chuyen de truong hop bang nhau thu ba cua tam giac goc canh goc g c g

BÀI TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ BA CỦA TAM GIÁC GÓC – CẠNH – GÓC (G.C.G) Mục tiêu  Kiến thức + Nắm cách vẽ tam giác biết cạnh hai góc kề + Phát biểu hiểu trường hợp góc - cạnh – góc + Phát biểu nắm hệ trường hợp góc - cạnh - góc tam giác vuông  Kĩ + Vẽ thành thạo tam giác biết cạnh hai góc kề + Phát chứng minh hai tam giác theo trường hợp góc - cạnh – góc + Biết vận dụng cách linh hoạt trường hợp hai tam giác để chứng minh hai tam giác nhau, hai đoạn thẳng (góc) + Biết trình bày lập luận chặt chẽ toán chứng minh hai tam giác nhau, hai góc (đoạn thẳng) Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Trường hợp góc – cạnh – góc Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác Xét ∆ABC ∆A’B’C’ có B  B BC  B C   C  C Suy ABC  AB ' C ( g.c.g ) Hệ Hệ 1: Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng     Xét ABC  A  90 AB C   A  90 có AB  AB  B  B Suy ABC  AB ' C  (cạnh góc vng – góc nhọn kề) Hệ 2: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng     Xét ABC  A  90 AB C   A  90 có BC  B C  B  B Suy ABC  AB ' C  (cạnh huyền – góc nhọn) Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG Định nghĩa  AB  AB ', BC  BC , CA  C A ABC  AB ' C   B ; C  C  A  A; B   HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU Trường hợp 1: Cạnh – cạnh - cạnh Nếu ∆ABC ∆A’B’C’có Trường hợp 2: Cạnh – góc - cạnh Nếu ∆ABC ∆A’B’C’có AB  A ' B , BC  B C , CA  C A ABC  AB C  B , BC  B C  AB  A ' B , B ABC  AB C  Trường hợp 3: Góc – cạnh – góc Trường hợp tam giác vng Cạnh góc vng – cạnh góc vng Nếu ∆ABC ∆A’B’C’có B , BC  B C , C  C  B ABC  AB C  Trường hợp tam giác vng * Cạnh góc vng - góc nhọn kề * Cạnh huyền – góc nhọn Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Vẽ tam giác biết cạnh hai góc kề Phương pháp giải  Vẽ ∆ABC biết A   , AB  a, B Bước Vẽ đoạn thẳng AB  a Bước Bước Bước Trên nửa mặt phẳng bờ chứa AB vẽ  hai tia Ax By thỏa mãn A   , B Bước Bước Xác định vị trí đỉnh C: Giao hai tia vừa vẽ Ví dụ mẫu   30 Ví dụ Vẽ ∆ABC biết AC  3cm,  A  90, C Hướng dẫn giải - Vẽ đoạn thẳng AC  3cm - Trên nửa mặt phẳng bờ AC: + Vẽ tia Ax vng góc với AC A + Vẽ tia Cy cho  ACy  30 - Ax Cy cắt B Ta ∆ABC cần vẽ Trang Bài tập tự luyện dạng   70, BC  4cm, C   60 Câu 1: Vẽ ∆ABC có B   30, BC  3cm, C   60 Câu 2: Vẽ ∆ABC có B Dạng 2: Chứng minh hai tam giác theo trường hợp góc - cạnh - góc Phương pháp giải Ví dụ: Cho hình vẽ sau: Chứng minh ABC  ABD Bước Xét hai tam giác cần chứng minh Bước Kiểm tra ba điều kiện nhau: góc - Hướng dẫn giải Xét ∆ABC ∆ABD ta có cạnh – góc  A1   A2 (giả thiết) Chú ý: Hai góc kề cạnh AB cạnh chung Bước Kết luận hai tam giác B  (giả thiết) B Do ABC  ABD  g c.g  Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình vẽ sau đây, chứng minh ABD  ACE Hướng dẫn giải B   180, C  C   180 (hai góc kề bù) Mà B  C  nên B  C  Ta có B 2 1 2 Xét ∆ABD ∆ACE, ta có E  (giả thiết) D Trang BD  CE (giả thiết)  C  (chứng minh trên) B 2 Do ABD  ACE  g c.g  Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong hình sau có tam giác nhau? Vì sao? Câu 2: Cho hình vẽ sau biết AB  AC Chứng minh ABK  ACD Dạng Chứng minh hai đoạn thẳng Phương pháp giải Ví dụ: Cho hình vẽ sau với AB // CD, AD // BC Chứng minh AB  CD AD  BC Hướng dẫn giải Bước Chọn hai tam giác có cạnh hai đoạn thẳng cần chứng minh Xét ∆ACD ∆CAB ta có   (hai góc so le AD // BC ) A1  C Trang Bước Chứng minh hai tam giác theo AC cạnh chung ba trường hợp   (hai góc so le AB // DC ) A2  C Do ACD  CAB (g.c.g) Bước Suy hai cạnh tương ứng  AB  CD Suy ra:  (hai cặp cạnh tương ứng)  AD  BC Ví dụ mẫu Ví dụ Cho cặp đoạn thẳng song song AD, BC bị chắn hai đường thẳng song song AB, CD Qua giao điểm M AC BD, kẻ đường thẳng cắt AD, BC theo thứ tự K, E Chứng minh rằng: a) MA  MC b) MK  ME Hướng dẫn giải ; D B  (hai góc so le trong) a) Vì AD // BC nên  A1  C 1  (hai góc so le trong) Vì AB // CD nên  A2  C Xét ∆ACD ∆CAB, ta có   (chứng minh trên) A1  C AC cạnh chung   (chứng minh trên) A2  C Do ACD  CAB  g c.g   AD  BC (hai cạnh tương ứng) Xét ∆MAD ∆MCB, ta có   (chứng minh trên) A1  C AD  BC (chứng minh trên) B  (chứng minh trên) D 1 Do MAD  MCB  g c.g   MA  MC (hai cạnh tương ứng) Sơ đồ chứng minh Vận dụng tính chất song song AD // BC , AB // CD  Chứng minh ACD  CAB  g c.g   Chứng minh AD  BC  Chứng minh MAD  MCB  g c.g   Chứng minh MA  MC Trang b) Xét ∆MAK ∆MCE, ta có M  (hai góc đối đỉnh) M MA  MC ( chứng minh trên)   (chứng minh trên) A1  C Do MAK  MCE  g c.g   MK  ME (hai cạnh tương ứng) Bài tập tự luyện dạng   Câu 1: Cho ∆ABC có AB  AC  A  90 Kẻ BD vuông góc với AC  D  AC  Kẻ CE vng góc với AB  E  AB  Chứng minh rằng: BD  CE Câu 2: Cho ∆ABC, điểm M thuộc cạnh BC Đường thẳng qua M song song với AB cắt AC D Đường thẳng qua M song song với AC cắt AB E Chứng minh AD  ME Dạng 4: Sử dụng nhiều trường hợp tam giác Phương pháp giải Sử dụng nhiều trường hợp hai tam giác học: +) Cạnh - cạnh - cạnh +) Cạnh - góc - cạnh +) Góc - cạnh – góc Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ∆ABC có AB  AC Trên hai cạnh AB, AC lấy hai điểm D, E cho AD  AE Chứng minh a) BE  DC b) Gọi F giao điểm EB DC Chứng minh FD  FE Hướng dẫn giải a) Xét ∆ADC ∆AEB, ta có AD  AE (giả thiết) A góc chung AB  AC (giả thiết) Do ADC  AEB  c.g c   DC  EB (hai cạnh tương ứng) Trang  C ; E D  (hai góc tương ứng) b) Theo câu a ta có ADC  AEB  B 1 2 D  nên E D  (hai góc kề bù với hai góc nhau) Vì E 2 1 Lại có AB  AC AD  AE  AB  AD  AC  AE  DB  CE Xét ∆DFB ∆EFC, ta có  C  B 1  BD  CE (chứng minh trên)     D1  E1 Do DFB  EFC  g c.g   DF  EF ( hai cạnh tương ứng) Sơ đồ chứng minh câu b Sử dụng kết câu a  C  ; BD  CE; D E   Chứng minh B 1 1  Chứng minh DFB  EFC  g.c.g   Chứng minh DF  EF Ví dụ Cho ∆ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AB Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE  AC Một đường thẳng qua A cắt cạnh DE BC theo thứ tự M N Chứng minh AM  AN Hướng dẫn giải Xét ∆AED ∆ACB, ta có AE  AC (giả thiết)   CAB  (hai góc đối đỉnh) EAD AD  AB (giả thiết)  C  (hai góc tương ứng) Do AED  ACB  c.g c   E Xét ∆AME ∆ANC, ta có Trang  A1   A2 (hai góc đối đỉnh) AE  AC (giả thiết)  C  (chứng minh trên) E Do AME  ANC  g c.g   AM  AN (hai cạnh tương ứng) Sơ đồ chứng minh Chứng minh AED  ACB  c.g c   C   Chứng minh E  Chứng minh AME  ANC  g.c.g   Chứng minh AM  AN Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho ∆ABC  AB  AC  Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AB Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE  AC Gọi O giao điểm BC DE Chứng minh a)  ADE   ABC b) OD  OB  c) OA tia phân giác COE Câu 2: Cho ∆ABC có AB  AC Trên cạnh AB AC lấy điểm D E cho AD  AE Gọi K giao điểm BE CD Chứng minh a) BE  CD   KCB  b) KBC Câu 3: Cho ∆ABC có  A  60 Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Các tia phân giác cắt I Chứng minh ID  IE Trang 10 ĐÁP ÁN Dạng Vẽ tam giác biết cạnh hai góc kề Câu 1: - Vẽ đoạn thẳng BC  4cm Trên nửa mặt phẳng bờ BC:   70 - Vẽ tia Bx cho xBC - Vẽ tia Cy cho  yCB  60 Bx Cy cắt A Ta ∆ABC cần vẽ Câu 2: - Vẽ đoạn thẳng BC  3cm Trên nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng BC:   30 - Vẽ góc CBx   60 - Vẽ góc BCy Hai tia Bx Cy cắt A Ta ∆ABC cần vẽ Dạng Chứng minh hai tam giác theo trường hợp góc - cạnh – góc Câu 1:  chung O  OAD  OCB  g.c.g  OA  OC   OAD  OCB Trang 11 OAD  OCB  g c.g   OD  OB (hai cạnh tương ứng) D  (hai góc tương ứng) B Mà OC  OA  CD  AB   OCB  nên BAD   DCB  (hai góc kề bù với hai góc Lại có OAD nhau) Gọi I giao điểm AD BC D  B  Xét ∆AIB ∆CID có  AB  CD (chứng minh trên)    BAI  DCI Suy AIB  CID  g c.g  Vậy OAD  OCB  g c.g  AIB  CID  g c.g  Câu 2: Xét ∆ABK vng A ∆ACD vng A có: AB  AC  ABK   ACD Suy ABK  ACD (cạnh góc vng - góc nhọn kề) Dạng Chứng minh hai đoạn thẳng Câu 1: Xét ∆ADB vuông D ∆AEC vuông E, ta có A chung Trang 12 AB  AC Do ADB  AEC (cạnh huyền - góc nhọn)  DB  EC (hai cạnh tương ứng) Câu 2: Xét ∆AMD ∆MAE, ta có   (hai góc so le trong, MD // AB ) AMD  MAE AM cạnh chung   DAM  (hai góc so le trong, ME // AC ) EMA Do AMD  MAE  g c.g   ME  AD (hai cạnh tương ứng) Dạng Sử dụng nhiều trường hợp tam giác Câu 1: a) Xét ∆ADE ∆ABC, ta có AD  AB (giả thiết)   BAC  (hai góc đối đỉnh) DAE AE  AC (giả thiết) Do ADE  ABC  c.g c   (hai góc tương ứng)  ADE  ABC   CBA  nên  b) Vì EDA ADO   ABO (tính chất hai góc kề bù) Trang 13 Lại có AE  AC , AD  AB nên AE  AB  AC  AD hay BE  DC   ODC  , BE  DC , E  C  (do ADE  ABC ) Xét ∆OBE ∆ODC, ta có OBE Do OBE  ODC  g c.g   OD  OB (hai cạnh tương ứng) c) Xét ∆ODA ∆OBA, ta có OD  OB,  ADO   ABO, AD  AB    BOA  (hai góc tương ứng)  OA tia phân giác COE Do ODA  OBA  c.g c   DOA Câu 2: a) Xét ∆AEB ∆ADC, ta có AE  AD,  A góc chung, AB  AC Do AEB  ADC  c.g c   BE  CD (hai cạnh tương ứng) b) Do AB  AC ; AD  AE nên BD  EC Xét ∆DBC ∆ECB, ta có DC  BE (chứng minh trên), BC cạnh chung, BD  EC Do DBC  ECB  c.c.c    EBC  (hai góc tương ứng) hay KBC   KCB   DCB Câu 3: Xét ∆ABC ta có  C   180   B A  180  60  120 Trang 14  C   60 (do BD CE tia phân giác góc B góc C) B 1     180  B  C   120 ∆BIC có BIC 1  )  I1  I2  60 (hai góc đối đỉnh kề bù với BIC Trên BC lấy điểm F cho BE  BF Khi dễ dàng chứng minh BEI  BFI  c.g c   IE  IF (hai cạnh tương ứng) (1)   60 (hai góc tương ứng) I1  BIF   BIC   BIF   60 FIC Xét ∆IFC ∆IDC ta có  C  (do CI phân giác    DIC   60 (chứng minh trên), IC cạnh chung, C FIC ACB ) Do IFC  IDC  c.c.c  Suy ID  IF (hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2), suy IE  ID Trang 15 ... THUYẾT TRỌNG TÂM Trường hợp g? ?c – c? ??nh – g? ?c Nếu c? ??nh hai g? ?c kề tam gi? ?c cạnh hai g? ?c kề tam gi? ?c hai tam gi? ?c Xét ∆ABC ∆A’B? ?C? ?? c? ? B  B BC  B ? ?C   ? ?C  C Suy ABC  AB '' C ( g. c .g. .. ABC  AB ? ?C  Trường hợp 3: G? ?c – c? ??nh – g? ?c Trường hợp tam gi? ?c vng C? ??nh g? ?c vng – c? ??nh g? ?c vng Nếu ∆ABC ∆A’B? ?C? ? ?c? ? B , BC  B ? ?C , C  ? ?C  B ABC  AB ? ?C  Trường hợp tam gi? ?c vng... AB '' C  (c? ??nh g? ?c vng – g? ?c nhọn kề) Hệ 2: Nếu c? ??nh huyền g? ?c nhọn tam gi? ?c vng c? ??nh huyền g? ?c nhọn tam gi? ?c vng hai tam gi? ?c vng     Xét ABC  A  90 AB ? ?C   A  90 c? ? BC  B ? ?C 