Chuyên đề 9 phân thức đại số tính chất phân thức đại số

Chương II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Chuyên đề PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TÍNH CHẤT PHÂN THỨC ĐẠI SỐ A Kiến thức cần nhớ Phân thức đại số Một phân thức đại số ( hay nói gọn phân thức ) biểu thức có dạng  A , A, B đa B thức B khác đa thức A gọi tử thức ( hay tử), B gọi mẫu thức ( hay mẫu)  Mỗi đa thức gọi phân thức có mẫu thức  Mỗi số thực a phân thức  Hai phân thức A C gọi A.D B.C B D A C  A.D B.C B D Tính chát phân thức  Tính chất - Nếu nhân tử mẫu phân thức với đa thức khác phân thức phân thức cho: A A.M  ( M đa thức khác đa thức 0) B B.M - Nếu chia tử mẫu phân thức cho nhân tử chung chúng phân thức phân thức cho: A A: N  ( N nhân tử chung 0) B B:N  Quy tắc đổi dấu Nếu đổi dấu tử mẫu phân thức phân thức phân thức cho: B Một số ví dụ Ví dụ 1: Tìm đa thức A, biết rằng: x  16 A  x2  2x x Giải Tìm cách giải Để tìm đa thức A, dùng Trình bày lời giải Từ x  16 A  suy x2  2x x A C  khi: A.D B.C B D A A  B B A x   x   42  x  x    x   x.2  x    x        x  2x x  x  2 x  x  2 x  x  16  x2  2x 4  x   4 x  Ví dụ 2: Cho  x  y x  y 5 xy Tính giá trị P  2016 x  2017 y 3x  y Giải Tìm cách giải Quan sát, nhận thấy giả thiết chứa đa thức bậc hai biến x, y, kết luận phân thức mà tử mẫu đa thức bậc biến x, y Do tìm mối quan hệ x y từ giả thiết để biểu diễn x theo y ngược lại Với suy nghĩ ấy, phân tích đa thức thành nhân tử từ điều kiện thứ hai Trình bày cách giải Từ x  y 5 xy  x  xy  y 0 x  xy  xy  y 0   x  y   x  y  0 Ta có y  x   y  x  x  y   x  y 0  y 2 x Từ ta có: P  2016 x  2017.2 x  6050 3x  2.2 x Ví dụ 3: Cho x, y thỏa mãn x  y  xy  x  y  13 0 x  xy  52 Tính giá trị biểu thức H  x y Giải Từ giả thiết suy x  xy  y  y  x  y  13 0   x  y    x  y    y  y  0 2   x  y  3   y   0  x  y  0    y  0 Từ ta có H   x 5   y  25  7.5     52 21 52 Ví dụ 4: Cho biểu thức x  x  0 Tính giá trị Q x  3x  3x  x  2020 x  x  x  x  2020 Giải Tìm cách giải Ta khơng thể tìm x để thay vào biểu thức được, kết x số tự nhiên, thay vào Q tính phức tạp Do ta có hai định hướng:  Hướng suy nghĩ thứ nhất, viết tử thức mẫu thức dạng  x  x  1 q(x)  r(x) xem phần phép chia đa thức, từ ta tìm Q  Hướng suy nghĩ thứ hai, quan sát thấy có dạng đẳng thức, biến đổi giả thiết khéo léo để xuất thành tử thức mẫu thức Trình bày lời giải Cách  Ta có: x  x  x  x3  2020  x  x  1  x  x  x  x  1  2021  Ta có: x  x3  3x  3x  2020  x  x  1  x  x3  x  x  1  2021 Với x  x  0 tử số 2011; mẫu số 2021 Vậy Q  2021 1 2021 Cách  Ta có: x  x  0  x  x   x  x  1  x  x3  x  x   x  x3  3x  3x 1 Suy mẫu số bằng:  2020 2021  Ta có: x  x  0  x  x 1   x  x  1  x  3x5  x  x3 1 Suy tử số bằng:  2020 2021 Vậy Q  2021 1 2021 Ví dụ 5: Cho P  n2  với n số tự nhiên Hãy tìm tất số tự nhiên n khoảng từ đến 2020 n 5 cho giá trị P chưa tối giản Giải Ta có: P  n2  29 với n  N n   n 5 n 5 Để phân số P chưa tối giản ƯCLN  29; n   d (d 1) Khi n  5d 29d  d 29  n  529 Hay n  29k  k  N    n 29k  Mà  n  2020   29k   2020  29k  2025  24  k  69  k   1, 2,3 , 69 29 29 Vậy số tự nhiên n cần tìm có dạng n 29k  với k   1, 2,3 , 69 Ví dụ Với giá trị x thì: a) Giá trị phân thức A  10 dương; x b) Giá trị phân thức B   10 âm; x  21 c) Giá trị phân thức C  x  21 dương x  10 Giải Tìm cách giải Khi giải dạng toán chứng ta cần sử dụng kiến thức sau:  Phân thức A có giá trị dương A B dấu B  Phân thức A có giá trị âm A B trái dấu B Trình bày lời giải a) 10   x    x  x b)  10   x  21   x   21 x  21 c) x  21   x  21 x  10 dấu; mà x  10  x  21 nên x  21  x  10   x  21 x  10 x  10 C Bài tập vận dụng 9.1 A x  3x  a) Tìm đa thức A, cho biết  x x2  M x  3x  b) Tìm đa thức M, cho biết  x x 1 Hướng dẫn giải – đáp số Dùng định nghĩa, ta có: b) M  x  x  a) A  x  1 Nhận xét Bạn dùng tính chất phân thức để giải 9.2 Cho a b số thỏa mãn a  b  a  a 2b  ab  6b3 0 Tính giá trị biểu thức B a  4b b  4a Hướng dẫn giải – đáp số Từ a  a 2b  ab  6b3 0  a  2a 2b  a 2b  2ab  3ab  6b3 0   a  2b   a  ab  3b  0 Vì a  b   a  ab  3b  a  2b 0  a 2b Vậy B  a  4b 16b  4b 12b 4    4 4 b  4a b  64b  63b 21 9.3 Cho a, b thỏa mãn 10a  3b  5ab 0 9a b Tính giá trị biểu thức P  2a  b 5b  a  3a  b 3a  b Hướng dẫn giải – đáp số Ta có P   2a  b   3a  b    5b  a   3a  b   3a  b   3a  b  6a  2ab  3ab  b  15ab  5b2  ab 3a  6b  15ab P  9a  b 9a  b Từ giả thiết 10a  3b  5ab 0  5ab 3b  10a Từ suy P  3a  6b  9b  30a  27 a  3b   9a  b 9a  b 9.4 Số lớn hơn: A  2020  2015 20202  20152 B  2020  2015 20202  20152 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có A  2020  2015 20202  20152 2020  20152    2020  2015  2020  2015 20202  20152  A B 9.5 Với giá trị x thì: a ) Giá trị phân thức A  dương; x b) Giá trị phân thức B  3 âm; x c) Giá trị phân thức C  x dương x Hướng dẫn giải – đáp số a) A    x    x  x b) B  3   x    x  x c) C  x   x  x  dấu; mà x   x  nên x   x    x  x  x 9.6 Chứng minh với số nguyên dương n thì: a) n3  phân số không tối giản n5  n  b) 6n  phân số tối giản 8n  Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có  n  1  n2  n  1 n5  n  n  n   n  1  n  n  1 n  n  1  n  n  1   n  1  n  n  1 n  n3  1   n  n  1 với số nguyên dương n n  n   nên giản b) Đặt ƯCLN  6n  1;8n  1 d với d  N *  6n  1d  24n  4d 8n  1d  24n  3d   24n     24n  3 d  1d  d 1  ƯCLN  6n  1;8n  1 1  Phân số tối giản 9.7 Tìm giá trị lớn phân thức sau: A ; x  2x  B 4x  4x  Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có A  3  1  x  1  3  Giá trị lớn A x  b) Ta có B   x  1 2  Giá trị lớn B 5 x  2 9.8 Cho x  y 11z;3x  y 4 z Tính giá trị Q  x  xy x2  y2 Hướng dẫn giải – đáp số Từ x  y 11z 3x  y 4 z suy x 15 z  x 3z Từ x  y 11z x 3z suy y 5 z n3  phân số không tối n5  n  Thay vào biểu thức: Q  x  3xy 18 z  45 z    x2  y z  75 z 28 9.9 Cho a, b thỏa mãn 5a  2b 11ab a  2b  4a  5b Tính giá trị biểu thức A  a  2ab Hướng dẫn giải – đáp số  5a b  thỏa mãn  2 Từ giả thiết: 5a  2b 11ab   5a  b   a  2b  0    a 2b (loaïi) Thay 5a b vào A ta được: A  4a  125a  11 a  10a 9.10 Cho 4a  b2 5ab 2a  b  Tính giá trị P  ab 4a  b 2 Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết: 4a  b2 5ab  4a  b2  5ab 0  4a  4ab  ab  b 0  4a b(loaïi)   4a  b   a  b  0    a b(thỏa mãn) Suy a b Thay vào P ta được: P  9.11 Cho x thỏa mãn a2  3a x x  x  18 x   Tính giá trị biểu thức P  x2  x 1 x3  x  x  Hướng dẫn giải – đáp số Từ giả thiết: x  suy x  x  2 x  x  3x  0 x  x 1 2 2 Ta có: x  x  18 x   x  x  1  x  1  15 x x  x  x   x  3x  1  x  1  x  x  3x 1  x  1 15 x 15 x 5  x  0 ta có P   x  3x 1  x 1  x x Với x 2 3x y  9.12 Cho x,y thỏa mãn x  xy  y  x  y  0 Tính giá trị biểu thức N  xy 2 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: x  xy  y  x  y  0  x  xy  y  y  x  y  y  0 2   x  y  1   y   0 Dấu xảy x  y  0 y  0 hay y  2; x    1      Từ suy N    1    9.13 Cho a, b hai số nguyên dương khác nhau, thỏa mãn 2a  a 3b  b Chứng minh a b phân số tối giản 2a  2b  ( Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2013-2014) Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 2 Từ 2a  a 3b  b  2a  2b  a  b b   a  b   2a  2b  1 b (1) Đặt ƯCLN (a  b; 2a  2b  1) d  a  b d ; 2a  2b  1d bd   2a  2b    a  b   d  4b  1d mà bd hay d 1  a  b 2a  2b  nguyên tố suy a b phân số tối giản 2a  2b 