Phân thức đại số

Chuyên đề: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ Tỉnh, thành phố HSG Bà Rịa Vũng Tàu HSG Đơng Sơn HSG Thường Tín HSG Kinh Môn HSG Quốc Oai HSG Chương Mỹ HSG Tỉnh Bắc Ninh HSG Sầm Sơn HSG Cẩm Thủy HSG Quảng Xương HSG Kiến Xương HSG Vũng Tàu HSG Vĩnh Bảo HSG Việt Yên HSG Nghi Lộc Olymlic Bà Rịa Vũng Tàu HSG Ý Yên HSG Sóc Sơn HSG Thuận Thành HSG Gia Lâm HSG Quận Tây Hồ Olymlic Huyện Thường Tín Năm học 2020 - 2021 2019-2020 2018-2019 216-2017 2018-2019 2020 - 2021 2020 - 2021 2019-2020; 2020 - 2021 2017 – 2018; 2016-2016 2021 2018-2019 2018-2019 2019-2020; 2020 - 2021 2020 - 2021 2018-2019 2020 - 2021 2018-2019 2020 - 2021 2019-2020 2020 - 2021 A Các toán biểu thức nguyên Ghi nhớ công thức sau: 2 2 (a  b  c) a  b  c  2(ab  bc  ca) n n n n n n a  b (a  b)(a  a b  a b   b ) 2n 2n n n 2n 2n a  b (a  b)(a  a b  a b   b ) n n n n n n a  b (a  b)( a  a b  a b   b ) (n: lẻ) Nhị thức Newton: ( a  b) n a n  n.a n  1.b  n(n  1) n  2 a b   b n Bài 1: 2 4 Cho a  b  c 0 a  b  c 14 Tính A a  b  c Lời giải 2 2 Ta có: a  b  c 0  (a  b  c) 0  a  b  c  2ab  2bc  2ca 0  14  2(ab  bc  ca )  ab  bc  ca  (1) 2 4 2 2 2 Lại có a  b  c 14  a  b  c  2a b  2a c  2b c 14 169 (2)  1  a 2b  b 2c  c a  2ab 2c  2a 2bc  2abc 49  a 2b  b 2c  c a  2abc (a  b  c ) 49  a 2b  b 2c  c a 49  (2) : a  b  c 142  2.49 98 Bài 2: 2019 2020 2021 Cho x  y  z 0 xy  yz  zx 0 Tính A ( x  1)  y  ( z 1) Lời giải 2 2 2 Từ x  y  z 0  x  y  z  2( xy  yz  zx) 0  x  y  z 0  x  y  z 0  A  12019  02020  12021 0 Bài 3: Cho x  y  z 0 Chứng minh : 2 2 4 a ( x  y  z ) 2( x  y  z ) 3 2 5 b 5( x  y  z )( x  y  z ) 6( x  y  z ) 5 2 c 2( x  y  z ) 5 xyz( x  y  z ) Lời giải 2 2 4 2 2 2 a ( x  y  z ) x  y  z  2( x y  y z  z x )(1) x  y  z 0  x  y  z  2( xy  yz  zx)  ( x  y  z ) 4( xy  yz  zx) (2) 4 2 2 2 2 2 2 2 Từ (1)(2)  x  y  z  2( x y  y z  z x ) 4( x y  y z  z x  xy z  x yz  xyz )   4  x y  y z  z x  xyz ( x  y  z )  =4(x y  y z  z x )  x  y  z 2( x y  y z  z x )         =0  Thay 2 2 4 vào (1), ta : ( x  y  z ) 2( x  y  z ) VT x  y  z  x y ( x  y )  x z ( x  z )  y z ( y  z ) b Từ x  y  z 0  x  y  z ; x  z  y; y  z  x  VT x  y  z  xyz ( xy  yz  zx )(1) x  y  z 0  ( x  y  z ) 0  x  y  z  2( xy  yz  zx)  xy  yz  zx  x2  y  z 2 3 Theo câu a, ta có : x  y  z 3xyz x + y + z =   ( xy  yz  zx ).xyz  x2  y  z x3  y3  z (2) 3 3 2 5 Thay vào (1), ta được: 5( x  y  z )( x  y  z ) 6( x  y  z )(*) 3 c Ta có : x  y  z 3xyz , thay vào (*) ta : 5.3xyz ( x  y  z ) 6( x  y  z )  xyz ( x  y  z ) 2( x  y  z )(dpcm) Bài 4: Chứng minh a 2( a  b3  c3  3abc) ( a  b  c)  (a  b)  (b  c)  (c  a )  2 b (a  b)(b  c)(c  a)  4abc c(a  b)  a(b  c )  b(c  a ) Lời giải 2 a VP (a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ca) VT a  b  c  3abc (a  b)3  c  3ab (a  b)  3abc (a  b)  c  3ab(a  b  c ) (a  b  c )  (a  b)2  (a  b)c  c  3ab  (a  b  c)(a  b  c  ab  bc  ca )  VT VP 2 2 2 b VT 6abc  ca  ac  ab  a b  bc  b c VP 6abc  ca  ac  ab  a 2b  bc  b 2c VT Bài 5: Cho a  b  c 4m Chứng minh rằng: 2 2 a 2ab  b  a  c 16m  8mc 2  a b  c   a c  b    a b c  2 2       a  b  c  4m  b      Lời giải 2 2 a VT (a  b)  c (4m  c )  c 16m  8mc VP b Từ a  b  c 4m  a  b  c 4m  2c  a b  c 2m  c Tương tự: VT (2m  c)  (2m  b)  (2m  a) a  b  c  12m  4m(a  b  c ) a  b  c  4m VP Bài 6: 2019 2019 2019 2019 a Cho ( x  y  z )( xy  yz  zx) xyz (*).CMR : x  y  z ( x  y  z ) b Nếu x  y  z 6  A ( x  y )( y  z )( z  x)  xyz 6 Lời giải a Theo (*)  ( x  y  z )( xy  yz  zx )  xyz 0  xy  x y  xyz  xyz  y z  z y  x z  xz  xyz  xyz 0  xy ( x  y )  yz ( x  y )  z ( x  y )  xz ( x  y ) 0  ( x  y )( xy  yz  z  xz ) 0  x  y 0  ( x  y )( y  z )( z  x) 0   y  z 0   z  x 0  x  y  y  z   z  x 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 Giả sử: x  y  x  y  x  y  z z ;( x  y  z ) z  dpcm b Theo câu a, ta có: ( x  y )( y  z )( z  x) ( x  y  z )( xy  yz  zx)  xyz  A  ( x  y  z )( xy  yz  zx)  xyz Vì x  y  z 6  x  y  z số chẵn  số x, y, z số chẵn  xyz 6  A6 Bài 7: 2 1945 Cho a  b  c a  b  c 1 Tính A a  b  c Lời giải Ta có a  b  c 1  a 1  a 1   a 1;  b, c 1  a 0  a 1  a (1  a) 0  a a , '' ''    a 1  b 0  b 1  b3 1  (1  b3 ).b 0  b b5 , '' ''    b 1  c 0 c c , '' ''    c 1 Tương tự : 2 7 Mặt khác ta lại có : a  b  c a  b  c 1  a a ; b b ; c c  a, b, c Có số = số =  A 1 Bài 8: Tìm số a, b, c cho x  ax  bx  c ( x  a )( x  b)( x  c)x  R Lời giải 3 Ta có: ( x  a)( x  b)( x  c) (a  b  c) x  (ab  bc  ac) x  abc  x x  ax  bx  c a  b  c a   ab  bc  ca b  abc c  b  c 0   a (b  c )  bc b  bc b  c(1  ab) 0   b c 0, a  a b  1; c 1  Bài 9: 3 Cho a, b thỏa mãn a  3a  5a  17 0; b  3b  5b  11 0 Tính A a  b Lời giải (a  b )  3(a  b )  5(a  b)  0  (a  b)3  3ab(a  b)   ( a  b)  2ab   5(a  b)  0  (a  b)3  3(a  b)  5(a  b)   3ab(a  b)  6ab 0  (a  b)  3( a  b)  5(a  b)   3ab( a  b  2) 0(a  b 2  a  b  0)  (a  b)3  2(a  b)  (a  b)  2(a  b)  3(a  b)   3ab(a  b  2) 0  (a  b) (a  b  2)  (a  b)(a  b  2)  3( a  b  2)  3ab(a  b  2) 0  a  b  0  ( a  b  2)[(a+b)  (a  b)   3ab] 0    (a  b)  (a  b)   3ab 0  A 2  A 2    a  ab  b  a  b  0  2a  2ab  2b   2  (a  b)  (a  1)  (b  1)  0(voly )   2a  2b  0   A 2 Bài 10: Chứng minh A x  x  x  x   Lời giải +) Xét x 1  x ( x  1) 0  x x ; x ( x  1) 0  x x  A 1  5 +) x 1   x 0; x (1  x ) 0  x ; x x  A x   x  x  x 0  A  +)   x  x0    x  - x   x ( x  1) 0  x  x 0  A 1 -  x    x   A  Vậy A > với x BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm số a, b, c, d cho: A( x) x  ax  bx  x  bình phương đa thức B ( x)  x  cx  d Lời giải 2c a  c  2d b 2 2 2 [B ( x )] ( x  cx  d ) x  2cx  (c  2d ) x  2cdx  d  A( x ) B ( x )   2cd  d 4  +) d 2  c  2; a  4; d 8 +) d   c 2, a 4, b 0 Bài 2: 3 2 Cho a  3ab 19; b  3a b 98 Tính E a  b Lời giải 2 2 4 Ta có: (a  3ab ) 19 a  6a b  9a b ;98 (b  3a b) b  6b a  9a b 192  982 a  b  3a 4b  3a 2b (a  b )3  a  b  9965 Bài 3: 12 Chứng minh A x  x  x  x   0x  R Lời giải  x9 ( x3  1) 0 x 1    A 1  0x  R x ( x  1)    +) Với  x  x0   A0  x   +) Với +) Với 1  x 0  x 1    A0  x  x  x (1  x ) 0 Do dấu “ =” không xảy Bài 4: Chứng minh 3 a Nếu a  b  c 0 a  b  c  3abc 0(a, b, c  R ) 4 4 b a  b  c  d  4abcd 0a, b, c, d  R Lời giải 3 2 a Có a  b  c  3abc (a  b  c )(a  b  c  ab  bc  ca ) 2 2 2 2 mà a  b  c 02( gt );(a  b) 0  a  2ab  b 0  a  b 2ab; a  c 2ac; b  c 2bc  a  b  c ab  bc  ca  a  b  c  ab  bc  ca 0 4 4 4 2 4 2 2 2 b a  b  c  d  4abcd a  b  2a b  c  d  2c d  2a b  2c d  4abcd (a  b )  (c  d )  2(ab  cd ) a, b, c, d  R CÁC DẠNG TỐN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Rút gọn, tính giá trị biểu thức thỏa mãn điều kiện biến Loại tốn 1: Tính giá trị cụ thể biến thay vào biểu thức ban đầu Bài 1: Chuyên Trà Vinh, năm học 2016 - 2017 M Tính giá trị biểu thức  x  5  y 1 x  x  5 Biết x  y 6 xy  x  Lời giải  x  y 0 x  y  xy 2 xy  x   ( x  y )  x  0     x  0 Ta cos  x 3 8  M   y 1 Bài 2:  x  y  z 1  2  x  y  z 1  3 Cho số x, y, z thỏa mãn  x  y  z 1 Tính giá trị biểu thức Q x  y  z Lời giải Ta có 3  x  y  z   x  y  z 3  x  y   y  z   z  x   x  y x  y  z 1   x  y   y  z   z  x  0   y  z  z  x mà 3 2 + Nếu x  y  x  y 0  z 1  z 1; x  y 0  x  y 0  Q 1 Xét tương tự trường hợp lại ta Q 1 Bài 3: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a  b  c 1  2 a  b  c 1 a  b3  c 1  2017 2017 2017 Chứng minh a  b  c 1 Lời giải Ta có a  b3  c3  3abc  a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca    3abc 1  ab  bc  ca  ab  bc  ca 3abc  a  b  c  Mà - Nếu  a 0 a b  c   ab  bc  ca   ab  bc  ca 0  abc 0   b 0  c 0 2 b  c 1  a 0  b  c 1  b  c  2bc 1  2bc 0   a; b; c   0;0;1 b3  c3 1  0;1;0     0;0;1 b 0   a; b; c     1;0;0  - Nếu   0;1;0  b 0   a; b; c     1;0;0  - Nếu 2017 2017 2017 Vậy trường hợp ta có: a  b  c 1 Bài 4: 2 Cho biế x  y  z xy  yz  zx  2017 x  2018 y  4034 z  P     x 2017  y 2017  z 2017 91009 Tính giá trị biểu thức 2017  2018 Lời giải 2 2 2 2 Ta có x  y  z  xy  yz  zx  x  y  z 2 xy  yz  zx   x  y    y  z    z  x  0  x  y  z  x 2017  y 2017  z 2017 91009  3.x 2017  32   2017 x  2018 y  4034 z  P     Khi 2017  z  2018    3 1009  3.x 2017 32019  x 3  y  z 2017  2018 2019 Bài 5: a) Cho a  2b 5 Tính giá trị biểu thức b) Biết 2a  b 7 Tính 2 B A 5a  b 3b  2a  3a  2b  2 c) Biết 10a  3b  5ab 0;9a  b 0 Tính 2 d) Cho 3a  3b 10ab b  a  Tính e) Biết 3a  2b 3b  a  2a  b  x  y  xy 2 xy  x  Tính C D E 2a  b 5b  a  3a  b 3a  b a b a b x  25 y : x  10 x  25 x y  y  Lời giải a) Ta có a  2b 5  a 2b   A  3(2b  5)  2b 3b  (2b  5)  2 2(2b  5)  b b) Ta có 2a  b 7  b 2a   B 2 (2a  b)(3a  b)  (5b  a)(3a  b) 3a  15ab  6b C  (1) (3a  b)(3a  b) 9a  b c) Từ giải thiết 10a  3b  5ab 0  5ab 3b  10a  A  3a  3(3b2  10a )  6b  27a  3b   9a  b 9a  b d) Cách 1:  b 3a a  3a  3a  3b 10ab  3a  3b  10ab 0  (3a  b)(a  3b) 0    A  a  b ( loai ) a  a  Từ Cách 2: A2  (a  b)2 a  2ab  b 3a  3b  6ab 1     A 2 (a  b) a  2ab  b 3a  3b  6ab a  b  1 ba   A0 A a  b  Do 10