Toán Chuyên đề 9: Hệ thức lượng trong tam giác38106

Chuyên đề 9: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC TÓM TẮT GIÁO KHOA I Các ký hiệu: • A, B, C: góc đỉnh A, B, C • a, b, c : độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C • ha, hb, hc : độ dài đường cao hạ từ đỉnh A, B, C • ma, mb, mc : độ dài đường trung tuyến kẻ từ A, B, C • la, lb, lc : độ dài đường phân giác kẻ từ A, B, C • R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC • r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC • p = (a+b+c) : chu vi tam giác ABC • S : diện tích tam giác ABC A c b B H la ma M D a C II Các hệ thức lượng tam giác vuông : Trong tam giác vuông ABC Gọi b', c' độ dài hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền ta có hệ thức: b = a.b ' & c = a.c ' a2 = b2 + c2 h = b ' c ' 1 = + 2 h b c a.h = b.c ⎧b = a sin B = a cos C ⎨ ⎩c = a sin C = a cos B 46 DeThiMau.vn ⎧b = c.tgB = c cot gC ⎨ ⎩c = b.tgC = b cot gB A c b h c' b' H B a C II Các hệ thức lượng tam giác thường Định lý hàm số CÔSIN: Trong tam giác ABC ta có : a = b + c − 2bc cos A b = c + a − 2ca cos B c = a + b − 2ab cos C A b c C a B Ghi nhớ: Trong tam giác, bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh trừ hai lần tích hai cạnh với côsin góc xen chúng Hệ quả: Trong tam giác ABC ta có : b2 + c2 − a2 a2 + c2 − b2 a2 + b2 − c2 , cos B = , cos C = cos A = 2bc 2ac 2ab Định lý hàm số SIN: Trong tam giác ABC ta có : a b c = = = 2R sin A sin B sin C Heä quả: Với tam giác ABC, ta có: a = R sin A, b = R sin B, c = R sin C 47 DeThiMau.vn A b c O B C a Ghi nhớ: Trong tam giác, tỷ số cạnh tam giác sin góc đối diện với cạnh đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Định lý đường trung tuyến: Trong tam giác ABC ta có : b2 + c2 a2 − 2 a +c b2 − mb2 = 2 a +b c2 − mc2 = ma2 = A c b ma M B a Định lý diện tích tam giác: Diện tích tam giác ABC tính theo công thức sau: 1 aha = bhb = chc 2 1 S = ab sin A = ac sin B = bc sin A 2 abc S= 4R S = pr S= S= p ( p − a )( p − b)( p − c) 48 DeThiMau.vn C A c B b H a C Định lý đường phân giác: la = C B A 2ab cos 2ac cos 2 ;l = ;l = b c a+b a+c b+c 2bc cos CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯNG GIÁC TRONG TAM GIÁC Để chứng minh đẳng thức lượng giác A=B ta thực theo phương pháp sau Phương pháp 1: Biến đổi vế thành vế Phương pháp 2: Xuất phát từ một hệ thức biết để suy đẳng thức cần chứng minh VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Chứng minh đẳng thức sau: A B C a) sin A + sin B + sin C = 4.cos cos cos 2 2 2 b) sin A + sin B + sin C = + cos A.cos B.cos C Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh đẳng thức sau: a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC ( Δ ABC khoâng vuoâng) A B B C C A b) tg tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 Dạng 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯNG GIÁC TRONG TAM GIÁC I Bất đẳng thức tam giác : Nếu a, b, c ba cạnh tam giác : • a > 0, b > 0, c > • b−c < a < b+c • c−a < b< c+a • a−b < c < a+b • a>b>c⇔ A> B >C II Các bất đẳng thức : Bất đẳng thức Cauchy: 49 DeThiMau.vn a+b ≥ ab Cho hai số không âm a; b ta có : Dấu "=" xãy a=b Tổng quát : Cho n số không âm a1,a2, an ta có : a1 + a2 + + an n ≥ a1 a2 an n Dấu "=" xãy chæ a1 = a2 = = an Bất đẳng thức Bunhiacốpski : Cho bốn số thực a,b,x,y ta coù : (ax + by )2 ≤ (a + b2 )( x + y ) Daáu "=" xãy ay = bx Tổng quát : Cho hai số (a1 , a2 , an ) vaø (b1 , b2 , , bn ) ta coù : (a1b1 + a2 b2 + + an bn )2 ≤ (a12 + a2 + + an )(b12 + b2 + + bn ) Dấu "=" xãy chæ a a1 a2 = = = n với quy ước mẫu tử b1 b2 bn 3) Bất đẳng thức baûn: 1 1 ≤ ( + ) x+y x y a) Cho hai số dương x, y ta có: Dấu "=" xãy x = y b) Với số thực x, y ta có: x + y ≥ xy Dấu "=" xãy x = y III Bất đẳng thức JENSEN : 1) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) < ∀x ∈ ( a; b) (f laø haøm lồi) Với x1 , x , , x n ∈ (a; b) ta coù: x + x + x n f ( x1 ) + f ( x ) + + f ( x n ) ≤ f( ) n n Daáu "=" xãy x1 = x = = x n ( n ≥ 2) 2) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) > ∀x ∈ ( a; b) (f laø haøm lõm) Với x1 , x , , x n ∈ (a; b) ta coù: 50 DeThiMau.vn x + x + x n f ( x1 ) + f ( x ) + + f ( x n ) ≥ f( ) n n Dấu "=" xãy x1 = x = = x n ( n ≥ 2) Để chứng minh đẳng thức lượng giác A < B (>, ≤, ≥ ) ta thực theo phương pháp sau: Phương pháp 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến đến bất đẳng thức hiển nhiên Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức biết (Cô si, BCS, ) để suy bất đẳng thức cần chứng minh VÍ DỤ MINH HỌA: A B C Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Chứng minh raèng: sin sin sin ≤ 2 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh raèng: A B C 3 a) cos + cos + cos ≤ 2 2 3 b) sin A + sin B + sin C ≤ A B C c) tg + tg + tg ≥ 2 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: A B C 3 a) cos cos cos ≤ 2 b) tgA + tgB + tgC ≥ 3 A B C c) tg tg tg ≤ 2 3 Dạng 3: NHẬN DẠNG TAM GIÁC KIỂU ĐỀ TOÁN 1: ⎡Cho tam giác ABC thỏa mãn ⎢ ⎣ " Điều kiện cho trước" ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎤ ⎧là tam giác vuông ⎢ ⎥ ⎪ tam giá c vuô n g câ n ⎢ ⎥ ⎪ ⎢ΔABC⎪⎨là tam giác cân ⎥ ⎢ ⎥ ⎪là tam giác ⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎪⎩là tam giác có góc đặc biệt ⎥⎦ ⎣ ⇒ THÌ KIỂU ĐỀ TOÁN 2: ⎡Cho tam giác ABC thỏa mãn ⎢ ⎣ " Điều kiện cho trước" ⎤ ⎥ ⎦ ⇔ CẦN VÀ ĐỦ ⎡ ⎤ ⎧là tam giác vuông ⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎪là tam giác vuông cân ⎢ΔABC⎨là tam giác cân ⎥ ⎢ ⎥ ⎪là tam giác ⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎪⎩là tam giác có góc đặc biệt ⎥⎦ ⎣ 51 DeThiMau.vn "Điều kiện cho trước" là: • Đẳng thức lượng giác góc • Đẳng thức lượng giác + độ dài (cạnh, trung tuyến, phân giác, ) • Đẳng thức độ dài • Hệ đẳng thức 1) Nhận dạng tam giác vuông Phương pháp: Sử dụng phép biến đổi tương đương hệ để biến đổi "Điều kiện cho trước" đến đẳng thức mà từ ta dể dàng kết luận tính chất tam giác 2) Nhận dạng tam giác cân Phương pháp: Sử dụng phép biến đổi tương đương hệ để biến đổi "Điều kiện cho trước" đến đẳng thức mà từ ta dể dàng kết luận tính chất tam giác 3) Nhận dạng tam giác Ngoài phương pháp nêu ta giải toán theo cách sau Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Gồm bước (áp dụng "Điều kiện cho trước" có dạng đẳng thức A = B Bước 1: CM bất đẳng thức A ≥ B A ≤ B (1) Bước 2: Lập luận để đẳng thức (1) xãy mà đẳng thức (1) xảy tam giác ABC VÍ DỤ MINH HỌA: sin A + cos B Ví dụ 1: Tam giác ABC có = tgA Chứng minh Δ ABC vuông sin B + cos A Ví dụ 2: Chứng minh ΔABC thỏa mãn điều kiện cos A + cos B + cos 2C + = tam giác tam giác vuông Ví dụ 3: Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện sau tam giác cân C sin A + sin B + sin C A C 2) 1) tgA + tgB = 2.cot g = cot g cot g sin A + sin B − sin C 2 Ví dụ 4: Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện sau tam giác A B C cos cos cos + + = 2) 1) cos A.cos B.cos C = + cos A + cos B + cos C A B C 1 1 1 3) cos A + cos B + cos C = sin + sin + sin 4) + + = + + 2 cos A cos B cos C sin A sin B sin C 2 Ví dụ 5: Xác định dạng tam giác ABC biết: C 1) a + b = tg (a.tgA + b.tgB) b c a 2) + = cos B cos C sin B.sin C b+c 3) cos B + cos C = a a.cos A + b.cos B + c.cos C 4) = a+b+c Ví dụ 6: Hãy tính góc tam giác ABC tam giác ta có : sin2 A + sin B + sin C = + cos C + cos2 C 52 DeThiMau.vn Ví dụ 7: Tính góc tam giác ABC biết ⎧4 p( p − a) ≤ bc ⎪ ⎨ A B C −3 ⎪sin sin sin = 2 ⎩ a+b+c BC = a, AB = c, p = Heát - 53 DeThiMau.vn ... C II Các hệ thức lượng tam giác thường Định lý hàm số CÔSIN: Trong tam giác ABC ta có : a = b + c − 2bc cos A b = c + a − 2ca cos B c = a + b − 2ab cos C A b c C a B Ghi nhớ: Trong tam giác,... ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎤ ⎧là tam giác vuông ⎢ ⎥ ⎪ tam giá c vuô n g câ n ⎢ ⎥ ⎪ ⎢ΔABC⎪⎨là tam giác cân ⎥ ⎢ ⎥ ⎪là tam giác ⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎪⎩là tam giác có góc đặc biệt ⎥⎦ ⎣ ⇒ THÌ KIỂU ĐỀ TOÁN 2: ⎡Cho tam giác ABC thỏa... ⎧là tam giác vuông ⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪⎪là tam giác vuông cân ⎢ΔABC⎨là tam giác cân ⎥ ⎢ ⎥ ⎪là tam giác ⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎪⎩là tam giác có góc đặc biệt ⎥⎦ ⎣ 51 DeThiMau.vn "Điều kiện cho trước" là: • Đẳng thức lượng