Hh7 cđ8 trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác

CHUYÊN ĐỀ TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI CỦA TAM GIÁC (cgc) I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Trường hợp cạnh – góc – cạnh Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác Xét ∆ABC ∆A’B’C’ có AB  AB  B  B BC B ' C  Suy ABC ABC  c.g c  Hệ Trường hợp hai tam giác vng Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Xét  ABC A 90  ABC A 90  có AB  A ' B AC  AC  Suy ABC ABC  (hai cạnh góc vng) II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Vẽ tam giác biết độ dài hai cạnh góc xen Phương pháp giải:  Vẽ ∆ABC biết độ dài hai cạnh AB a, BC b B   Bước Vẽ góc xBy  Bước Xác định vị trí hai đỉnh cịn lại tam giác - Trên tia Bx, lấy điểm A cho AB a ; - Trên tia By, lấy điểm C cho BC b Bước Nối đoạn thẳng AC, ta ∆ABC Bài 1: Vẽ tam giác ABC có ABD AEC Xác định độ dài cạnh BC Lời giải  - Vẽ góc xAy 60 - Trên tia Ax lấy điểm B cho AB 4cm - Trên tia Ay lấy điểm C cho AC 4cm - Vẽ đoạn thẳng BC ta tam giác ABC Dùng thước đo độ dài, ta đo BC 4cm Bài 2:  Vẽ tam giác ABC biết A 90 , AB 3cm AC 4cm Lời giải  - Vẽ góc xAy 90 - Trên tia Ax lấy điểm B cho AB 3cm - Trên tia Ay lấy điểm C cho AC 4cm - Vẽ đoạn thẳng BC ta tam giác ABC Bài 3: Vẽ tam giác MNP biết MN 4cm, MP 5cm  45 M Lời giải  - Vẽ góc xMy 45 - Trên tia Mx lấy điểm N cho MN 4cm - Trên tia My lấy điểm P cho MP 5cm - Vẽ đoạn thẳng PN ta tam giác MNP Bài 4:  Vẽ tam giác ABC có C 50 , CA CB 3cm Lời giải  - Vẽ góc xCy 50 - Trên tia Cx lấy điểm A cho CA 3cm - Trên tia Cy lấy điểm B cho BC 3cm - Vẽ đoạn thẳng AB ta tam giác ABC Dạng 2: Chứng minh hai tam giác theo trường hợp cạnh - góc - cạnh Phương pháp giải: Bước Kiểm tra ba điều kiện nhau: cạnh - góc - cạnh Chú ý: Góc xen hai cạnh Bước Kết luận hai tam giác Ví dụ: Cho ∆ABC ∆ABD hình vẽ Chứng minh ABC ABD Hướng dẫn giải Xét ∆ABC ∆ABD có AC  AD (giả thiết), A  A (giả thiết), AB cạnh chung Suy ABC ABD  c.g c  Bài MĐ1 Trong hình vẽ sau, có tam giác nhau? Vì sao? A M N E B C Q D P Lời giải: Các tam giác nhau: ABD AED ; QMP NPM Vì: + Xét ABD AED có :   AB  AE (giả thiết); BAD EAD (giả thiết); AD cạnh chung  ABD AED (c.g.c) + Xét QMP NPM có:   QPM MN PQ (giả thiết); NMP (giả thiết); MP cạnh chung  QMP NPM (c.g.c) Bài MĐ2 Nêu thêm điều kiện để hình hai tam giác theo trường hợp cạnh - góc - cạnh A P Q F E I B D G H M N C Lời giải:   Để ABC ADC theo trường hợp cạnh - góc - cạnh thêm điều kiện : ACB  ACD Để EFI GHI theo trường hợp cạnh - góc - cạnh thêm điều kiện: IF IH Để MNP NMQ theo trường hợp cạnh - góc - cạnh thêm điều kiện: NP MQ Bài MĐ2 Qua trung điểm I đoạn thẳng AB , kẻ đường thẳng vng góc với AB , đường thẳng vng góc lấy hai điểm C D Nối CA, CB, DA, DB Tìm cặp tam giác Lời giải: D C A I B Xét ACI BCI có: AI BI ( I trung điểm AB ), CI cạnh chung, AIC BIC  90  ACI BCI (c.g.c) Xét ADI BDI có: AI BI ( I trung điểm AB ), DI cạnh chung, AID BID  90  ADI BDI (c.g.c) Vậy cặp tam giác là: ACI BCI ; ADI BDI BC ,  H  BC  Bài MĐ2 Cho tam giác ABC , kẻ AH vng góc với Trên tia đối tia HA lấy điểm K cho HK HA , nối KB, KC Tìm cặp tam giác Lời giải: K B H C A   + Xét ABH KBH có: BH cạnh chung; AH KH (giả thiết); AHB KHB 90  ABH KBH (c.g.c)   + Xét CAH CKH có: CH cạnh chung; AH KH (giả thiết); AHC KHC 90  CAH CKH (c.g.c) + Xét ABC KBC có: BC cạnh chung, AC KC (vì CAH CKH ), AB KB (vì ABH KBH )  CAH CKH (c c c) Vậy cặp tam giác nhau: ABH KBH , CAH CKH , ABC KBC Bài MĐ2 Cho tam giác ABC có AB  AC Gọi AM tia phân giác góc A Chứng minh ABM ACM A B M Lời giải: Xét tam giác ABM tam giác ACM có : AB  AC (giả thiết),   BAM CAM ( AM tia phân giác góc A ), AM cạnh chung Suy ABM ACM (c.g.c) C   Bài 10 MĐ2 Cho tam giác ABC có B C Gọi AM tia phân giác góc A Chứng minh ABM ACM A B M C Lời giải: Xét ABM có: Xét ACM có:   180  A  B  M   180  A  C  M  (tổng ba góc tam giác 180 )  (tổng ba góc tam giác 180 )      A  A suy M M Mà: B C ; Xét tam giác ABM tam giác ACM có :  M  M (chứng minh trên), AM cạnh chung, A  A  ( AM tia phân giác góc A ) Suy ABM ACM (c.g.c)  Bài 11 MĐ2 Cho Oz tia phân giác góc xOy Trên tia Ox, Oy , Oz lấy điểm A, B, C (khác O ) cho OA OB Chứng minh OAC OBC Lời giải: x A z C O B Xét OAC OBC có: OA OB (giả thiết) AOC BOC  (giả thiết) OC cạnh chung  OAC OBC (c.g.c) y Bài 12 MĐ3 Cho góc xOy khác góc bẹt Trên cạnh Ox lấy hai điểm A B , cạnh Oy lấy hai điểm C D , cho OA OC; OB OD a) Chứng minh OAD OCB b) Chứng minh ACD CAB Lời giải: x B A O C D y  a) Xét tam giác OAD tam giác OCB , ta có: OA OC (giả thiết), AOC chung, OD OB (giả thiết)  OAD OCB (c.g.c) b) Ta có : OB OA  AB , OD OC  CD Mà OA OC; OB OD nên AB CD   Lại có: OAD OCB (chứng minh trên) suy AD CB; D B (tương ứng)   Xét tam giác ACD tam giác CAB có: AB CD , D B , AD CB (chứng minh trên)  ACD CAB (c.g.c) Bài 13 MĐ3 Cho ABC vuông A Trên tia đối tia AC lấy điểm D cho AD  AC a) Chứng minh ABC ABD b) Trên tia đối tia AB lấy điểm M Chứng minh MBD MBC Lời giải: M B D C A   a) Xét ABC ABD có: AD  AC (giả thiết), BAD BAC 90 , AB cạnh chung  ABC ABD (c.g.c)   b) Xét MBD MBC có: AD  AC (giả thiết), MAD MAC 90 , AM cạnh chung  MBD MBC (c.g.c) Bài 17 MĐ4 Cho ABC , kẻ BD vng góc với AC , CE vng góc với AB Trên tia đối tia BD , lấy điểm H cho BH  AC Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho CK  AB Chứng minh AH  AK Lời giải: A D E 1 B C K H   A 90  B Xét ABD vng B (vì BD  AC ) (1)   A 90  C Xét ACE vng E (vì CE  AB ) Từ (1) (2) suy ra: Mà (2)  C  B 1  B  180 , C  C  180  B  C  B 2 2  C  B (chứng minh trên), BH  AC (giả thiết) Xét ABH KCA có: AB CK (giả thiết),  ABH KAC (c.g.c )  AH  AK (hai cạnh tương ứng) Bài 1: Cho đoạn thẳng AB Trên hai nửa mặt phẳng đối bờ AB, vẽ đoạn thẳng AC, BD vng góc với AB Gọi M trung điểm AB Chứng minh AMC BMD Lời giải   Vì AC, BD vng góc với AB nên A B 90 Lại có M trung điểm AB nên MA MB Xét ∆AMC ∆BMD, có AC BD (giả thiết)   CAM DBM 90 AM BM Suy AMC BMD  c.g c  Bài 2: Cho ∆ABC ∆A’B’C’ hình vẽ Khẳng định sau đúng? A ABC ABC  B ABC BAC  C ABC C AB D ABC C BA Lời giải Chọn D Xét ∆ABC ∆A’B’C’ có AB BC  A C  AC  AC  Do ABC C BA c.g c  Bài 3: Cho hình vẽ bên Khẳng định đúng? A AOD BOC B AOB COD C AOD COD D ADB ADC Lời giải Quan sát hình vẽ, dễ chứng minh được: AOB COD  c.g c  (B đúng) AOD COB  c.g c  (A C sai) D ADB DAC sai BD  AC Do có đáp án B Bài 4: 10 Để chứng minh hai đoạn thẳng hai góc nhau, ta chứng minh hai tam giác có chứa hai đoạn thẳng hai góc Bước Chọn hai tam giác có cạnh (hoặc góc) hai đoạn thẳng (hoặc hai góc) cần chứng minh Bước Chứng minh hai tam giác theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh cạnh - góc - cạnh (tùy theo giả thiết đề cho) Bước Suy cặp góc (cặp cạnh) tương ứng Ví dụ: Cho ∆ABC có AB  AC Tia phân giác góc A cắt BC D   Chứng minh B C BD DC Hướng dẫn giải Xét ∆ADB ∆ADC có AB  AC (giả thiết) A  A  (do AD tia phân giác) AD cạnh chung Do ADB ADC (c.g.c) Suy ra:  C  B (hai góc tương ứng); BD DC (hai cạnh tương ứng) Bài MĐ1 Cho tam giác ABC có AB  AC , tia phân giác góc A cắt BC M Chứng minh: BM CM Lời giải: 13 A 12 B C M Xét tam giác ABM tam giác ACM có: AB  AC (giả thiết),   BAM CAM ( AM tia phân giác góc A ), AM cạnh chung  ABM ACM (c.g.c)  BM CM (hai cạnh tương ứng)  C  Om  C O  Bài MĐ1 Cho góc nhọn xOy có Om tia phân giác, Trên tia Ox lấy điểm A , tia Oy lấy điểm B cho OA OB Chứng minh: CA CB Lời giải: x A m C O B y   Xét OAC OBC có: OA OB (giả thiết), AOC BOC (giả thiết), OC cạnh chung  OAC OBC (c.g.c)  CA CB (hai cạnh tương ứng) Bài MĐ1 Cho ABC MNP Gọi O G trung điểm cạnh BC NP Chứng minh AO MG Lời giải: A B M O N C 14 G P   Ta có: ABC MNP  AB MN , B  N , BC  NP (tương ứng) 1 BO  BC NG  NP 2 Mà O trung điểm BC nên , G trung điểm NP nên Từ suy BO  NG   Xét ABO MNG , ta có: AB MN B  N , BO NG (chứng minh trên)  ABO MNG (c.g.c)  AO MG (hai cạnh tương ứng) Bài MĐ2 Cho ABC có AB  AC Phân giác góc A cắt cạnh BC điểm D Trên cạnh AC lấy điểm E cho AE  AB Chứng minh: a) BD ED b) DA tia phân giác góc BDE Lời giải: A E B C D a) Xét ADB ADE có: AE  AB (giả thiết),   BAD EAD ( AD tia phân giác góc A ), AD cạnh chung  ADB ADE (c.g.c)  BD CE (hai cạnh tương ứng)   b) Ta có: ADB ADE (chứng minh trên)  ADB  ADE (hai cạnh tương ứng)  DA tia phân giác góc BDE Bài MĐ2 Cho ABC , M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME MA Chứng minh: a) ABM ECM b) AB CE AC // BE Lời giải: 15 A B M C E a) Xét ABM ECM có: AM EM (giả thiết), BM CM ( M trung điểm BC ), AMB EMC  (hai góc đối đỉnh)  ABM ECM (c.g.c) b) Ta có: ABM ECM (chứng minh trên)  AB CE (hai cạnh tương ứng) Xét AMC EMB có: AM EM (giả thiết), BM CM ( M trung điểm BC ), AMC EMB  (hai góc đối đỉnh)  AMC EMB (c.g.c)   ACM EBM (hai góc tương ứng) Mà hai góc vị trí so le  AC // BE  Bài MĐ3 Cho tam giác ABC có A 80 Dựng AH vng góc với BC ( H  BC ) Trên tia đối tia HA lấy điểm D cho HD HA a) Chứng minh: AC DC b) Chứng minh: ABC DBC c) Xác định số đo góc BDC Lời giải: A B H D 16 C a) Xét AHC DHC có: AH  AD (giả thiết), HC cạnh chung, AHD DHC  90  AHC DHC (c.g.c)  AC DC (hai cạnh tương ứng)  C   C (hai góc tương ứng) b) Vì AHC DHC (chứng minh trên) Xét ABC DBC có: AC DC (chứng minh trên), BC cạnh chung,  C  C (chứng minh trên)  ABC DBC (c.g.c)    c) Vì ABC DBC (chứng minh trên)  BDC BAC (hai góc tương ứng)  BDC 80 Bài MĐ3 Cho ABC nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B , lấy điểm D cho AD // BC AD BC Chứng minh: a) AB CD b) AB // CD ABD CDB Lời giải: A B O D C a) Xét ABC CDA có: AD BC (giả thiết), AC cạnh chung, ACB DAC  (hai góc so le trong)  ABC CDA (c.g.c)  AB CD (hai cạnh tương ứng)   b) Vì ABC CDA (chứng minh trên)  BAC DCA (hai góc tương ứng) Mà hai góc vị trí so le  AB // DC Xét ABD CBD có: 17 AD BC (giả thiết), BD cạnh chung, ABD CBD  (hai góc so le trong)  ABC CDA (c.g.c)  Bài 10 MĐ3 Cho ABC có A 90 , cạnh BC lấy điểm E cho BA BE Tia phân giác góc B cắt AC D a) Chứng minh: ABD EBD b) Chứng minh: DA DE  c) Tính số đo BED   d) Xác định độ lớn góc B để EDB EDC Lời giải: B E A C D a) Xét ABD EBD có: BA BE (giả thiết),  B  B ( BD tia phân giác góc B ), BD cạnh chung  ABD EBD (c.g.c) b) Vì ABD EBD (chứng minh trên)  DA DE (hai cạnh tương ứng)    c) Vì ABD EBD (chứng minh trên)  BAD BED (hai cạnh tương ứng)  BED 90  C     2C  EDB EDC  B  B d) Để EDB EDC    Mà B  C 90  B 60    Vậy B 60 EDB EDC   D  BC  Trên cạnh AC lấy Bài 11 MĐ3 Cho ABC có AB  AC Kẻ tia phân giác AD BAC điểm E cho AE  AB , tia AB lấy điểm F cho AF  AC Chứng minh: a) BD ED b) BF EC 18 c) BDF EDC d) AD  FC Lời giải: A E B D C H F a) Xét ABD AED có: AD cạnh chung, A  A   ( AD tia phân giác BAC ), AB  AE (giả thiết)  ABD AED (c.g.c)  BD ED (hai cạnh tương ứng) b) Ta có: AF  AB  BF , AC  AE  EC Mà AC  AF , AB  AE (giả thiết)  BF EC  E  B (hai góc tương ứng) c) Vì ABD AED (chứng minh trên)  Ta có:  B  180 E  E  180    E  B B 2 (chứng minh trên)  B2  E2 , (kề bù) Mà  E  B , BF EC (chứng minh trên) Xét BDF EDC có: BD ED ,  BDF EDC (c.g.c) d) Gọi H giao điểm AD FC Xét AFH ACH có: AH cạnh chung, A  A   ( AD tia phân giác BAC ), AF  AC (giả thiết)  AFH ACH (c.g.c)  AHF  AHC (hai góc tương ứng)     Lại có : AHF  AHC 180 (kề bù)  AHF  AHC 90  AD  FC Bài 14 MĐ4 Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đoạn thẳng AD vng góc với AB AD  AB ( D, C khác phía so với AB ) Vẽ đoạn thẳng AE vng góc với AC AE  AC ( E , B khác phía so với AC ) Chứng minh: a) BE DC 19 b) BE  DC Lời giải: N M A P I B C   a) Vì AD  AB (giả thiết) nên BAD 90 ; AE  AC (giả thiết) nên CAE 90 Ta có:   DAC BAD  A1 90  A1     BAE CAE  A1 90  A1 Þ DAC BAE   Xét DAC BAE : AD  AB , AC  AE (giả thiết), DAC BAE (chứng minh trên)  DAC BAE (c.g.c)  E  C Vì DAC BAE (chứng minh trên) nên DC BE , ( tương ứng) b) Gọi P giao điểm AB CD ; I giao điểm BE CD   Ta có ADC  APD 90 (vì ADP vng)     Lại có: DAC BAE (chứng minh trên)  ADC  ABE hay ADP PBI   ABE  BPI 90  BE  CD Bài 15 MĐ4 Cho tam giác ABC nhọn Gọi M , N trung điểm AB, AC Lấy điểm E , D cho M , N trung điểm CE , BD a) Chứng minh: AD // BC b) Chứng minh: A, E , D thẳng hàng Lời giải: E A D N M B C a) Xét AND CNB : 20