Chương II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Chuyên đề PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TÍNH CHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Kiến thức cần nhớ Phân thức đại số Một phân thức đại số ( hay nói gọn phân thức ) biểu thức có dạng A , A, B đa B thức B khác đa thức A gọi tử thức ( hay tử), B gọi mẫu thức ( hay mẫu) Mỗi đa thức gọi phân thức có mẫu thức Mỗi số thực a phân thức Hai phân thức A C gọi A.D B.C B D A C A.D B.C B D Tính chát phân thức Tính chất - Nếu nhân tử mẫu phân thức với đa thức khác phân thức phân thức cho: A A.M ( M đa thức khác đa thức 0) B B.M - Nếu chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung chúng phân thức phân thức cho: A A: N ( N nhân tử chung 0) B B:N Quy tắc đổi dấu Nếu đổi dấu tử mẫu phân thức phân thức phân thức cho: B Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm đa thức A, biết rằng: x 16 A x2 2x x Giải Tìm cách giải Để tìm đa thức A, dùng Trình bày lời giải Từ x 16 A suy x2 2x x A C khi: A.D B.C B D A A B B A x x 42 x x x x.2 x x x 2x x x 2 x x 2 x x 16 x2 2x 4 x 4 x Ví dụ 2: Cho x y x y 5 xy Tính giá trị P 2016 x 2017 y 3x y Giải Tìm cách giải Quan sát, nhận thấy giả thiết chứa đa thức bậc hai biến x, y, kết luận phân thức mà tử mẫu đa thức bậc biến x, y Do tìm mối quan hệ x y từ giả thiết để biểu diễn x theo y ngược lại Với suy nghĩ ấy, phân tích đa thức thành nhân tử từ điều kiện thứ hai Trình bày cách giải Từ x y 5 xy x xy y 0 x xy xy y 0 x y x y 0 Ta có y x y x x y x y 0 y 2 x Từ ta có: P 2016 x 2017.2 x 6050 3x 2.2 x Ví dụ 3: Cho x, y thỏa mãn x y xy x y 13 0 x xy 52 Tính giá trị biểu thức H x y Giải Từ giả thiết suy x xy y y x y 13 0 x y x y y y 0 2 x y 3 y 0 x y 0 y 0 Từ ta có H x 5 y 25 7.5 52 21 52 Ví dụ 4: Cho biểu thức x x 0 Tính giá trị Q x 3x 3x x 2020 x x x x 2020 Giải Tìm cách giải Ta khơng thể tìm x để thay vào biểu thức được, kết x số tự nhiên, thay vào Q tính phức tạp Do ta có hai định hướng: Hướng suy nghĩ thứ nhất, viết tử thức mẫu thức dạng x x 1 q(x) r(x) xem phần phép chia đa thức, từ ta tìm Q Hướng suy nghĩ thứ hai, quan sát thấy có dạng đẳng thức, biến đổi giả thiết khéo léo để xuất thành tử thức mẫu thức Trình bày lời giải Cách Ta có: x x x x3 2020 x x 1 x x x x 1 2021 Ta có: x x3 3x 3x 2020 x x 1 x x3 x x 1 2021 Với x x 0 tử số 2011; mẫu số 2021 Vậy Q 2021 1 2021 Cách Ta có: x x 0 x x x x 1 x x3 x x x x3 3x 3x 1 Suy mẫu số bằng: 2020 2021 Ta có: x x 0 x x 1 x x 1 x 3x5 x x3 1 Suy tử số bằng: 2020 2021 Vậy Q 2021 1 2021 Ví dụ 5: Cho P n2 với n số tự nhiên Hãy tìm tất số tự nhiên n khoảng từ đến 2020 n 5 cho giá trị P chưa tối giản Giải Ta có: P n2 29 với n N n n 5 n 5 Để phân số P chưa tối giản ƯCLN 29; n d (d 1) Khi n 5d 29d d 29 n 529 Hay n 29k k N n 29k Mà n 2020 29k 2020 29k 2025 24 k 69 k 1, 2,3 , 69 29 29 Vậy số tự nhiên n cần tìm có dạng n 29k với k 1, 2,3 , 69 Ví dụ Với giá trị x thì: a) Giá trị phân thức A 10 dương; x b) Giá trị phân thức B 10 âm; x 21 c) Giá trị phân thức C x 21 dương x 10 Giải Tìm cách giải Khi giải dạng toán chứng ta cần sử dụng kiến thức sau: Phân thức A có giá trị dương A B dấu B Phân thức A có giá trị âm A B trái dấu B Trình bày lời giải a) 10 x x x b) 10 x 21 x 21 x 21 c) x 21 x 21 x 10 dấu; mà x 10 x 21 nên x 21 x 10 x 21 x 10 x 10 C Bài tập vận dụng 9.1 A x 3x a) Tìm đa thức A, cho biết x x2 M x 3x b) Tìm đa thức M, cho biết x x 1 Hướng dẫn giải – đáp số Dùng định nghĩa, ta có: b) M x x a) A x 1 Nhận xét Bạn dùng tính chất phân thức để giải 9.2 Cho a b số thỏa mãn a b a a 2b ab 6b3 0 Tính giá trị biểu thức B a 4b b 4a Hướng dẫn giải – đáp số Từ a a 2b ab 6b3 0 a 2a 2b a 2b 2ab 3ab 6b3 0 a 2b a ab 3b 0 Vì a b a ab 3b a 2b 0 a 2b Vậy B a 4b 16b 4b 12b 4 4 4 b 4a b 64b 63b 21 9.3 Cho a, b thỏa mãn 10a 3b 5ab 0 9a b Tính giá trị biểu thức P 2a b 5b a 3a b 3a b Hướng dẫn giải – đáp số Ta có P 2a b 3a b 5b a 3a b 3a b 3a b 6a 2ab 3ab b 15ab 5b2 ab 3a 6b 15ab P 9a b 9a b Từ giả thiết 10a 3b 5ab 0 5ab 3b 10a Từ suy P 3a 6b 9b 30a 27 a 3b 9a b 9a b 9.4 Số lớn hơn: A 2020 2015 20202 20152 B 2020 2015 20202 20152 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có A 2020 2015 20202 20152 2020 20152 2020 2015 2020 2015 20202 20152 A B 9.5 Với giá trị x thì: a ) Giá trị phân thức A dương; x b) Giá trị phân thức B 3 âm; x c) Giá trị phân thức C x dương x Hướng dẫn giải – đáp số a) A x x x b) B 3 x x x c) C x x x dấu; mà x x nên x x x x x 9.6 Chứng minh với số nguyên dương n thì: a) n3 phân số không tối giản n5 n b) 6n phân số tối giản 8n Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có n 1 n2 n 1 n5 n n n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n 1 n n 1 n n3 1 n n 1 với số nguyên dương n n n nên giản b) Đặt ƯCLN 6n 1;8n 1 d với d N * 6n 1d 24n 4d 8n 1d 24n 3d 24n 24n 3 d 1d d 1 ƯCLN 6n 1;8n 1 1 Phân số tối giản 9.7 Tìm giá trị lớn phân thức sau: A ; x 2x B 4x 4x Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có A 3 1 x 1 3 Giá trị lớn A x b) Ta có B x 1 2 Giá trị lớn B 5 x 2 9.8 Cho x y 11z;3x y 4 z Tính giá trị Q x xy x2 y2 Hướng dẫn giải – đáp số Từ x y 11z 3x y 4 z suy x 15 z x 3z Từ x y 11z x 3z suy y 5 z n3 phân số không tối n5 n Thay vào biểu thức: Q x 3xy 18 z 45 z x2 y z 75 z 28 9.9 Cho a, b thỏa mãn 5a 2b 11ab a 2b 4a 5b Tính giá trị biểu thức A a 2ab Hướng dẫn giải – đáp số 5a b thỏa mãn 2 Từ giả thiết: 5a 2b 11ab 5a b a 2b 0 a 2b (loaïi) Thay 5a b vào A ta được: A 4a 125a 11 a 10a 9.10 Cho 4a b2 5ab 2a b Tính giá trị P ab 4a b 2 Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết: 4a b2 5ab 4a b2 5ab 0 4a 4ab ab b 0 4a b(loaïi) 4a b a b 0 a b(thỏa mãn) Suy a b Thay vào P ta được: P 9.11 Cho x thỏa mãn a2 3a x x x 18 x Tính giá trị biểu thức P x2 x 1 x3 x x Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết: x suy x x 2 x x 3x 0 x x 1 2 2 Ta có: x x 18 x x x 1 x 1 15 x x x x x 3x 1 x 1 x x 3x 1 x 1 15 x 15 x 5 x 0 ta có P x 3x 1 x 1 x x Với x 2 3x y 9.12 Cho x,y thỏa mãn x xy y x y 0 Tính giá trị biểu thức N xy 2 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: x xy y x y 0 x xy y y x y y 0 2 x y 1 y 0 Dấu xảy x y 0 y 0 hay y 2; x 1 Từ suy N 1 9.13 Cho a, b hai số nguyên dương khác nhau, thỏa mãn 2a a 3b b Chứng minh a b phân số tối giản 2a 2b ( Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 2 Từ 2a a 3b b 2a 2b a b b a b 2a 2b 1 b (1) Đặt ƯCLN (a b; 2a 2b 1) d a b d ; 2a 2b 1d bd 2a 2b a b d 4b 1d mà bd hay d 1 a b 2a 2b nguyên tố suy a b phân số tối giản 2a 2b