SKKN giải phương trình – bất phương trình bằng phương pháp sử dụng tính chất của hàm số

Thứ tự PHẦN 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 PHẦN 2.1 2.2 2.3 2.4 PHẦN 3.1 3.2 Mục lục Danh mục MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Kế hoạch nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lí luận Thực trạng đề tài Giải pháp thực 2.3.1 Giải phương trình , bất phương trình khơng chứa tham số a) Các ví dụ b) Bài tập rèn luyện 2.3.2 Giải phương trình , bất phương trình chứa tham số a) Các ví dụ b) Bài tập tự luyện Hiệu SKKN KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 2 3 4 5 7 7 12 12 12 15 16 18 18 18 19 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Đối với học sinh THPT khái niệm phương trình, bất phương trình lên lớp 10 định nghĩa, thực tế phương trình, bất phương trình học giải từ sớm tốn tìm số chưa biết thỏa mãn điều kiện cho trước Do học giải phương trình, bất phương trình học sinh quen thuộc, vấn đề giải cho hợp lôgic Những phương trình, bất phương trình học sinh thường gặp như: Lớp 10 có phương trình, bất phương trình quy bậc hai, chứa ẩn dấu Lớp 11 có phương trình lượng giác Lớp 12 có phương trình, bất phương trình mũ lơgarit Đặc biệt lớp 12 có phần ứng dụng đạo hàm gồm dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Với tính ưu việt việc ứng dụng đạo hàm vào giải tốn, khơng đơn giải toán liên quan đến khảo sát hàm số biện luận số nghiệm phương trình hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số mà cịn giải nhiều dạng tốn khảo sát nghiệm phương trình bất phương trình vơ tỉ, đặc biệt dạng phương trình, bất phương trình chứa tham số Tuy nhiên trình giảng dạy mơn tốn THPT tơi nhận tốn học nói riêng mơn khoa học tự nhiên nói chung thật xa lạ, chí nỗi “khiếp sợ” đơng đảo học sinh Điều khiến học sinh suy nghĩ vậy? Tôi nhận thấy, đa số học sinh thiếu tư độc lập, sáng tạo vận dụng kiến thức, khả “quy lạ quen” hay mở rộng kiến thức có vào dạng tốn cụ thể Trong kỳ thi, câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư hàm số công cụ đắc lực để giải tốn như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị , Các câu hỏi thường gây khó khăn cho thầy trị lên lớp Trong giảng em thường bị động nghe giảng lúng túng vận dụng vào việc giải toán Nguyên nhân em chưa hiểu chất vấn đề, chưa có kỹ kinh nghiệm việc vận dụng hàm số vào giải tốn, em ln đặt câu hỏi: “Tại nghĩ làm ? ’’ Để trả lời câu hỏi dạy, việc bồi dưỡng lực tư hàm số cho học sinh thông qua toán điều cần thiết Muốn làm tốt điều người thầy khơng có phương pháp truyền thụ tốt mà cịn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu cách lơgic chất tốn học Từ giúp em có say mê việc học mơn Tốn - mơn học coi ơng vua mơn tự nhiên Để tốn học trở nên gần gũi yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê em học sinh THPT ta phải cần giải vấn đề sau: Một là: Việc giải phương trình, bất phương trình phép biến đổi tương đương thơng thường học sinh giải nhiều lớp 10 lớp 11, giải ứng dụng tính đơn điệu giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đến lớp 12 học nên làm cần phải kết hợp hai việc với học sinh lại lúng túng lời giải, dẫn đến sai kết Hai là: Khi học sinh làm tập phương trình, bất phương trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức có điều kiện mà lời giải có bước đặt ẩn phụ tơi thấy nhiều học sinh mắc phải sai lầm: đặt ẩn phụ mà khơng nghĩ đến tìm điều kiện ẩn phụ tìm sai điều kiện nó, tìm xác điều ẩn phụ lập luận phương trình, bất phương trình theo ẩn phụ lại khơng xét điều kiện ràng buộc nên dẫn đến kết luận khơng xác Ba là: Từ thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình dạng tốn phải sử dụng định lí đảo tam thức bậc hai vận dụng định lí bỏ, học sinh đọc sách tham khảo xuất trước có nhiều tốn sử dụng định lý nên học sinh đọc sách hoang mang phải giải Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư mơn tốn tơi tập trung khai thác cách giải phương trình, bất phương trình việc ứng dụng tính chất hàm số Với việc sử dụng phương pháp này, tốn phương trình, bất phương trình giải cách tự nhiên, túy, ngắn gọn đơn giản Đó lí để tơi chọn đề tài : “Giải phương trình – Bất phương trình phương pháp sử dụng tính chất hàm số” 1.2 Mục đích nghiên cứu Xuất phát từ mối liên hệ số nghiệm phương trình ẩn với số giao điểm hai hai đồ thị hai hàm số hai vế phương trình để giải tốn phương trình, bất phương trình Đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số Trong giải toán phương trình, bất phương trình tốn tìm GTLN , GTNN biểu thức có điều kiện mà phải thực việc đặt ẩn phụ việc tìm điều kiện ẩn phụ cần thiết, việc tìm điều kiện ẩn phụ thực tìm tập giá trị ẩn phụ tập xác định tốn cho hàm số Sau tìm điều kiện ẩn phụ yêu cầu đề tốn theo ẩn phải quy yêu cầu tương ứng cho tốn theo ẩn phụ điều kiện Đó điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng tập giá trị ẩn phụ Các vấn đề tơi trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh lớp 12 có cách nhìn tồn diện cách tiếp cận hàm số để giải tốn phương trình, bất phương trình, đặc biệt phương trình, bất phương trình có tham số 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu dạng toán phương trình, bất phương trình tốn tìm GTLN, GTNN đặc biệt tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số - Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu đề tài tồn chương trình đại số giải tích thuộc mơn tốn Trung học phổ thơng đặc biệt phần: phương trình, bất phương trình, phương trình, bất phương trình vơ tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ logarit 1.4 Kế hoạch nghiên cứu (Bỏ) Trong trình dạy học với trăn trở trình bày phần sở thực tiến để đưa lý chọn đề tài cho em học sinh THPT, chủ yếu học sinh cuối cấp chuẩn bị bước vào kì thi làm tốn phương trình, bất phương trình Khi học sinh làm toán mà sau đặt ẩn phụ quy phương trình, bất phương trình bậc hai tính tốn đơn thông qua biệt thức đenta sau biến đổi cô lập tham số ta vế hàm số bậc hai ẩn phụ, nhiều em làm khơng xác khơng để ý tìm điều kiện ẩn phụ có tìm điều kiện ẩn phụ tìm khơng xác Với tốn có tham số mà sau đặt ẩn phụ lại quy phương trình, bất phương trình có chứa hàm số đa thứ bậc ba, bạc bốn hàm số phân thức học sinh khơng thể giải em chưa biết cách sử dụng tính chất hàm số có sử dụng cịn máy móc, thiếu xác Các vướng mắc nói giải tồn diện học sinh học ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Do từ đầu năm học 2017 – 2018 nghiên cứu đề tài nói thơng qua số tiết tự chọn ơn thi từ xây dựng, hồn thiện viết 1.5 Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh kiến thức lí thuyết tính đơn điệu, GTLN – GTNN hàm số Thơng qua ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy mạnh việc sử dụng phương pháp hàm số đồng thời có lời nhận xét trước sau giải giúp học sinh trả lời thỏa đáng câu hỏi: “Tại nghĩ làm vậy?” Phương pháp sử dụng nhiều là: Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp Vì hạn chế học sinh trình bày phần lý chọn đề tài phần khảo sát thực tiễn nên trình dạy lớp 12, bắt đầu phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với tiết học tự chọn ôn thi, tơi lồng ghép tập phương trình, bất phương trình mà giải phải cần đến hàm số Nhưng thời gian khơng có nhiều, để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với phần cho học sinh số tập để em nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp cho số học sinh lên bảng làm số học sinh khác nhận xét lời giải Sau tơi phân tích lời giải cho lớp để em tìm lời giải tối ưu nhấn mạnh số điểm quan trọng bài, qua dạng NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lý luận: 2.1.1.Tính đơn điệu hàm số Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm D f ( x) đồng biến (tăng) D Nếu f ' x 0, x D hàm số f ( x) nghịch biến (giảm) D Nếu f ' x 0, x D hàm số (Dấu “=” xảy số điểm hữu hạn D) Nếu hàm f x tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) f x k phương trình k có khơng q nghiệm khoảng (a;b) Nếu hàm f x tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) u, v (a,b) ta có f (u ) f vu v Nếu hàm f x tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) u, v (a,b) ta có f (u ) f vu v ( f (u ) f vu v ) Nếu hàm f x tăng g x hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f x g x có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b) f a f b tồn Định lý Cauchy : Nếu hàm số f x liên tục a; b điểm x0 a ; b để f x0 f a f b tồn Nếu hàm số f x đơn điệu liên tục a; b điểm x0 a ; b để f x0 Nếu f x hàm số đồng biến ( nghịch biến ) y= n f ( x ), n N , n đồng nghịch biến ( đồng biến), y f x biến (nghịch biến ), với f x f ( x) nghịch biến (đồng biến ) Tổng hàm đồng biến ( nghịch biến ) D đồng biến (nghịch biến ) D Tích hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến ) D hàm đồng biến (nghịch biến ) D 2.1.2 Giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số Cho hàm số y f ( x) xác định D f(x) M, x D Số M gọi GTLN hàm số y f ( x) D f ( x) x0 D cho f ( x0 ) M Kí hiệu M max D f ( x ) m, x D Số m gọi GTNN hàm số y f ( x) D x0 D cho f ( x0 ) m Kí hiệu m minDf ( x) Quy tắc tìm GTLN GTNN hàm số * Từ việc lập BBT hàm số f ( x) tập xác định ta tìm thấy điểm đồ thị có tung độ lớn ( nhỏ ) giá trị GTLN ( GTNN ) hàm số * Nếu hàm số f ( x) xác định liên tục đoạn a; b ta tìm GTLN GTNN theo bước sau : - Tìm điểm x1 , x2 , , xn đoạn a; b mà f ' (x) f ' (x) không xác định - Tính giá trị f (a ), f (b ), f (x1 ), f (x2 ), , f (xn ) - Số lớn ( bé ) số GTLN (GTNN ) hàm số f ( x) đoạn a; b 2.1.3 Các dạng tốn liên quan a) Giải phương trình, bất phương trình khơng chứa tham số Từ tính chất ta có phương án biến đổi sau: Phương án 1: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = k, nhẩm nghiệm chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy phương trình có nghiệm Phương án 2: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = g(x), nhẩm nghiệm dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến g(x) nghịch biến hàm suy phương trình có nghiệm Phương án 3: Biến đổi phương trình dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu ta có: u = v Đối với bất phương trình biến đổi dạng f (u ) f v chứng minh f đơn điệu để kết luận b) Giải phương trình, bất phương trình chứa tham số có sử dụng GTLN-GTNN Xuất phát từ toán liên quan đến khảo sát hàm số dựa vào đồ thị hàm số y f ( x) biện luận số nghiệm phương trình f ( x ) g ( m) số nghiệm phương trình f ( x ) g ( m) số giao điểm đồ thị hàm số y f ( x) với đường thẳng y g ( m) Ta giải toán phương trình, bất phương trình chứa tham số theo định hướng sau: Biến đổi phương trình, bất phương trình chứa tham số m dạng : f ( x ) g ( m) với hàm số f ( x) có GTLN - GTNN tập xác định D Khi đó: - Phương trình f ( x ) g ( m) có nghiệm D f ( x ) g ( m ) max f ( x) D D Bất phương trình f ( x ) g ( m) thỏa mãn x D f (x) g(m) D - Bất phương trình max f (x) g(m) f ( x ) g ( m) thỏa mãn x D D - Bất phương trình f ( x ) g ( m) có nghiệm x D max f (x ) g (m) D - Bất phương trình f ( x ) g ( m) có nghiệm x D f (x ) g (m) D Trong trường hợp hàm số f ( x) khơng có GTLN GTNN tập D ta phải kết hợp với BBT đồ thị để có kết luận thích hợp Nếu bất phương trình có dạng " " " " bổ sung thêm dấu " " cho điều kiện 2.2 Thực trạng đề tài: Đối tượng học sinh trực tiếp giảng dạy có học lực yếu, trung bình trung bình nên giải phương trình , bất phương trình học sinh lúng túng giải vấn đề từ đâu Qua việc khảo sát, kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường làm không không làm 2.3 Giải pháp thực hiện: Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng giải vấn đề theo hướng dễ tiếp cận học sinh Kiến thức bản: 2.3.1 Giải phương trình, bất phương trình khơng chứa tham số a) Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: x x2 1 (1) Nhận xét: Quan sát vế trái phương trình (1), ta thấy x tăng giá trị biểu thức tăng Từ suy vế trái hàm đồng biến ,vế phải hàm hằng, điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu Giải Điều kiện: x ' Đặt f x 4x 4x Do hàm số Ta có f x f x4 x x2 đồng 4x 4x 0, x2 biến f x có nghiệm nghiệm Hơn nữa, nghiệm phương trình cho Ví dụ 2: Giải phương trình: x x Nhận xét: x x 16 14 x ; ; , nên phương trình f nên x (2) Khi gặp dạng toán chứa căn, thường ta phải khử thức cách bình phương, lập phương nhân lượng liên hợp Trong nhân liên hợp hợp lí Giải Cách 1: Dùng lượng liên hợp Điều kiện: x Khi x x x x x 16 14 x x x x x x x7 x 16 x 16 0, x x Vậy x nghiệm phương trình Do Cách 2: Dùng hàm số Điều kiện: x Đặt f ( x ) 1 Ta có f ( x ) x x x x x 16 0 x x 16 1 0, x 5; x x x x 16 đồng biến 5; x x 16 Do hàm số f ( x ) x x Mà f (9) 14 nên x nghiệm phương trình Ví dụ : Giải phương trình sau: x x x (1) Giải Cách 1: x 32 x 32 x 3 x x 33 x 3 2x 2x 2x 3 2x 2x 2x 2x 2x 23 2x 2x 2x 3 2x x Ngược lại với x thay vào (1) thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình cho x1 Cách 2: Đặt f ( x ) x x x Ta có: f '(x) 2 (2x 1) (2x 2) f x đồng biến Do hàm số Mà f 0; x (2x 3) , 1, 2 1 2 2; f 0; f 2; lim f ( x)nên suy x x nghiệm phương trình cho 5x3 Ví dụ : Giải phương trình : Giải Điều kiện: 5x 3 5x 2x x 15 x2 f x [ ; ) 2x x x Đặt f ( x ) Ta có 3 1) 3 (2 x Mà f nên x 1 0, x ( ; ) nên hàm số đồng biến nghiệm phương trình Ví dụ : Giải phương trình : x 3 x x 16 x (1) Nhận xét : Bài tốn gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện x 33 x x 16 0( x 2)(2 x x 8) Điều kiện: x 4 x x x 16 x 2 2x 3x Khi đó, (1) x 3 x x 16 Xét hàm số f x 3( x Ta có f x x 1) x 2; 0, x ( 2; 4) x 3 x x 16 4x x đồng biến 2; x 3 x x 16 Do hàm số f x Mà f nên x nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình : x (2 x 3) (4 x 2)(1 x x2 ) Giải Cách 1: Viết lại phương trình dạng (2 x 1)(2 (2 x 1) 3 x (2 ( x ) 3) Nếu phương trình có nghiệm nghiệm thoả mãn 3x(2x+1)