4/9 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG (MỨC ĐỘ CƠ BẢN) DẠNG 1: TÍNH TỐN Bài 1: Hãy tính x y hình sau: 12 y x y x 20 Hình b) Hình a) Bài 2: Hãy tính x y hình sau: x y x 25 Hình a) x y Hình b) Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết AB 4cm, AC 7,5cm Tính HB, HC Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết AH 12cm, BH 9cm Tính diện tích tam giác ABC AB Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A Biết AC , đường cao AH 15cm Tính HB, HC Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A , AB 12cm, AC 16cm , phân giác AD , đường cao AH Tính độ dài đoạn thẳng HB, HD, HC Bài tập nhà: AB AC , đường cao AH 42cm Tính HB, HC ABC A Bài 1: Cho tam giác vng Biết Nhóm chun đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 4/9 BH Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A Biết HC 16 , đường cao AH 48cm Tính độ dài cạnh góc vng tam giác vuông Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A , phân giác AD , đường cao AH Biết BD 15cm, CD 20cm Tính độ dài đoạn thẳng BH , HC DẠNG 2: CHỨNG MINH Bài 1: Chứng minh rằng: h a) bc a ; b2 b ' c c' b) Bài 2: Cho hình thang ABCD , đáy nhỏ AB, AD CD AD CD Vẽ đường cao BH Trên tia đối tia DA lấy K cho DK CH Gọi E giao điểm hai đường thẳng AD BC Chứng minh rằng: a) Tam giác BC CK ; b) 1 2 CD CE CB Bài 3: Cho hình vng ABCD điểm I nằm A B Tia DI cắt BC E Đường thẳng kẻ qua D vng góc với DE cắt BC F a) Tam giác DIF tam giác gì? Vì sao? 1 DE khơng đổi I chuyển động đoạn AB ? b) Chứng minh DI Bài 4: Cho hình thoi ABCD tâm O Cho biết khoảng cách từ O đến cạnh hình thoi h; 1 2 AC m; BD n Chứng minh rằng: m n 4h Bài 5: Cho tam giác cân ABC đỉnh A , đường cao AH BK Chứng minh rằng: 1 2 BK BC AH Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 4/9 Bài tập nhà: Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC , hai đường cao BD CE H Gọi B1 , C1 hai điểm AB C = AC B 900 1 tương ứng đoạn HB , HC Biết Tam giác AB1C1 tam giác gì? Vì sao? Bài 2: Cho tam giác ABC có A < 90 , đường cao BH Đặt BC a, CA b, AB c, AH c, HC b Chứng minh rằng: a = b c 2bc Bài 3: Cho tam giác ABC có A > 90 , đường cao BH Đặt BC a, CA b, AC c, AH c, HC b Chứng minh rằng: a = b c 2bc Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 4/9 HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG (MỨC ĐỘ CƠ BẢN) DẠNG 1: TÍNH TỐN Bài 1: Hãy tính x y hình sau: 12 y x y x 20 Hình b) Hình a) *Hình a) Theo hệ thức b a.b ' , ta có: 62 20.x x 9 91 5 y 20 x 20 *Hình b) Theo định lý Pytago, ta có: x y 92 122 x y 15 Theo hệ thức b a.b ' c a.c ' , ta có: 92 15.x x 27 ; 122 15.x x 48 Bài 2: Hãy tính x y hình sau: Nhóm chun đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 4/9 x y x x 25 y Hình a) Hình b) *Hình a) Theo hệ thức h b '.c' , ta có: x 9.25 x 15 *Hình b) Theo hệ thức h b '.c' , ta có: 42 x.x x 4 1 2 2 b c , ta có: Cách 1: Theo hệ thức h 1 y 2.4 y 4 2 y y y Cách 2: Theo hệ thức ah bc , ta có: y y y 32 y 4 Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết AB 4cm, AC 7,5cm Tính HB, HC 2 2 Theo định lý Pytago, ta có: BC AB AC 4 7,5 72, 25 BC 8,5cm 2 Theo hệ thức b a.b ' c a.c ' , ta có: AB 42 15 AB BC.BH BH 1 cm BC 8,5 17 ; Tương tự, ta tính được: CH 6 21 cm 34 Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 4/9 Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết AH 12cm, BH 9cm Tính diện tích tam giác ABC Theo định lý Pytago, ta có: AB AH HB 122 92 225 Theo hệ thức c a.c ' , ta có: AB 225 AB BC.BH BC 25 cm BH 1 S ABC BC AH 25.12 150 cm 2 Vậy AB Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A Biết AC , đường cao AH 15cm Tính HB, HC ABH ∽ CAH g g AB AH 15 15.7 CH 21 cm nên AC CH hay CH Theo hệ thức h b '.c' , ta có: AH 152 75 AH BH CH BH 10 cm CH 21 7 Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A , AB 12cm, AC 16cm , phân giác AD , đường cao AH Tính độ dài đoạn thẳng HB, HD, HC A Theo định lý Pytago, ta có: BC AB AC 122 16 400 BC 20 cm 15 AD phân giác góc A nên: BD AB 12 DC AC 16 B H D , BD DC BD Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ C 4/9 Hay BD BC hay BD BD 8 cm 20 7 CD BC BD 20 11 cm 7 từ đó, Áp dụng hệ thức lượng tính DẠNG 2: CHỨNG MINH BH 7, cm Từ suy HD 1, cm Bài 1: Chứng minh rằng: h a) bc a ; b2 b ' c c' b) a) Theo cơng thức tính diện tích tam giác vng ta có: 1 bc S ah bc h 2 a 2 b a.b ' c a.c ' , suy ra: b) Theo hệ thức b2 b ' c2 c ' Bài 2: Cho hình thang ABCD , đáy nhỏ AB, AD CD AD CD E Vẽ đường cao BH Trên tia đối tia DA lấy K cho DK CH Gọi E giao điểm hai đường thẳng AD BC Chứng minh rằng: a) Tam giác BC CK ; b) 1 CD CE CB B A a) HBC DCK CB CK C K dùng cách cộng góc để suy BCK 90 D K 1 2 2 b c b) Dùng hệ thức h Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ H C 4/9 Bài 3: Cho hình vng ABCD điểm I nằm A B Tia DI cắt BC E Đường thẳng kẻ qua D vng góc với DE cắt BC F a) Tam giác DIF tam giác gì? Vì sao? 1 DE không đổi I chuyển động đoạn AB ? b) Chứng minh DI a) E AID CFD g c g nên I A DF DI B Vậy tam giác DIF vuông cân D DC EF b) Tam giác EDF vng cân D , có D 1 2 DF DC , mà DF DI Suy DE C 1 2 DE DC Do DI khơng đổi F Bài 4: Cho hình thoi ABCD tâm O Cho biết khoảng cách từ O đến cạnh hình thoi 1 2 h; AC m; BD n Chứng minh rằng: m n 4h A Ta có: AC BD Kẻ OH AD Khi OH đường cao tam giác vuông OAD nên: 1 1 1 2 2 2 OH OA OD h m n 2 2 H h B D O C 1 2 2 4h m n Bài 5: Cho tam giác cân ABC đỉnh A , đường cao AH BK Chứng minh rằng: M 1 2 BK BC AH Kẻ BM / / AH M AC kéo dài A BK đường cao tam giác vng BCM BM 2 AH K Nhóm chun đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ B H C 4/9 nên 1 1 2 2 2 BK BC BM BC AH Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 4/9 Nhóm chuyên đề Khối 6,7,8,9 ề Khối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/