Hh7 cđ9 trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc – cạnh – góc (g c g)

TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ BA CỦA TAM GIÁC GÓC – CẠNH – GĨC (G.C.G) I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Trường hợp góc – cạnh – góc Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác Xét ∆ABC ∆A’B’C’ có  B  B BC  B C   C  C Suy ABC AB ' C ( g.c.g ) Hệ Hệ 1: Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vuông cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng     Xét ABC A 90 AB C  A 90 có AB  AB   B  B Suy ABC AB ' C  (cạnh góc vng – góc nhọn kề) Hệ 2: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng     Xét ABC A 90 AB C  A 90 có BC  B C   B  B Suy ABC AB ' C  (cạnh huyền – góc Trang nhọn) II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Vẽ tam giác biết cạnh hai góc kề Phương pháp giải   Vẽ ∆ABC biết A  , AB a, B Bước Vẽ đoạn thẳng AB a Bước Bước Bước Trên nửa mặt phẳng bờ chứa AB   vẽ hai tia Ax By thỏa mãn A  , B Bước Bước Xác định vị trí đỉnh C: Giao hai tia vừa vẽ Ví dụ mẫu  30 Ví dụ Vẽ ∆ABC biết AC 3cm, A 90 , C Hướng dẫn giải - Vẽ đoạn thẳng AC 3cm - Trên nửa mặt phẳng bờ AC: + Vẽ tia Ax vng góc với AC A + Vẽ tia Cy cho ACy 30 - Ax Cy cắt B Ta ∆ABC cần vẽ Trang Bài tập tự luyện dạng  70 , BC 4cm, C  60 Câu 1: Vẽ ∆ABC có B  30 , BC 3cm, C  60 Câu 2: Vẽ ∆ABC có B Dạng 2: Chứng minh hai tam giác theo trường hợp góc - cạnh - góc Phương pháp giải Ví dụ: Cho hình vẽ sau: Chứng minh ABC ABD Hướng dẫn giải Bước Xét hai tam giác cần chứng minh Xét ∆ABC ∆ABD ta có Bước Kiểm tra ba điều kiện nhau: góc cạnh – góc A  A (giả thiết) Chú ý: Hai góc kề cạnh Bước Kết luận hai tam giác AB cạnh chung  B  (giả thiết) B Do ABC ABD  g c.g  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình vẽ sau đây, chứng minh ABD ACE Trang Hướng dẫn giải  C  nên B  C   B  180 , C  C  180 (hai góc kề bù) Mà B Ta có B 2 1 2 Xét ∆ABD ∆ACE, ta có  E  (giả thiết) D BD CE (giả thiết)  C  (chứng minh trên) B 2 Do ABD ACE  g c.g  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong hình sau có tam giác nhau? Vì sao? Câu 2: Cho hình vẽ sau biết AB  AC Chứng minh ABK ACD Dạng Chứng minh hai đoạn thẳng Trang Phương pháp giải Ví dụ: Cho hình vẽ sau với AB // CD, AD // BC Chứng minh AB CD AD  BC Hướng dẫn giải Xét ∆ACD ∆CAB ta có Bước Chọn hai tam giác có cạnh hai đoạn thẳng cần chứng minh Bước Chứng minh hai tam giác theo ba trường hợp A C  (hai góc so le AD // BC ) 1 AC cạnh chung A C  (hai góc so le AB // DC ) 2 Do ACD CAB (g.c.g) Bước Suy hai cạnh tương ứng  AB CD (hai cặp cạnh tương ứng)  AD  BC Suy ra:  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho cặp đoạn thẳng song song AD, BC bị chắn hai đường thẳng song song AB, CD Qua giao điểm M AC BD, kẻ đường thẳng cắt AD, BC theo thứ tự K, E Chứng minh rằng: a) MA  MC b) MK  ME Hướng dẫn giải  ;D  B  (hai góc so le trong) a) Vì AD // BC nên A1 C 1  (hai góc so le trong) Vì AB // CD nên A2 C Xét ∆ACD ∆CAB, ta có Trang A C  (chứng minh trên) 1 AC cạnh chung A C  (chứng minh trên) 2 Do ACD CAB  g c.g   AD  BC (hai cạnh tương ứng) Xét ∆MAD ∆MCB, ta có A C  (chứng minh trên) 1 AD  BC (chứng minh trên)  B  (chứng minh trên) D 1 Do MAD MCB  g c.g   MA MC (hai cạnh tương ứng) Sơ đồ chứng minh Vận dụng tính chất song song AD // BC , AB // CD  Chứng minh ACD CAB  g c.g   Chứng minh AD  BC  Chứng minh MAD MCB  g c.g   Chứng minh MA  MC b) Xét ∆MAK ∆MCE, ta có  M  (hai góc đối đỉnh) M MA  MC ( chứng minh trên) A C  (chứng minh trên) 1 Do MAK MCE  g c.g   MK ME (hai cạnh tương ứng) Bài tập tự luyện dạng   Câu 1: Cho ∆ABC có AB  AC A  90 Kẻ BD vng góc với AC  D  AC  Kẻ CE vng góc với AB  E  AB  Chứng minh rằng: BD CE Câu 2: Cho ∆ABC, điểm M thuộc cạnh BC Đường thẳng qua M song song với AB cắt AC D Đường thẳng qua M song song với AC cắt AB E Chứng minh AD  ME Dạng 4: Sử dụng nhiều trường hợp tam giác Phương pháp giải Sử dụng nhiều trường hợp hai tam giác học: +) Cạnh - cạnh - cạnh +) Cạnh - góc - cạnh Trang +) Góc - cạnh – góc Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ∆ABC có AB  AC Trên hai cạnh AB, AC lấy hai điểm D, E cho AD  AE Chứng minh a) BE  DC b) Gọi F giao điểm EB DC Chứng minh FD  FE Hướng dẫn giải a) Xét ∆ADC ∆AEB, ta có AD  AE (giả thiết) A góc chung AB  AC (giả thiết) Do ADC AEB  c.g c   DC  EB (hai cạnh tương ứng)  C  ;E  D  (hai góc tương ứng) b) Theo câu a ta có ADC AEB  B 1 2  D  nên E  D  (hai góc kề bù với hai góc nhau) Vì E 2 1 Lại có AB  AC AD  AE  AB  AD  AC  AE  DB CE Xét ∆DFB ∆EFC, ta có  C  B 1   BD CE (chứng minh trên)    D1  E1 Do DFB EFC  g c.g   DF  EF ( hai cạnh tương ứng) Sơ đồ chứng minh câu b Sử dụng kết câu a  C  ; BD CE; D  E   Chứng minh B 1 1  Chứng minh DFB EFC  g c.g  Trang  Chứng minh DF  EF Ví dụ Cho ∆ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AB Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE  AC Một đường thẳng qua A cắt cạnh DE BC theo thứ tự M N Chứng minh AM  AN Hướng dẫn giải Xét ∆AED ∆ACB, ta có AE  AC (giả thiết)   (hai góc đối đỉnh) EAD CAB AD  AB (giả thiết)  C  (hai góc tương ứng) Do AED ACB  c.g.c   E Xét ∆AME ∆ANC, ta có A  A (hai góc đối đỉnh) AE  AC (giả thiết)  C  (chứng minh trên) E Do AME ANC  g c.g   AM  AN (hai cạnh tương ứng) Sơ đồ chứng minh Chứng minh AED ACB  c.g.c   C   Chứng minh E  Chứng minh AME ANC  g c.g   Chứng minh AM  AN Trang Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho ∆ABC  AB  AC  Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AB Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE  AC Gọi O giao điểm BC DE Chứng minh a) ADE  ABC b) OD OB  c) OA tia phân giác COE Câu 2: Cho ∆ABC có AB  AC Trên cạnh AB AC lấy điểm D E cho AD  AE Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh a) BE CD   b) KBC  KCB Câu 3: Cho ∆ABC có A 60 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác cắt I Chứng minh ID  IE Trang ĐÁP ÁN Dạng Vẽ tam giác biết cạnh hai góc kề Câu 1: - Vẽ đoạn thẳng BC 4cm Trên nửa mặt phẳng bờ BC:  - Vẽ tia Bx cho xBC 70 - Vẽ tia Cy cho yCB 60 Bx Cy cắt A Ta ∆ABC cần vẽ Câu 2: - Vẽ đoạn thẳng BC 3cm Trên nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng BC:  - Vẽ góc CBx 30  - Vẽ góc BCy 60 Hai tia Bx Cy cắt A Ta ∆ABC cần vẽ Dạng Chứng minh hai tam giác theo trường hợp góc - cạnh – góc Câu 1: Trang 10  chung O  OAD OCB  g c.g  OA OC   OAD OCB OAD OCB  g c.g   OD OB (hai cạnh tương ứng)  D  (hai góc tương ứng) B Mà OC OA  CD  AB     Lại có OAD nên BAD (hai góc kề bù với hai góc OCB  DCB nhau) Gọi I giao điểm AD BC  D  B  Xét ∆AIB ∆CID có  AB CD (chứng minh trên)    BAI  DCI Suy AIB CID  g c.g  Vậy OAD OCB  g c.g  AIB CID  g c.g  Câu 2: Xét ∆ABK vng A ∆ACD vng A có: AB  AC ABK  ACD Suy ABK ACD (cạnh góc vng - góc nhọn kề) Dạng Chứng minh hai đoạn thẳng Câu 1: Trang 11 Xét ∆ADB vuông D ∆AEC vuông E, ta có A chung AB  AC Do ADB AEC (cạnh huyền - góc nhọn)  DB  EC (hai cạnh tương ứng) Câu 2: Xét ∆AMD ∆MAE, ta có AMD MAE  (hai góc so le trong, MD // AB ) AM cạnh chung   (hai góc so le trong, ME // AC ) EMA  DAM Do AMD MAE  g c.g   ME  AD (hai cạnh tương ứng) Dạng Sử dụng nhiều trường hợp tam giác Câu 1: Trang 12 a) Xét ∆ADE ∆ABC, ta có AD  AB (giả thiết)   (hai góc đối đỉnh) DAE  BAC AE  AC (giả thiết) Do ADE ABC  c.g c   ADE  ABC (hai góc tương ứng)   b) Vì EDA nên ADO  ABO (tính chất hai góc kề bù) CBA Lại có AE  AC , AD  AB nên AE  AB  AC  AD hay BE  DC    C  (do ADE ABC ) Xét ∆OBE ∆ODC, ta có OBE ODC , BE  DC , E Do OBE ODC  g c.g   OD OB (hai cạnh tương ứng) c) Xét ∆ODA ∆OBA, ta có OD OB, ADO  ABO, AD  AB    BOA Do ODA OBA  c.g.c   DOA (hai góc tương ứng)  OA tia phân giác COE Câu 2: a) Xét ∆AEB ∆ADC, ta có AE  AD, A góc chung, AB  AC Do AEB ADC  c.g.c   BE CD (hai cạnh tương ứng) b) Do AB  AC ; AD  AE nên BD  EC Trang 13 Xét ∆DBC ∆ECB, ta có DC  BE (chứng minh trên), BC cạnh chung, BD  EC Do DBC ECB  c.c.c      (hai góc tương ứng) hay KBC  DCB  EBC  KCB Câu 3: Xét ∆ABC ta có  C  180  A 180  60 120 B  C  60 (do BD CE tia phân giác góc B góc C)  B 1     C  120 180  B ∆BIC có BIC 1   I  I 60 (hai góc đối đỉnh kề bù với BIC ) Trên BC lấy điểm F cho BE  BF Khi dễ dàng chứng minh BEI BFI  c.g c   IE  IF (hai cạnh tương ứng) (1)  I  BIF 60 (hai góc tương ứng)    FIC BIC  BIF 60 Xét ∆IFC ∆IDC ta có  C  (do CI phân giác ACB )   FIC  DIC 60 (chứng minh trên), IC cạnh chung, C Do IFC IDC  c.c.c  Suy ID  IF (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2), suy IE  ID Trang 14