , y  f  x  1.4 Đối tượng khảo sát, thực nghiệm - Tìm hiểu sâu tính đơn điệu hàm số dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  , y  f  x  Kết hợp yêu cầu toán để sử dụng tính đơn điệu hàm số cách hợp lý 1.5 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu liên quan đến ứng dụng tính đơn điệu hàm số, đề thi thử THPT quốc gia năm 2019 từ đưa hướng giải cho toán dạng NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong đề thi THPT Quốc gia năm tốn giải phương trình, bất phương trình thiếu, học sinh toán lại toán tương đối khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất hàm số, phương pháp biến đổi tương đương hệ Nhiều em học sinh cịn bỡ ngỡ, gặp khó khăn việc tìm hướng giải cho tốn Nếu toán phân dạng, xếp theo quy tắc định, em dễ tiếp cận tự tin đối mặt với toán dạng đề thi tới Do vậy, viết đề tài nhằm đưa hướng tiếp cận toán giải phương trình, bất phương, phương pháp giải dạng tốn lạ, độ khó cao vừa xuất sau có đề minh họa giáo dục đào tạo Đồng thời khai thác, phát triển toán ứng dụng, dựa toán đề minh họa đề thi thử THPT Quốc gia 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi học đến lớp 12, học sinh – giỏi tiếp cận với bảng biến thiên – đồ thị hàm số y  f  x  , nhiên làm gặp tốn có tham gia đồ thị hay bảng biến thiên hàm số y  f   x  đa số em bở ngỡ, lạ lẫm Mặt khác dạng toán bày thường với loại tốn tương đối khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất hàm số, phương pháp biến đổi tương đương hệ Nếu toán phân dạng, xếp theo quy tắc định, em dễ tiếp cận tự tin đối mặt với toán dạng đề thi tới 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Tôi viết đề tài nhằm đưa hướng tiếp cận tốn giải phương trình, bất phương trình thơng qua đồ thị hàm y  f   x  , dạng toán lạ với cách cho giả thiết có độ khó cao vừa xuất sau có đề minh họa giáo dục đào tạo Đồng thời khai thác, phát triển toán ứng dụng, đưa hướng dự đoán đề thi THPT quốc gia dựa toán đề minh họa Dạng 1: Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm y  f   x  để biện luận nghiệm bất phương trình Loại 1: Bài toán cho bảng biến thiên hàm số y  f   x  Ví dụ [ĐỀ MINH HỌA BGD NĂM 2019] Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên sau x Bất phương trình f  x   e  m với x   1;1 e A m  f  1  e B m  f  1  e D m  f  1  e C m  f  1  Nhận xét: Đây dạng toán hàm ẩn lạ mắt, lần đầu xuất đề minh họa năm 2019 giáo dục đào tạo Nhìn vào đề nhiều em bối rối việc định hướng phương pháp giải tốn Trước thường xuất toán sử dụng bảng biến thiên hàm y  f   x  để xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số, chưa sử dụng bảng biến thiên để biện luận bất phương trình Về mặt chất, hướng phát triển người đề việc ứng dụng phương pháp hàm số giải phương trình Bài tốn sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số y  f   x  để xét đơn điệu hàm số khoảng đó, từ đưa kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số khoảng xác định Lời giải Chọn C x x Ta có: f ( x)  e  m , x   1;1  f ( x)  e  m , x   1;1 Xét hàm số g ( x)  f ( x)  e x , ta có: g ( x)  f ( x)  e x ' Dựa vào bảng biến thiên f  x  ta thấy x   1;1 f ( x)  , e x  nên g ( x)  f ( x)  e x  , x   1;1 Hàm số g  x  nghịch biến  1;1 liên tục  1,1 e e f  x   e x   g  1  f (1)  Do đó: m  f (1)   Suy ra: max  1,1   Phương pháp giải Bước 1: Cô lập m chuyển toán dạng f  x   m ; f  u  x    m ; f  x   m   ,   f  x   m, Bước 2: Tùy theo yêu cầu cụ thể toán mà kết luận max  a; b  f  x   m  a;b  Ví dụ [CHUYÊN SƠN LA NĂM 2019 – LẦN 1] Cho hàm số y  f  x  liên tục ¡ có đồ thị y  f   x  có bảng biến thiên sau: Bất phương trình f  x   e x  m với x   1;1 A m  f    B m  f  1  e C m  f    D m  f  1  e Lời giải Chọn C Ta có: f  x   e x  m, x   1;1  f  x   e x  m, x   1;1 2 Xét hàm số g ( x)  f ( x)  e x Hàm số g  x  liên tục  1;1 2 Ta có: g ( x)  f ( x)  xe x  f '  x    x   1;0    Ta thấy   g ( x)  f ( x)  xe x  x2 2 xe   f '  x   x   0;1    g ( x)  f ( x)  xe x  x2  xe  g ( x)   f ( x)  xe x  x  Ta có bảng biến thiên Điều kiện để bất phương trình f  x   e x  m với x   1;1   m  max f  x   e x  1;1   m  g  0  m  f  0  Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy hai tốn gần tương tự cho kết lại trái ngược, dẫn đến rối loạn lập luận em học sinh Câu hỏi lớn đặt là: Khi dùng dấu “  ”? dùng “  ” ? Trả lời câu hỏi giúp học sinh tháo gỡ khó khăn, vướng mắc loạt tốn này, toán phát triển, biến tướng Đối với lớp tốn kiểu ta dùng phương pháp hàm số với lưu ý rằng: Xét bất phương trình f  x   m với x   a, b  +) Trường hợp f  x  đơn điệu ( f   x  không đổi dấu)  a, b  hàm f  x  liên f  x   m (bản chất f  x  đạt giá tục  a, b yêu cầu toán trở thành max  a , b trị lớn điểm x0   a, b  ) +) Trường hợp f  x  đạt giá trị lớn điểm x0   a, b  u cầu tốn trở f  x  m thành max  a , b g  x  h m +) f  x, m   0, x  K  g  x   h  m  , x  K  Min K g  x  h m +) f  x, m   0, x  K  g  x   h  m  , x  K  Max K +) f  x, m   có nghiệm K  f  x, m    g  x   h  m  , x  K  max g  x   h  m  K +) f  x, m   có nghiệm  f  x, m    g ( x)  h  m  , x  K K  g  x   h  m  K Ví dụ Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên sau   cos x Bất phương trình f  x    3m với x   0;   1 2     A m   f    2 B m   f     C m   f   1 3 1     1     D m   f   1     Lời giải Chọn A     cos x cos x Ta có f  x    3m x   0;   f  x    3m x   0;   2  2    cos x Xét hàm g  x   f  x    0;   2 cos x Ta có g   x   f   x   sin x.ln       Vì f   x   x   0; ; sin x  x   0;   2cos x sin x.ln  x   0;   2  2  2   cos x nên ta suy g   x   f   x   sin x.ln  x   0;   2 Vậy ta có bảng biến thiên    cos x Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình f  x    3m với x   0;   2 g    3m  3m  f     m   f    2 Nhận xét: Mở rộng tốn trên, ta hồn tồn áp dụng phương pháp bất phương trình f  u  x    m; f  u  x    f  m  hay với tốn có dấu  ; ;   Bài tập tương tự Câu [SGD ĐÀ NẴNG 2019] Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên hình Bất phương trình x f  x   mx  nghiệm với x   1;2019  A m  f  1  Câu B m  f  1  C m  f  2019   2019 D m  f  2019   2019 [THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH 2019 – LẦN I] Cho f  x  mà hàm số y  f '  x  có bảng biến thiên hình vẽ bên Tất giá trị tham số m để bất phương trình m  x  f  x   x3 nghiệm với x   0;3 [CỤM TP VŨNG TÀU 2019] Cho hàm số y  f ( x) Hàm số y  f ( x) có A m  f   Câu B m  f   C m  f  3 D m  f  1  bảng biến thiên sau: Bất phương trình f ( x)  x  e  m với x   3,0  khi: A m  f (3)  e  B m  f (0)  e Câu C m  f (3)  e  D m  f (0)  e [CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN – ĐIỆN BIÊN - 2019] Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên sau: x Bất phương trình f  x    m với x   1;1 A m  f  1  Câu B m  f  1  2 C m  f  1  D m  f  1  Cho hàm số y  f  x  Có bảng xét dấu đạo hàm sau: Bất phương trình f  x   e x 2x  m x   0;  khi e e A m  f  1  B m  f  1  C m  f    D m  f    Loại 2: Bài toán cho đồ thị hàm số y  f   x  Ví dụ [ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019 – MÃ ĐỀ 101] Cho hàm số f  x  , hàm số y  f   x  liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f  x   x  m ( m tham số thực) nghiệm với x   0;2  A m  f    B m  f   C m  f    D m  f   Lời giải Chọn B Ta có f  x   x  m, x   0;2   m  f  x   x, x   0;2   * Dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ta có với x   0;2  f   x   Xét hàm số g  x   f  x   x khoảng  0;2  Ta có g   x   f   x    0, x   0;2  Suy hàm số g  x  nghịch biến khoảng  0;2  Do  *  m  g    f   Nhận xét: So với đề minh họa toán đề thi thật khác cách cho giả thiết từ bảng biến thiên sang cho đồ thị hàm y  f   x  Nhưng mặt chất toán, phương pháp làm không thay đổi Học sinh dựa vào đồ thị để nhận xét tính đơn điệu hàm số g  x   f  x   x khoảng  0;2  từ đưa kết luận tốn Tuy nhiên, tốn khó khăn giả thiết toán cho đồ thị hàm y  f   x  trình làm lại cần tới tính đơn điệu hàm số y  f  u  x  , y  f  u  x   g  x Ví dụ [CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC 2019 – LẦN 5] Cho hàm số f  x  liên tục ¡ Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f  2sin x   2sin x  m với x   0;  2 A m  f  1  B m  f  1  C m  f    D m  f    Lời giải Chọn A Ta có: f  2sin x   2sin x  m  1 Đặt 2sin x  t , x   0;  nên t   0;2 Với t   0;2  1 trở thành: f  t  t2 m, t   0;2  m  max g  t  , với g  t   f  t   t t  0;2 t   Ta có g   t   f   t   t Từ đồ thị ta có: g   t    f   t   t  t  t  Bảng biến thiên: g  t   m  f  1  Từ bảng biến thiên ta có m  max t 0;2 bất phương trình f  2sin x   2sin x  m với x   0;  Ví dụ Cho hàm số y  f  x  liên tục ¡ Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f  x   x  3x  m với x   1;3 A m  f  3 C m  f  1  B m  f  3 D m  f  1  Lời giải Chọn D 3 Ta có: f  x   x  3x  m  f ( x)  x  3x  m với x   1;3 Xét g ( x)  f ( x)  x3  3x với x   1;3 2 Khi đó: g ( x)  f ( x)  x  x   f ( x)  x  x  Nghiệm phương trình g ( x)  hoành độ giao điểm đồ thị y  f ( x) parabol y  x  x Phương trình g ( x)  có ba nghiệm x  1; x  3; x  đoạn  1;3 Ta có lim g  x   lim 3 f  x   x  x   f  1  ; x 1 x 1 lim g  x   lim 3 f  x   x  3x   f  3 x 3 x  3 Ta có bảng biến thiên sau: Bất phương trình f  x   x  3x  m với x   1;3 m  g  x  , x   1;3  m  f (1)  Nhận xét: Đối với tốn cần tới tính đơn điệu hàm số y  f  u  x   , y  f  u  x    g  x  thay xét f   x   0, f   x   để kiểm tra tính đơn điệu ta xét f   x   u  x  , f   x   u  x  Trong y  u  x  đường thẳng, parabol, hay đường tròn BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu [CHUYÊN SƠN LA 2019 – LẦN 4] Cho hàm số y  f  x  liên tục ¡ Hàm số y  f   x  có đồ thị hình bên Bất phương trình f  x   x2  x  m với x   1;2  A m  f   B m  f  1  C m  f    D m  f  1  Câu [CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2019 – LẦN 4] Cho f ( x) mà đồ thị hàm số y  f '( x) hình vẽ bên Bất phương trình f ( x)  sin x  m nghiệm với x   1;3 A m  f (0) B m  f (1)  C m  f (1)  D m  f (2) Câu [THPT THÁI PHIÊN HẢI PHÒNG 2019 – TT LẦN 2] Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f  x   x  a  3x ln x có nghiệm thuộc đoạn  1;2 A a  f  1  B a  f     6ln C a  f  1  D a  f     6ln Cho hàm số y  f  x  liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị m để bất phương trình Câu   2x   ff    m  có nghiệm   x 1 A m  B  m  C m  D m  5 Dạng 2: Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm y  f   x  để biện luận nghiệm phương trình Loại 1: Sử dụng tính đơn điệu hàm số y  f  x  Ví dụ   Cho hàm số f ( x) thỏa mãn f     0; f    3; f  1  0;  2 f    Hàm số y  f   x  liên tục ¡ có đồ thị hình bên Với m   0;3 số nghiệm thực phương trình f  x  3  m ( m tham số thực) A B C D Nhận xét: Bản chất toán từ đồ thị hàm số y  f   x  giả thiết liên quan ta lập BBT hàm số f  x  từ biện luận phương trình f  x   m, f  x   g  m  … Lời giải Chọn C Từ đồ thị hàm số y  f   x  ta có bảng biến thiên sau: Đặt t  x   t  3 3     Vì f     0; f    nên phương trình f  t   m có nghiệm phân biệt t1   ;0 ,  2   t2   0;1 , t3   1;2  (thỏa mãn điều kiện) Suy phương trình ti  x  3;   ti    ;2 ; i  1, 2,3 có nghiệm phân biệt Vậy phương trình f  x  3  m có tất   nghiệm phân biệt với m   0;3 Phương pháp giải Bước 1: Lập bảng biến thiên hàm số y  f  x  Bước 2: Biện luận số nghiệm phương trình f  x   m số giao điểm đồ thị hàm số y  f  x  đường thẳng y  m Ví dụ Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên sau: Phương trình f ( x)  cos  x  2m  có nghiệm xo   2;3 A 1 1 f     m  f  3  2 2 B 1 f    m  f  3 2 10 C 1 1 f     m  f  3  2 2 D 1 1 f  3   m  f    2 2 Lời giải Chọn C Ta có: 2m  f  x   cos  x Xét hàm số g  x   f  x   cos  x, x   2;3 Ta có g   x   f   x    sin  x Do  2;3   1;  nên từ bảng biến thiên ta thấy f   x   0, x   2;3 Mặt khác x   2; 3   x   2 ; 3   sin  x  Vậy g   x   0, x   2;3 Bảng biến thiên hàm số g  x  Từ bảng biến thiên ta có g    2m  g (3)   f (2)  cos 2  2m  f (3)  cos3 1 1 f     m  f  3  2 2 Nhận xét: Mấu chốt toán dạng thường áp dụng giả thiết phụ để kết hợp với đồ thị hàm y  f   x  lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số y  f  x  BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu Cho đồ thị hàm số y  f  x  xác định có đạo hàm ¡ Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ Số nghiệm nhiều phương trình f  x   m ( m tham số thực) A B C D Câu Cho hàm số y  f  x  liên tục ¡ , f    f    f  3 có bảng biến thiên hàm số y  f   x  sau: Tập nghiệm phương trình f  x  1  f  3 có phần tử? A B C Loại 2: Tìm hàm số y  f  x  dạng tường minh D 11 Phương pháp giải Bước 1: Gọi hàm số y  f  x  dạng tường minh, tính y  f   x  Bước 2: Sử dụng giả thiết toán, giải phương trình, tìm tham số hàm y  f   x  Bước 3: Giải phương trình f  x   m Ví dụ [CỤM CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG HỒNG 2019] Cho hàm số f  x   ax  bx  cx  dx  m  a, b, c, d , m  ¡ , a   Hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ Phương trình f  x   m có nghiệm? A C B D Lời giải Chọn C 5  Từ đồ thị hàm số có f   x   4a  x  3  x   x  1  4ax  13ax  2ax  15a   f  x   ax  4 13 ax  ax  15ax  m f  x   m  ax  13 13 ax  ax  15ax  m  m  ax  ax  ax  15ax  3 x   13    x  x3  x  x  15     x  3     x  3  Vậy phương trình f  x   m có nghiệm Ví dụ Cho f  x  hàm số đa thức bậc 5, có f  1  đồ thị hàm số y  f   x  đối xứng qua đường thẳng x  hình Biết phương trình f  x  1  m có nghiệm x  1;1 m  a; b Khi a  b A  C B D Lời giải Chọn D Từ đồ thị (C) cho hàm số y  f   x  ta suy đồ thị (C’) hàm số y  f   x  1 cách tịnh tiến (C) sang trái đơn vị Khi (C’) đối xứng qua trục Oy đồ thị hàm đa thức bậc 4, nên (C’) đồ thị hàm số trùng phương 12 dạng y  ax  bx  c Ta có (C’) qua điểm  0;  1 ;  2; 3 ;   1;  3 nên lập hệ giải ta y  x  3x  Suy f '( x  1)  x  3x  từ f  x  1  Vậy f  x  1  Ta thấy x5  x  x  C Lại có f  1  nên C  x5  x3  x f '( x  1)  x  x   x  1;1 nên hàm số f  x  1  g ( x)  x5  x3  x nghịch biến đoạn  1;1 Do phương trình f  x  1  m có nghiệm x  1;1 m   g  1 ; g  1    hay m    ;  suy a   ; b   a  b  5  5 Nhận xét: Đối với toán dạng này, cần linh hoạt sử dụng giả thiết để 9 9 tìm dạng tường minh hàm số y  f  x  ta giải vấn đề BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu Cho hàm số h  x   mx  nx  px  qx  m, n, p, q  ¡  Hàm số y  h  x  có đồ thị hình vẽ bên Có tất giá trị nguyên m để phương trình h  x   m  m có hai ngiệm phân biệt? A B 10 C 71 D 2022 Câu Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  dx  e,  a, b, c, d , e  ¡ ; a   có đạo hàm ¡ thỏa mãn f  1  2 , f  1  , f    3 có đồ thị y  f '  x  hình vẽ sau Phương trình f  x   m  2019  có nghiệm A m  2016 B m  2017 C m  2018 D m  2019 Câu Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  dx  e với (a, b, c, d , e  ¡ ) Biết hàm số y  f   x  có đồ thị hình vẽ, đạt cực trị điểm O  0;0  cắt truc hoành A  3;0  Có giá trị nguyên m  5;5 để phương trình f   x  x  m   e có bốn nghiệm phân biệt A C B D 13 Dạng 3: Cho bảng biến thiên, đồ thị hàm số y  f  x  để biện luận bất phương trình Loại 1: Khơng chứa tham số m Phương pháp giải: Bước 1: Chuyển bất phương trình f ( x)  g ( x) vế lập bảng biến thiên Bước 2: Dựa vào bảng biến thiến hàm số y  f '( x) xét dấu hàm số y  g '( x) Bước 3: Dựa vào đồ thị hàm số y  f ( x) vẽ đồ thị hàm số y  g ( x) để kết luận nghiệm Kiến thức sở: 1) Hàm số y  f ( x); y  g ( x) đồng biến (nghịch biến) K hàm số y  f ( x )  g ( x ) đồng biến(nghịch biến) K 2) Nếu hàm số y  f ( x) đồng biến(nghịch biến) K thì: + Hàm số y  n f ( x) đồng biến(nghịch biến) K + Hàm số y  f ( x) với f ( x)  nghịch biến (đồng biến) K + Hàm số y   f ( x) nghịch biến(đồng biến) K Ví dụ Cho hàm số y  f  x  x  3x  có đồ thị hình vẽ bên Tập nghiệm bất phương trình f  x  2là A S   1;    C S   0;    B S   1;    D S   2;    Lời giải Chọn B Nhìn vào đồ thị dễ dàng thấy điểm có hồnh độ lớn 1 có tung độ lớn 2 Chọn đáp án B Ví dụ Cho hàm số y  f  x  liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Hãy tìm tập nghiệm S bất phương trình f  x  x 1  A S   1;1   2;    C S   0;1   2;    B S    ;  1   1;2 D S    ;0   1;2 Lời giải Chọn A Ta có bất phương trình f  x   x    f  x   x  nên vẽ đường thẳng  : y  x  hệ trục với đồ thị hàm số y  f  x  tập nghiệm S bất phương trình cho 14 tập hợp hoành độ điểm cho đồ thị hàm số y  f  x  nằm phía đường thẳng  Dựa vào đồ thị ta có tập nghiệm bất phương trình cho S   1;1   2;    BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu Cho hàm số y  f  x   x  3x có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f  x  x f x  có nghiệm nguyên thuộc đoạn  6;8 A B 10 C D Câu Cho hố số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Số nghiệm nguyên bất phương trình x  4  x2  2x   f  x     f  x    f  x   3 A C  B D Loại 2: Chứa tham số m Phương pháp giải: Đối với dạng toán này, phương pháp giải tương tự với dạng 1, khác biệt sử dụng giả thiết toàn để xét tính đơn điệu hàm f  x, m  Ví dụ [SỞ NINH BÌNH NĂM 2019] Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình f  x   x  x  m nghiệm với x   1;3 A m  3 B m  10 C m  2 D m  Lời giải Chọn B Bất phương trình cho nghiệm với với x   1;3  f  x   x2  4x  m x   1;3  x2  x  m  3, x   1;3   x  x  m   0, x   1;3 2  m  x  x  6, x   1;3  Xét hàm số h  x   x  x  với x   1;3 h  x   x   h  x    x  15 Ta có bảng biến thiên sau: h  x   m  10 Từ BBT suy m   1;3 Ví dụ [SGD HÀ NỘI 2019] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên Tìm tất giá trị m để bất phương trình f  x   1  m có nghiệm A m  4 B m  C m  5 Lời giải D m  Chọn A Xét bất phương trình f  x   1  m (ĐK: x  1 ) Đặt t  x   ,  t  1 Bất phương trình cho trở thành: f  t   m với  t  1 Xét hàm y  f  t  với  t  1 : Dựa vào bảng biến thiên, bất phương trình f  t   m với  t  1 có nghiệm m  4 Nhận xét: +) Một số tốn có dạng f  u  x   ta đặt t  u ( x) , xác định điều kiện biến t Biến đổi f  u  x    m thành f  t  )  m sau làm tương tự bước +) Có nhiều tốn, việc lập m khó khăn, để thực việc cần phối hợp nhiều kiến thức chuyên sâu định lí viet đảo, bất đẳng thức, xét hàm… Ví dụ Cho hàm số y  f  x  liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên âm lớn 16 50 tham số m để bất phương trình  f  x   f  x   m   f  x   m  đoạn  1;4 ? A B C D Lời giải Chọn D 3 Đặt f  x   f  x   m  t  m  t  f  x   f  x  3 Bất phương trình trở thành t  t  f  x   f  x  Xét hàm số g  u   u  u có g   u   3u   0, u  ¡ Vậy hàm số g  u  ln đồng biến ¡ ta có g  t   g  f  x   t  f  x  f  x  f  x  m  f  x  m   f  x  f  x Đặt f  x   v ta có x   1;4   f  x     v  v  4v   m  48  Để bất phương trình ln  1;4 ta phải có m  1;4   BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Câu [SỞ PHÚ THỌ 2019] Cho hàm số y  f  x  liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Tổng tất giá trị nguyên m tham số để bất phương trình 9.6 f  x     f  x   f  x    m  5m  f  x  x  ¡ A 10 C Câu B D [CỤM CHUYÊN ĐỒNG BẰNG SÔNG HỒNG 2019] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: Bất phương trình  x  1 f  x   m có nghiệm khoảng  1;2  A m  10 B m  15 C m  27 D m  15 Câu [CHUYÊN THÁI BÌNH 2019 – LẦN 2] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên: Tìm tất giá trị m để bất phương trình f  x   1  m có nghiệm A m  B m  2 C m  D m  17 [CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2019 – LẦN 2] Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình bên Có số nguyên m để bất Câu phương trình  mx  m   x  2m  f  x   nghiệm với x   2;2 A B C D 2.4 Hiệu thực Sáng kiến áp dụng năm học 2020-2021 Tiến hành giảng dạy ngoại khóa lồng vào tiết dạy nội dung theo đề tài: “Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số y  f   x  để giải biện luận phương trình, bất phương trình” Đề tài thân đồng nghiệp đơn vị thí điểm em học lực từ trung bình trở lên Thực nghiệm sư phạm tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi hiệu biện pháp rèn luyện cho học sinh kĩ giải vấn đề liên quan đến tính tích phân; kiểm nghiệm tính đắn Giả thuyết khoa học Thực nghiệm sư phạm tiến hành trường THPT Quảng Xương + Lớp 12A (40 học sinh) không áp dụng sáng kiến + Lớp 12B (47 học sinh) áp dụng sáng kiến Thực nghiệm tiến hành tiết học theo yêu cầu chủ đề ôn tập tổng quan hàm số đồ thị (sau học xong chương 2, mơn Giải tích 12 Sau dạy thực nghiệm, Tôi cho học sinh làm kiểm tra Sau nội dung đề kiểm tra: Đề kiểm tra khảo sát 45 phút Bài Cho hàm số y  f  x  x  3x  có đồ thị hình vẽ Tìm tập nghiệm bất phương trình f  x   Bài Cho hàm số y  f  x  liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ 18 Hãy tìm tập nghiệm S bất phương trình f  x   x   Bài Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên sau x Tìm m để bất phương trình f  x   e  2m với x   1;1 Kết Xếp loại Trung Giỏi Khá Yếu Đối tượng bình 12B – Áp dụng đề tài 40% 45% 15% 0% 12A – Không áp dụng đề tài 10% 30% 50% 10% Việc đề hàm chứa dụng ý sư phạm, tất nhiên đề kiểm tra dành cho học sinh có học lực trở lên hai lớp thực nghiệm đối chứng Xin phân tích rõ điều đồng thời đánh giá sơ chất lượng làm học sinh Đề kiểm tra khơng q khó khơng q dễ so với trình độ học sinh Có thể nói với mức độ đề phân hóa trình độ học sinh, đồng thời đưa cho giáo viên đánh giá xác mức độ nắm kiến thức học sinh Cả ba ý đề kiểm tra không nặng tính tốn, mà chủ yếu kiểm tra khả suy luận, vận dụng kiến thức học KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Đề tài nêu phương pháp giải, ví dụ dạng tốn phần hàm số, phù hợp với kì thi THPT quốc gia Việc có định hướng, kiến thức giúp học sinh tự tin hơn, thích nghi nhanh với phương án thi trắc nghiệm mà GD&ĐT đề Việc nghiên cứu, học tập, tìm hiểu sâu dạng tốn, để thích ứng với kì THPT quốc gia vấn đề cần thiết với giáo viên, đặc biệt giáo viên phân công nhiệm vụ dạy ôn thi THPT quốc gia Tơi mạnh dạn tìm hiểu, đưa phương pháp, phân dạng tập theo tiêu chuẩn, hiểu biết riêng mình, để áp dụng vào ơn tập, giảng dạy cho học sinh khối 12 Hy vọng đề tài nguồn tài liệu tham khảo cho giáo viên, bạn học sinh q trình ơn thi Mặc dù cố gắng nhiều với thời gian ngắn thực nghiệm nên giải pháp hạn chế khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp ý kiến giúp đỡ đồng nghiệp, cấp để giải pháp ngày hoàn thiện 19 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Duy Lực Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên, trường THPT Quảng Xương Cấp đánh Kết Năm học TT Tên đề tài SKKN giá xếp loại đánh giá đánh giá xếp loại xếp loại Ngành giáo Lượng giác hóa toán Min-Max C 2007-2008 dục cấp tỉnh Sử dụng mơ hình tứ diện việc giải tốn hình học khơng gian Ngành giáo nhằm nâng cao hiệu việc bồi C 2011-2012 dục cấp tỉnh dưỡng kiến thức học sinh trường THPT Quảng Xương Kinh nghiệm dạy học số toán tương giao đường thẳng đường tròn nhằm nâng cao hiệu Ngành giáo C 2012-2013 dạy học chuyên đề phương pháp tọa độ dục cấp tỉnh mặt phẳng cho học sinh khối 10, trường THPT Quảng Xương 4 Định hướng tư phân tích tốn thơng qua số tập hình học tọa độ mặt phẳng, nhằm nâng cao Ngành giáo hiệu dạy học chuyên đề phương B 2015-2016 dục cấp tỉnh pháp tọa độ mặt phẳng cho học sinh khối 10, trường THPT Quảng Xương Một số phương pháp giải phương trình Ngành giáo C 2017-2018 vô tỷ sau nhân liên hợp dục cấp tỉnh Vận dụng linh hoạt mối liên hệ Ngành giáo đạo hàm nguyên hàm để giải C 2019-2020 dục cấp tỉnh số toán XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 12 tháng 05 năm 2022 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Duy Lực 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn, Giải tích 12 (2008), NXB Giáo dục, Hà Nội Vũ Tuấn, Sách tập Giải tích 12 (2008), NXB Giáo dục, Hà Nội Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc, Phương pháp hàm số (2006), NXB Hà Nội Lê Duy Lực, Các phương pháp giải nhanh trắc nghiệm hàm số (2019) , NXB Tinh Hoa Đặng Việt Đông, Tổng hợp chuyên đề hàm số đề thi thử đại học (2019), Trường THPT Nho Quan Nguyễn Ngọc Thảo, Chuyên đề Hàm ẩn hay khó, Trường THPT Thái Phiên Đề minh họa Giáo dục & Đào tạo, đề thi thử trường đại học năm 2018 – 2019 Internet (http://toanhocbactrungnam.vn/, http://ebooktoan.com, http://violet.vn ) 21 ... tài: ? ?Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số y  f   x  để giải biện luận số dạng tốn phương trình, bất phương trình? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu ứng dụng tính đơn điệu hàm số việc giải. ..SỬ DỤNG BẢNG BIẾN THIÊN, ĐỒ THỊ HÀM SỐ y  f  x  ĐỂ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Kể từ...  để xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số, chưa sử dụng bảng biến thiên để biện luận bất phương trình Về mặt chất, hướng phát triển người đề việc ứng dụng phương pháp hàm số giải phương trình