Đề thi hsg toán 12 hải phòng 2019 2020

STRONG TEAM TỐN VD-VDC SỞ GD&ĐT HẢI PHỊNG ĐỀ CHÍNH THỨC HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHỊNG – TỔ – 2018-2019 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Đề thi gồm 02 trang Câu (2,0 điểm) ( C) Gọi A,B hai điểm cực trị ( C) a) Cho hàm số y = x + 3x - 9x +1 có đồ thị Tính diện tích tam giác OAB , O gốc tọa độ Câu 2 b) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = 2x + m x + 4x + có cực tiểu (2,0 điểm) 2sin x  sin x  cos x 0 tan x  a) Giải phương trình  x3   y   x  xy m  x  3x  y 1  2m m b) Tìm tất giá trị thực tham số để hệ phương trình  có nghiệm Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AB  BC a, AD 2a , SA 2a vng góc với mặt phẳng  ABCD  a) Tính góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  SM  x,   x  2a   BCM  chia b) Cho M điểm nằm cạnh SA cho Mặt phẳng hình chóp thành hai phần tích V1 V2 (trong V1 thể tích phần chứa đỉnh S ) V1  V x Tìm để Câu (1,0 điểm) Một quân vua đặt ô bàn cờ vua Mỗi bước di chuyển, quân vua chuyển sang ô khác chung cạnh chung đỉnh với đứng ( xem hình minh họa) Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên bước Tính xác suất để sau bước quân vua trở ô xuất phát Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD tâm E , gọi G K  7;   trọng tâm tam giác ABE Điểm thuộc đoạn ED cho GA GK Tìm tọa độ đỉnh Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHỊNG – TỔ – 2018-2019 A viết phương trình cạnh AB , biết đường thẳng AG có phương trình 3x  y  13 0 đỉnh A có hồnh độ nhỏ Câu u  (1,0 điểm) Cho dãy số n Ta thành lập dãy số tính giới hạn Câu   u1 3   un 1  xác định với    un2  5un  un , n  ¥ , n 1 1   2 u1 u2 un Chứng minh dãy số   có giới hạn (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn điều kiện x  y; x  z; x  yz  xz  xy P 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức y  x y  x y  z 2z  x    y xy yz xz Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHỊNG – TỔ – 2018-2019 Lời giải Câu (2,0 điểm) ( C) Gọi A,B hai điểm cực trị ( C) a) Cho hàm số y = x + 3x - 9x +1 có đồ thị Tính diện tích tam giác OAB , O gốc tọa độ b) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y = 2x + m x + 4x + có cực tiểu Lời giải a) éx = D = ¡ y ¢ = 3x + 6x - ị y  = ê ê ëx =- +) Tập xác định +) ( C) có hai điểm cực trị A(- 3;28),B(1;- 4) uuur uuu r OA = (- 3;28),OB = (1; - 4) ị SOAB = | - ì( 4) - 1.28 |= +) b) x +2 D = ¡ ; y¢ = + m x + 4x + +) Tập xác định +) Ta có: Hàm số có đạo hàm liên tục ¡ nên hàm số có cực tiểu phương trình y ' = phải có nghiệm y' = Û m = - x + 4x + ,(x ¹ - 2) x +2 +) Xét phương trình - x + 4x + g Â(x) = > 0, " x - g(x) = , x Ỵ ¡ \ {- 2} 2 (x + 2) x + 4x + x + Đặt Ta có lim g(x) =- 2; lim g(x) = x đ- Ơ Ngoi ta cú x đ+Ơ , t ú ta cú bng bin thiên hàm số y = g( x) sau Từ bảng biến thiên suy phương trình y ' = có nghiệm m Ỵ (- ¥ ; - 2) È (2; +¥ ) +) Xét trường hợp m > Phương trình y ' = có nghiệm x , ta có: lim y' = + m > 0; lim y' = - m < x ®+¥ x ®- ¥ nên ta có bảng biến thiên hàm số có dạng Từ bảng biến thiên suy hàm số có cực tiểu +) Trường hợp m (2,0 điểm) 2sin x  sin x  cos x 0 tan x  a) Giải phương trình  x3   y   x  xy m  x  3x  y 1  2m m b) Tìm tất giá trị thực tham số để hệ phương trình  có nghiệm Lời giải Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team toán vd - vdc   x   k    tan x  0  x    k   a) Điều kiện: cos x 0 , k   Với điều kiện trên, phương trình cho tương đương với: 2sin x  sin x  cos x 0  sin x  2sin x  1  cos x 0   sin x cos x  cos x 0   sin x  1 cos x 0    x   k 2   sin x 1  x   k    cos x   Kết hợp với điều kiện xác định phương trình phương trình cho có nghiệm 3 x   k , k    x  x   x  y  m  x3   y   x  xy m    2  x  x    x  y  1  2m x  3x  y 1  2m b) Ta có  Đặt a  x  x , b 2 x  y với điều kiện a x  x  a.b m  Hệ phương trình cho có dạng a  b 1  2m t    2m  t  m 0  * Suy a , b hai nghiệm phương trình  * Hệ ban đầu có nghiệm phương trình có nghiệm t    t2  t  m   g  t  t    ;   *    2t  Ta có , Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC g  t   HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHỊNG – TỔ – 2018-2019  2t  2t   2t  1   1 t     1 t   g  t  0   2t  2t  0   lo¹i  (tháa m·n) Bảng biến thiên: - + Từ bảng biến thiên suy Câu m 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AB  BC a, AD 2a , SA 2a vng góc với mặt phẳng  ABCD  a)Tính góc hai mặt phẳng  SBC   SCD  SM  x,   x  2a   BCM  chia b)Cho M điểm nằm cạnh SA cho Mặt phẳng V V V hình chóp thành hai phần tích (trong thể tích phần chứa đỉnh S ) V1  V x Tìm để Lời giải Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team toán vd - vdc  SBC  a) Gọi  góc hai mặt phẳng Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHỊNG – TỔ – 2018-2019 Gọi H , K hình chiếu vng góc A SB SC Ta có BC   SAB   BC  AH Tương tự AK   SCD  Ta có Vậy  SBC   SCD  AH  AK  HK  cos  cos HAK  AH AK góc hai SA AB 2a SA AC 2a  , AK   SB SC Mặt khác SHK  SCB nên cos   AH  SB  AH   SBC  Do góc hai mặt phẳng đường thẳng AH AK , hay AH  Ngoài HK  BC.SH 4a  SC 30 15  BCM  cắt cạnh SD N Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng b) Mặt phẳng  BCM  hình thang BCNM Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 Gọi V thể tích khối chóp S ABCD Ta có VS BCNM VS BCM VS ACD  V k V  V, S ABC  VS CNM ; VS BCM SM SM  k  VS BCM  k V SA SA suy ra: VS BCA ; Đặt VS CMN SM SN  k  VS CMN  k V VS CAD SA SD V1 1  1   V1  V V1  k  k  V  Mà V2 3 Từ suy  1 V  k  k  V  k   x a  3 Suy Câu Một quân vua đặt ô bàn cờ vua Mỗi bước di chuyển, quân vua chuyển sang ô khác chung cạnh chung đỉnh với đứng ( xem hình minh họa) Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên bước Tính xác suất để sau bước quân vua trở xuất phát Lời giải Tác giả: Nhóm - Tổ nhóm tốn team tốn vd - vdc Mỗi bước quân vua đến xung quanh, từ suy số phần tử không gian n    83 mẫu Cách Gắn hệ trục Oxy vào bàn cờ vua cho vị trí ban đầu quân vua gốc tọa độ, ô  x; y  Mỗi bước di chuyển quân vua từ điểm  x; y  đến bàn ứng với điểm có tọa độ  x  x0 ; y  y0  x0 ; y0    1;0;1 ; x0  y02 0 Ví dụ x0 1; y0 0 điểm có tọa độ qn vua di chuyển đến bên phải, x0  1; y0  di chuyển xuống ô đường chéo Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019  0;0  , sau bước tọa độ quân vua Giả sử tọa độ ban đầu  x1  x2  x3 ; y1  y2  y3  ; x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3    1;0;1 Để vị trí ban đầu  x1  x2  x3 0   y1  y2  y3 0 Suy  x1 ; x2 ; x3   y1 ; y2 ; y3  hoán vị   1;0;1 +)  x1; x2 ; x3   x ;x ;x   y ;y ;y  có cách chọn, với cách chọn có cách chọn  xi ; yi  , i 1;3 khơng đồng thời Do số kết thuận lợi cho biến cố 24 xác suất cần tìm p 24  83 64 Cách Nhận xét để quân vua trở vị trí xuất phát sau bước sau bước II quân vua phải ô xung quanh ô ban đầu Trường hợp Sau bước I quân vua ô chung cạnh với ô ban đầu Từ quân vua có cách cho bước II (đi ngang chéo) Ở bước III, quân vua có cách vị trí xuất phát Vậy số cách TH1: 4 1 16 cách Trường hợp Sau bước I quân vua ô chung đỉnh với ban đầu Từ qn vua có cách cho bước II (đi ngang dọc) Ở bước III, quân vua có cách vị trí xuất phát Vậy số cách TH2: 2 1 8 cách 16  p  64 Xác suất cần tìm: Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD tâm E , gọi G trọng tâm tam K  7;   giác ABE Điểm thuộc đoạn ED cho GA GK Tìm tọa độ đỉnh A viết phương trình cạnh AB , biết đường thẳng AG có phương trình 3x  y  13 0 đỉnh A có hồnh độ nhỏ Lời giải Tác giả: Nhóm tổ nhóm strong team tốn vd – vdc Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TOÁN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHÒNG – TỔ – 2018-2019 +) Ta có GA GB GK nên G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABK  AGK 2 ABK 2.45 90 ⇒ tam giác AGK vuông cân G K  7;   +) Đường thẳng GK qua vng góc với AG  GK : x  y  0 Ta có G GK  AG  G  4;  1 A  t ;3t  13 , t  Do AG có phương trình 3x  y  13 0 nên Có GA GK d  K ; AG   10 Từ GA  10   t     3t  12   t 3 t 4    t 3 A  3;   10  t 5 Vậy MG  cos MAG    10 AM +) Ta có   n1  a; b  ,  a  b   n  3;  1 Gọi VTPT đường thẳng AB VTPT AG đường thẳng  tan MAG   cos MAG  Khi đó:  10 3a  b 10 a  b   6ab  8b 0  10  b 0  3a  4b  +) Với 3a  4b  AB : x  y  24 0 Thấy d  K ; AB  2  d  K ; AG   10 (loại) +)Với b 0  AB : x  0 Ghi chú: Nếu học sinh công nhận ngộ nhận chứng minh kết bước làm bước cịn lại cho 0.5 điểm Câu u  Cho dãy số n u1 3   un 1  xác định   un2  5un  un , n  ¥ , n 1 Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHỊNG – TỔ – 2018-2019   Ta thành lập dãy số tính giới hạn với  1   2 u1 u2 un Chứng minh dãy số   có giới hạn Lời giải Tác giả: Nhóm tổ nhóm strong team tốn vd – vdc * Ta dễ có un  0, n  ¥ un 1  Ngoài   12   un2  5un  un  un2  un un , n  ¥ * Giả sử  un  bị chặn, lim un a, a 3 u1 , a  ¡ un 1    un2  5un  un  a  Từ suy Ta có un 1     un  không bị chặn   un  tăng Cho qua giới hạn hệ thức a  5a  a  a 0 lim un , lim Do dãy vô lý 0 un  un2  5un  un  2un 1  un  un2  5un  4un21  4un 1un 5un , (vì un 1  un  )  u n 1  1  4 1  4 1  4              u1  u1 un   un un 1  un 1  un un 1  17 lim     45 Suy Câu Cho số thực dương x, y , z thỏa mãn điều kiện x  y; x  z; x  yz  xz  xy P 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức y  x y  x y  z 2z  x    y xy yz xz Lời giải Tác giả: Nhóm tổ nhóm strong team tốn vd – vdc +/ Ta chứng minh: 1   Với a, b dương ab 1  a  b  ab (*) Thật vậy: (*)   +/ Ta có: a b   ab  0 (luôn đúng) Đẳng thức xảy a b ab 1 x  yz  xz  xy   x  z   x  y  0  x  y 0 x  z  x  z 0 x t   t   1;9  y Đặt Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang 10  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC P 3  t  Khi HSG TỐN 12 SỞ GD & ĐT HẢI PHỊNG – TỔ – 2018-2019 t 2 y z t 2 1 1  1 3  t  2  z x t 1 yz xz t 1 1 1 y z Áp dụng bất đẳng thức chứng minh, ta có: P 3  t  t 2 2 t 1 z x yz 1 f (t )   t  Xét hàm số 1 f '(t)    t   t  1 3  t  t 2 2 t 1 1 t t 2 2 , t   1;9  t 1 1 t có   t 1 t   0, t   1;9 18 P  f (t) f(9)  từ suy Dấu xảy x  y 9   x z    z y   x z   z y 1   x 9 y  x 9 y    z 3 y  xy  z  x 9 y 18  P  z 3 y Vậy Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang 11 