Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 45 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
45
Dung lượng
1,15 MB
Nội dung
Chuyên đề: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ Tỉnh, thành phố HSG Bà Rịa Vũng Tàu HSG Đơng Sơn HSG Thường Tín HSG Kinh Môn HSG Quốc Oai HSG Chương Mỹ HSG Tỉnh Bắc Ninh HSG Sầm Sơn HSG Cẩm Thủy HSG Quảng Xương HSG Kiến Xương HSG Vũng Tàu HSG Vĩnh Bảo HSG Việt Yên HSG Nghi Lộc Olymlic Bà Rịa Vũng Tàu HSG Ý Yên HSG Sóc Sơn HSG Thuận Thành HSG Gia Lâm HSG Quận Tây Hồ Olymlic Huyện Thường Tín Năm học 2020 - 2021 2019-2020 2018-2019 216-2017 2018-2019 2020 - 2021 2020 - 2021 2019-2020; 2020 - 2021 2017 – 2018; 2016-2016 2021 2018-2019 2018-2019 2019-2020; 2020 - 2021 2020 - 2021 2018-2019 2020 - 2021 2018-2019 2020 - 2021 2019-2020 2020 - 2021 A Các toán biểu thức nguyên Ghi nhớ công thức sau: 2 2 (a b c) a b c 2(ab bc ca) n n n n n n a b (a b)(a a b a b b ) 2n 2n n n 2n 2n a b (a b)(a a b a b b ) n n n n n n a b (a b)( a a b a b b ) (n: lẻ) Nhị thức Newton: ( a b) n a n n.a n 1.b n(n 1) n 2 a b b n Bài 1: 2 4 Cho a b c 0 a b c 14 Tính A a b c Lời giải 2 2 Ta có: a b c 0 (a b c) 0 a b c 2ab 2bc 2ca 0 14 2(ab bc ca ) ab bc ca (1) 2 4 2 2 2 Lại có a b c 14 a b c 2a b 2a c 2b c 14 169 (2) 1 a 2b b 2c c a 2ab 2c 2a 2bc 2abc 49 a 2b b 2c c a 2abc (a b c ) 49 a 2b b 2c c a 49 (2) : a b c 142 2.49 98 Bài 2: 2019 2020 2021 Cho x y z 0 xy yz zx 0 Tính A ( x 1) y ( z 1) Lời giải 2 2 2 Từ x y z 0 x y z 2( xy yz zx) 0 x y z 0 x y z 0 A 12019 02020 12021 0 Bài 3: Cho x y z 0 Chứng minh : 2 2 4 a ( x y z ) 2( x y z ) 3 2 5 b 5( x y z )( x y z ) 6( x y z ) 5 2 c 2( x y z ) 5 xyz( x y z ) Lời giải 2 2 4 2 2 2 a ( x y z ) x y z 2( x y y z z x )(1) x y z 0 x y z 2( xy yz zx) ( x y z ) 4( xy yz zx) (2) 4 2 2 2 2 2 2 2 Từ (1)(2) x y z 2( x y y z z x ) 4( x y y z z x xy z x yz xyz ) 4 x y y z z x xyz ( x y z ) =4(x y y z z x ) x y z 2( x y y z z x ) =0 Thay 2 2 4 vào (1), ta : ( x y z ) 2( x y z ) VT x y z x y ( x y ) x z ( x z ) y z ( y z ) b Từ x y z 0 x y z ; x z y; y z x VT x y z xyz ( xy yz zx )(1) x y z 0 ( x y z ) 0 x y z 2( xy yz zx) xy yz zx x2 y z 2 3 Theo câu a, ta có : x y z 3xyz x + y + z = ( xy yz zx ).xyz x2 y z x3 y3 z (2) 3 3 2 5 Thay vào (1), ta được: 5( x y z )( x y z ) 6( x y z )(*) 3 c Ta có : x y z 3xyz , thay vào (*) ta : 5.3xyz ( x y z ) 6( x y z ) xyz ( x y z ) 2( x y z )(dpcm) Bài 4: Chứng minh a 2( a b3 c3 3abc) ( a b c) (a b) (b c) (c a ) 2 b (a b)(b c)(c a) 4abc c(a b) a(b c ) b(c a ) Lời giải 2 a VP (a b c)(a b c ab bc ca) VT a b c 3abc (a b)3 c 3ab (a b) 3abc (a b) c 3ab(a b c ) (a b c ) (a b)2 (a b)c c 3ab (a b c)(a b c ab bc ca ) VT VP 2 2 2 b VT 6abc ca ac ab a b bc b c VP 6abc ca ac ab a 2b bc b 2c VT Bài 5: Cho a b c 4m Chứng minh rằng: 2 2 a 2ab b a c 16m 8mc 2 a b c a c b a b c 2 2 a b c 4m b Lời giải 2 2 a VT (a b) c (4m c ) c 16m 8mc VP b Từ a b c 4m a b c 4m 2c a b c 2m c Tương tự: VT (2m c) (2m b) (2m a) a b c 12m 4m(a b c ) a b c 4m VP Bài 6: 2019 2019 2019 2019 a Cho ( x y z )( xy yz zx) xyz (*).CMR : x y z ( x y z ) b Nếu x y z 6 A ( x y )( y z )( z x) xyz 6 Lời giải a Theo (*) ( x y z )( xy yz zx ) xyz 0 xy x y xyz xyz y z z y x z xz xyz xyz 0 xy ( x y ) yz ( x y ) z ( x y ) xz ( x y ) 0 ( x y )( xy yz z xz ) 0 x y 0 ( x y )( y z )( z x) 0 y z 0 z x 0 x y y z z x 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 2013 Giả sử: x y x y x y z z ;( x y z ) z dpcm b Theo câu a, ta có: ( x y )( y z )( z x) ( x y z )( xy yz zx) xyz A ( x y z )( xy yz zx) xyz Vì x y z 6 x y z số chẵn số x, y, z số chẵn xyz 6 A6 Bài 7: 2 1945 Cho a b c a b c 1 Tính A a b c Lời giải Ta có a b c 1 a 1 a 1 a 1; b, c 1 a 0 a 1 a (1 a) 0 a a , '' '' a 1 b 0 b 1 b3 1 (1 b3 ).b 0 b b5 , '' '' b 1 c 0 c c , '' '' c 1 Tương tự : 2 7 Mặt khác ta lại có : a b c a b c 1 a a ; b b ; c c a, b, c Có số = số = A 1 Bài 8: Tìm số a, b, c cho x ax bx c ( x a )( x b)( x c)x R Lời giải 3 Ta có: ( x a)( x b)( x c) (a b c) x (ab bc ac) x abc x x ax bx c a b c a ab bc ca b abc c b c 0 a (b c ) bc b bc b c(1 ab) 0 b c 0, a a b 1; c 1 Bài 9: 3 Cho a, b thỏa mãn a 3a 5a 17 0; b 3b 5b 11 0 Tính A a b Lời giải (a b ) 3(a b ) 5(a b) 0 (a b)3 3ab(a b) ( a b) 2ab 5(a b) 0 (a b)3 3(a b) 5(a b) 3ab(a b) 6ab 0 (a b) 3( a b) 5(a b) 3ab( a b 2) 0(a b 2 a b 0) (a b)3 2(a b) (a b) 2(a b) 3(a b) 3ab(a b 2) 0 (a b) (a b 2) (a b)(a b 2) 3( a b 2) 3ab(a b 2) 0 a b 0 ( a b 2)[(a+b) (a b) 3ab] 0 (a b) (a b) 3ab 0 A 2 A 2 a ab b a b 0 2a 2ab 2b 2 (a b) (a 1) (b 1) 0(voly ) 2a 2b 0 A 2 Bài 10: Chứng minh A x x x x Lời giải +) Xét x 1 x ( x 1) 0 x x ; x ( x 1) 0 x x A 1 5 +) x 1 x 0; x (1 x ) 0 x ; x x A x x x x 0 A +) x x0 x - x x ( x 1) 0 x x 0 A 1 - x x A Vậy A > với x BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm số a, b, c, d cho: A( x) x ax bx x bình phương đa thức B ( x) x cx d Lời giải 2c a c 2d b 2 2 2 [B ( x )] ( x cx d ) x 2cx (c 2d ) x 2cdx d A( x ) B ( x ) 2cd d 4 +) d 2 c 2; a 4; d 8 +) d c 2, a 4, b 0 Bài 2: 3 2 Cho a 3ab 19; b 3a b 98 Tính E a b Lời giải 2 2 4 Ta có: (a 3ab ) 19 a 6a b 9a b ;98 (b 3a b) b 6b a 9a b 192 982 a b 3a 4b 3a 2b (a b )3 a b 9965 Bài 3: 12 Chứng minh A x x x x 0x R Lời giải x9 ( x3 1) 0 x 1 A 1 0x R x ( x 1) +) Với x x0 A0 x +) Với +) Với 1 x 0 x 1 A0 x x x (1 x ) 0 Do dấu “ =” không xảy Bài 4: Chứng minh 3 a Nếu a b c 0 a b c 3abc 0(a, b, c R ) 4 4 b a b c d 4abcd 0a, b, c, d R Lời giải 3 2 a Có a b c 3abc (a b c )(a b c ab bc ca ) 2 2 2 2 mà a b c 02( gt );(a b) 0 a 2ab b 0 a b 2ab; a c 2ac; b c 2bc a b c ab bc ca a b c ab bc ca 0 4 4 4 2 4 2 2 2 b a b c d 4abcd a b 2a b c d 2c d 2a b 2c d 4abcd (a b ) (c d ) 2(ab cd ) a, b, c, d R CÁC DẠNG TỐN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Rút gọn, tính giá trị biểu thức thỏa mãn điều kiện biến Loại tốn 1: Tính giá trị cụ thể biến thay vào biểu thức ban đầu Bài 1: Chuyên Trà Vinh, năm học 2016 - 2017 M Tính giá trị biểu thức x 5 y 1 x x 5 Biết x y 6 xy x Lời giải x y 0 x y xy 2 xy x ( x y ) x 0 x 0 Ta cos x 3 8 M y 1 Bài 2: x y z 1 2 x y z 1 3 Cho số x, y, z thỏa mãn x y z 1 Tính giá trị biểu thức Q x y z Lời giải Ta có 3 x y z x y z 3 x y y z z x x y x y z 1 x y y z z x 0 y z z x mà 3 2 + Nếu x y x y 0 z 1 z 1; x y 0 x y 0 Q 1 Xét tương tự trường hợp lại ta Q 1 Bài 3: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a b c 1 2 a b c 1 a b3 c 1 2017 2017 2017 Chứng minh a b c 1 Lời giải Ta có a b3 c3 3abc a b c a b c ab bc ca 3abc 1 ab bc ca ab bc ca 3abc a b c Mà - Nếu a 0 a b c ab bc ca ab bc ca 0 abc 0 b 0 c 0 2 b c 1 a 0 b c 1 b c 2bc 1 2bc 0 a; b; c 0;0;1 b3 c3 1 0;1;0 0;0;1 b 0 a; b; c 1;0;0 - Nếu 0;1;0 b 0 a; b; c 1;0;0 - Nếu 2017 2017 2017 Vậy trường hợp ta có: a b c 1 Bài 4: 2 Cho biế x y z xy yz zx 2017 x 2018 y 4034 z P x 2017 y 2017 z 2017 91009 Tính giá trị biểu thức 2017 2018 Lời giải 2 2 2 2 Ta có x y z xy yz zx x y z 2 xy yz zx x y y z z x 0 x y z x 2017 y 2017 z 2017 91009 3.x 2017 32 2017 x 2018 y 4034 z P Khi 2017 z 2018 3 1009 3.x 2017 32019 x 3 y z 2017 2018 2019 Bài 5: a) Cho a 2b 5 Tính giá trị biểu thức b) Biết 2a b 7 Tính 2 B A 5a b 3b 2a 3a 2b 2 c) Biết 10a 3b 5ab 0;9a b 0 Tính 2 d) Cho 3a 3b 10ab b a Tính e) Biết 3a 2b 3b a 2a b x y xy 2 xy x Tính C D E 2a b 5b a 3a b 3a b a b a b x 25 y : x 10 x 25 x y y Lời giải a) Ta có a 2b 5 a 2b A 3(2b 5) 2b 3b (2b 5) 2 2(2b 5) b b) Ta có 2a b 7 b 2a B 2 (2a b)(3a b) (5b a)(3a b) 3a 15ab 6b C (1) (3a b)(3a b) 9a b c) Từ giải thiết 10a 3b 5ab 0 5ab 3b 10a A 3a 3(3b2 10a ) 6b 27a 3b 9a b 9a b d) Cách 1: b 3a a 3a 3a 3b 10ab 3a 3b 10ab 0 (3a b)(a 3b) 0 A a b ( loai ) a a Từ Cách 2: A2 (a b)2 a 2ab b 3a 3b 6ab 1 A 2 (a b) a 2ab b 3a 3b 6ab a b 1 ba A0 A a b Do 10