Chuyên đề 9: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC TÓM TẮT GIÁO KHOA I Các ký hiệu: A, B, C: góc đỉnh A, B, C a, b, c : độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C ha, hb, hc : độ dài đường cao hạ từ đỉnh A, B, C ma, mb, mc : độ dài đường trung tuyến kẻ từ A, B, C la, lb, lc : độ dài đường phân giác kẻ từ A, B, C R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC p = (a+b+c) : chu vi tam giác ABC S : diện tích tam giác ABC A c b B la H ma M D a C II Các hệ thức lượng tam giác vuông : Trong tam giác vuông ABC Gọi b', c' độ dài hình chiếu cạnh góc vuông lên cạnh huyền ta có hệ thức: b a.b ' & c a.c ' a2 b2 c2 h b ' c ' 1 2 h b c a.h b.c b a sin B a cos C c a sin C a cos B 46 DeThiMau.vn b c.tgB c cot gC c b.tgC b cot gB A c b h c' b' H B a C II Các hệ thức lượng tam giác thường Định lý hàm số CÔSIN: Trong tam giác ABC ta có : a b c 2bc cos A b c a 2ca cos B c a b 2ab cos C A b c C a B Ghi nhớ: Trong tam giác, bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh trừ hai lần tích hai cạnh với côsin góc xen chúng Hệ quả: Trong tam giác ABC ta có : b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 cos A , cos B , cos C 2bc 2ac 2ab Định lý hàm số SIN: Trong tam giác ABC ta có : a b c 2R sin A sin B sin C Heä quả: Với tam giác ABC, ta có: a R sin A, b R sin B, c R sin C 47 DeThiMau.vn A b c O C B a Ghi nhớ: Trong tam giác, tỷ số cạnh tam giác sin góc đối diện với cạnh đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Định lý đường trung tuyến: Trong tam giác ABC ta có : b2 c2 a2 2 a c b2 mb2 2 a b c2 mc2 ma2 A c b ma a M B Định lý diện tích tam giác: Diện tích tam giác ABC tính theo công thức sau: 1 aha bhb chc 2 1 S ab sin A ac sin B bc sin A 2 abc S 4R S pr S S p ( p a )( p b)( p c) 48 DeThiMau.vn C A c B b H a C Định lý đường phân giác: la A B C 2ac cos 2ab cos ;l ;l b c bc ac ab 2bc cos CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯNG GIÁC TRONG TAM GIÁC Để chứng minh đẳng thức lượng giác A=B ta thực theo phương pháp sau Phương pháp 1: Biến đổi vế thành vế Phương pháp 2: Xuất phát từ một hệ thức biết để suy đẳng thức cần chứng minh VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Chứng minh đẳng thức sau: A B C a) sin A sin B sin C 4.cos cos cos 2 2 2 b) sin A sin B sin C 2 cos A.cos B.cos C Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh đẳng thức sau: a) tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC ( ABC khoâng vuoâng) A B B C C A b) tg tg tg tg tg tg 2 2 2 Dạng 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯNG GIÁC TRONG TAM GIÁC I Bất đẳng thức tam giác : Nếu a, b, c ba cạnh tam giác : a > 0, b > 0, c > c a b c b c a b c a a b c a b a b c A B C II Caùc bất đẳng thức : Bất đẳng thức Cauchy: 49 DeThiMau.vn ab ab Cho hai soá không âm a; b ta có : Dấu "=" xãy a=b Tổng quát : Cho n số không âm a1,a2, an ta có : a1 a2 an n a1 a2 an n Dấu "=" xãy a1 = a2 = = an Bất đẳng thức Bunhiacốpski : Cho bốn số thực a,b,x,y ta có : (ax by )2 (a b2 )( x y2 ) Dấu "=" xãy ay = bx Tổng quát : Cho hai số (a1 , a2 , an ) vaø (b1 , b2 , , bn ) ta coù : (a1b1 a2 b2 an bn )2 Dấu "=" xãy chæ a1 a2 b1 b2 (a12 a2 an )(b12 b2 bn ) an với quy ước mẫu tử bn 3) Bất đẳng thức baûn: 1 1 ( ) xy x y a) Cho hai số dương x, y ta có: Dấu "=" xãy x = y b) Với số thực x, y ta có: x y xy Dấu "=" xãy x = y III Bất đẳng thức JENSEN : 1) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) < x (a; b) (f hàm lồi) Với x1 , x , , x n (a; b) ta coù: x x x n f ( x1 ) f ( x ) f ( x n ) (n 2) ) f( n n Dấu "=" xãy x1 x x n 2) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) > x (a; b) (f hàm lõm) 50 DeThiMau.vn Với x1 , x , , x n (a; b) ta coù: x x x n f ( x1 ) f ( x ) f ( x n ) ) f( n n Dấu "=" xãy x1 x x n (n 2) Để chứng minh đẳng thức lượng giác A B (>, , ) ta thực theo phương pháp sau: Phương pháp 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến đến bất đẳng thức hiển nhiên Phương pháp 2: Sử dụng bất đẳng thức biết (Cô si, BCS, ) để suy bất đẳng thức cần chứng minh VÍ DỤ MINH HỌA: A B C Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: sin sin sin 2 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: A B C 3 a) cos cos cos 2 2 3 b) sin A sin B sin C A B C c) tg tg tg 2 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: A B C 3 a) cos cos cos 2 b) tgA tgB tgC 3 A B C c) tg tg tg 2 3 Daïng 3: NHẬN DẠNG TAM GIÁC KIỂU ĐỀ TOÁN 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn " Điều kiện cho trước" THÌ là tam giác vuông là tam giác vuông cân ABClà tam giác cân là tam giác là tam giác có góc đặc biệt KIỂU ĐỀ TOÁN 2: là tam giác vuông "Điều kiện cho trước" là: tam giác vuông cân c ABC thỏ mãcnvề gó Cho c tam Đẳgiá ng thứ c lượ ngagiá ABC tam giá c câ n n, phân giác, ) n cho c" c + độ dài CẦ Đẳungkiệ thứ c lượtrướ ng giá (cạNnVÀ h, ĐỦ trung tuyế " Điề tam giác là tam giác có góc đặc biệt 51 DeThiMau.vn Đẳng thức độ dài Hệ đẳng thức 1) Nhận dạng tam giác vuông Phương pháp: Sử dụng phép biến đổi tương đương hệ để biến đổi "Điều kiện cho trước" đến đẳng thức mà từ ta dể dàng kết luận tính chất tam giác 2) Nhận dạng tam giác cân Phương pháp: Sử dụng phép biến đổi tương đương hệ để biến đổi "Điều kiện cho trước" đến đẳng thức mà từ ta dể dàng kết luận tính chất tam giác 3) Nhận dạng tam giác Ngoài phương pháp nêu ta giải toán theo cách sau Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Gồm bước (áp dụng "Điều kiện cho trước" có dạng đẳng thức A = B Bước 1: CM bất đẳng thức A B A B (1) Bước 2: Lập luận để đẳng thức (1) xãy mà đẳng thức (1) xảy tam giác ABC VÍ DỤ MINH HỌA: sin A cos B Ví dụ 1: Tam giác ABC có tgA Chứng minh ABC vuông sin B cos A Ví dụ 2: Chứng minh ABC thỏa mãn điều kiện cos A cos B cos 2C tam giác tam giác vuông Ví dụ 3: Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện sau tam giác cân C sin A sin B sin C A C cot g cot g 1) tgA tgB 2.cot g 2) sin A sin B sin C 2 Ví dụ 4: Chứng minh tam giác ABC thoả mãn điều kiện sau tam giác A B C cos cos cos 2 1) cos A.cos B.cos C 2) cos A cos B cos C A B C 1 1 1 3) cos A 4) cos B cos C sin sin sin 2 cos A cos B cos C sin A sin B sin C 2 Ví dụ 5: Xác định dạng tam giác ABC bieát: C 1) a b tg (a.tgA b.tgB) b c a 2) cos B cos C sin B.sin C bc 3) cos B cos C a a.cos A b.cos B c.cos C 4) a b c Ví dụ 6: Hãy tính góc tam giác ABC tam giác ta có : sin2 A sin2 B sin2 C 3cos C cos2 C Ví dụ 7: Tính góc tam giác ABC biết 52 DeThiMau.vn 4 p( p a) bc A B C 3 sin sin sin 2 abc BC = a, AB = c, p Heát - 53 DeThiMau.vn ... C II Các hệ thức lượng tam giác thường Định lý hàm số CÔSIN: Trong tam giác ABC ta có : a b c 2bc cos A b c a 2ca cos B c a b 2ab cos C A b c C a B Ghi nhớ: Trong tam giác,... CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯNG GIÁC TRONG TAM GIÁC Để chứng minh đẳng thức lượng giác A=B ta thực theo phương pháp sau Phương pháp 1: Biến đổi vế thành vế Phương pháp 2: Xuất phát từ một hệ thức biết để... THÌ là tam giác vuông là tam giác vuông cân ABClà tam giác cân là tam giác là tam giác có góc đặc biệt KIỂU ĐỀ TOÁN 2: là tam giác vuông