Chuyên đề 9: Hệ thức lượng trong tam giác

Cao Cao Minh Minh Nhân Nhân  Đẳng thức độ dài  Hệ đẳng thức 1 Nhaän daïng tam giaùc vuoâng Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả để biến đổi "Điều kiện cho trư[r]

Cao Cao Minh Minh Nhân Nhân Chuyên đề 9: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I Caùc kyù hieäu:  A, B, C: laø caùc goùc ñænh A, B, C  a, b, c : là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C  ha, hb, hc : là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C  ma, mb, mc : là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A, B, C  la, lb, lc : là độ dài các đường phân giác kẻ từ A, B, C  R : là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  r : là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC  p = (a+b+c) : là chu vi tam giác ABC  S : laø dieän tích tam giaùc ABC A c b B la H ma M D a C II Các hệ thức lượng tam giác vuông : Trong tam giác vuông ABC Gọi b', c' là độ dài các hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền ta có các hệ thức: b  a.b ' & c  a.c ' a2  b2  c2 h  b ' c ' 1   2 h b c a.h  b.c b  a sin B  a cos C  c  a sin C  a cos B 46 Lop12.net b  c.tgB  c cot gC  c  b.tgC  b cot gB Cao Cao Minh Minh Nhân Nhân A c b h c' b' H B a C II Các hệ thức lượng tam giác thường Ñònh lyù haøm soá COÂSIN: Trong tam giaùc ABC ta luoân coù : a  b  c  2bc cos A b  c  a  2ca cos B c  a  b  2ab cos C A b c C a B Ghi nhớ: Trong tam giác, bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh trừ hai lần tích hai cạnh với côsin góc xen chúng Heä quaû: Trong tam giaùc ABC ta luoân coù : cos A  b2  c2  a2 a2  c2  b2 a2  b2  c2 , cos B  , cos C  2bc 2ac 2ab Ñònh lyù haøm soá SIN: Trong tam giaùc ABC ta coù : a b c    2R sin A sin B sin C Hệ quả: Với tam giác ABC, ta có: a  R sin A, b  R sin B, c  R sin C 47 Lop12.net Cao Cao Minh Minh Nhân Nhân A b c O B C a Ghi nhớ: Trong tam giác, tỷ số cạnh tam giác và sin góc đối diện với cạnh đó đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Định lý đường trung tuyến: Trong tam giaùc ABC ta coù : b2  c2 a2  2 a c b2 mb2   2 a b c2 mc   ma2  A c b ma a M B Ñònh lyù veà dieän tích tam giaùc: Diện tích tam giác ABC tính theo các công thức sau: 1 aha  bhb  chc 2 1 S  ab sin A  ac sin B  bc sin A 2 abc S 4R S  pr S S p ( p  a )( p  b)( p  c) 48 Lop12.net C Cao Cao Minh Minh Nhân Nhân A c B b H a C Định lý đường phân giác: la  A B C 2ac cos 2ab cos ;l  ;l  b c bc ac ab 2bc cos CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC Để chứng minh đẳng thức lượng giác A=B ta có thể thực theo các phương pháp sau Phương pháp 1: Biến đổi vế này thành vế Phương pháp 2: Xuất phát từ một hệ thức đúng đã biết để suy đẳng thức cần chứng minh VÍ DUÏ MINH HOÏA: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Chứng minh các đẳng thức sau: A B C sin B sin C 4.cos cos cos a) sin A  2 2 2 b) sin A  sin B sin C 2 cos A.cos B.cos C Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh các đẳng thức sau: tgB tgC tgA.tgB.tgC a) tgA  (  ABC khoâng vuoâng) A B B C C A tg tg tg tg b) tg tg  2 2 2 Daïng 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC I Bất đẳng thức tam giác : Neáu a, b, c laø ba caïnh cuûa moät tam giaùc thì :  a > 0, b > 0, c >  b  c a b c  c  a b c a  a  b c a b  a  b c A B C II Các bất đẳng thức : Bất đẳng thức Cauchy: 49 Lop12.net Cao Cao Minh Minh Nhân Nhân ab  ab Cho hai soá khoâng aâm a; b ta coù : Daáu "=" xaõy vaø chæ a=b Toång quaùt : Cho n soá khoâng aâm a1,a2, an ta coù : a1  a2 an n  a1 a2 an n Daáu "=" xaõy vaø chæ a1 = a2 = = an Bất đẳng thức Bunhiacốpski : Cho bốn số thực a,b,x,y ta có : (ax  by )2 (a b2 )( x y2 ) Daáu "=" xaõy vaø chæ ay = bx Toång quaùt : Cho hai boä soá (a1 , a2 , an ) vaø (b1 , b2 , , bn ) ta coù : (a1b1  a2 b2 an bn )2 Daáu "=" xaõy vaø chæ a1 a2  b1 b2 (a12 a2 an )(b12 b2 bn ) an với quy ước mẫu thì tử bn 3) Bất đẳng thức bản: a) Cho hai soá döông x, y ta luoân coù: 1 1  (  ) xy x y Daáu "=" xaõy vaø chæ x = y b) Với số thực x, y ta luôn có: x  y  xy Daáu "=" xaõy vaø chæ x = y III Bất đẳng thức JENSEN : 1) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) < x  (a; b) (f là hàm lồi) thì Với x1 , x , , x n  (a; b) ta có: f ( x1 )  f ( x )   f ( x n ) x  x  x n (n  2)  f( ) n n Daáu "=" xaõy vaø chæ x1  x   x n 2) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) > x  (a; b) (f là hàm lõm) thì 50 Lop12.net Cao Cao Minh Minh Nhân Nhân Với x1 , x , , x n  (a; b) ta có: f ( x1 )  f ( x )   f ( x n ) x  x  x n  f( ) n n Daáu "=" xaõy vaø chæ x1  x   x n (n  2) Để chứng minh đẳng thức lượng giác A  B (>, ,  ) ta có thể thực theo các phương phaùp sau: Phương pháp 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến đến bất đẳng thức hiển nhiên đúng Phương pháp 2: Sử dụng các bất đẳng thức đã biết (Cô si, BCS, ) để suy bất đẳng thức cần chứng minh VÍ DUÏ MINH HOÏA: A B C Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: sin sin sin  2 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: A B C 3 a) cos  cos  cos  2 2 3 b) sin A  sin B  sin C  A B C c) tg  tg  tg  2 Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: A B C 3 a) cos cos cos  2 b) tgA  tgB  tgC  3 A B C c) tg tg tg  2 3 Daïng 3: NHAÄN DAÏNG TAM GIAÙC KIỂU ĐỀ TOÁN 1: Cho tam giaùc ABC thoûa maõn   " Điều kiện cho trước"     THÌ   laø tam giaùc vuoâng   laø tam giaùc vuoâng caân    ABClaø tam giaùc caân    là tam giác      laø tam giaùc coù goùc ñaëc bieät   KIỂU ĐỀ TOÁN 2:   laø tam giaùc vuoâng    "Điều kiện cho trước" có thể là: laø tam giaùc vuoâng caân    c ABC thoû maõcnveà goù Cho  c   tam Ñaúgiaù ng thứ c lượ ngagiaù     ABC laø tam giaù c caâ n     n, phaân giaùc, )  n cho c" c + độ dài CẦ Ñaúungkieä thứ c lượtrướ ng giaù (caïNnVAØ h, ĐỦ trung tuyeá   " Ñieà là tam giác    51 laø tam giaùc coù goùc ñaëc bieät   Lop12.net Cao Cao Minh Minh Nhân Nhân  Đẳng thức độ dài  Hệ đẳng thức 1) Nhaän daïng tam giaùc vuoâng Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương hệ để biến đổi "Điều kiện cho trước" đến đẳng thức mà từ đó ta dể dàng kết luận tính chất tam giác 2) Nhaän daïng tam giaùc caân Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương hệ để biến đổi "Điều kiện cho trước" đến đẳng thức mà từ đó ta dể dàng kết luận tính chất tam giác 3) Nhận dạng tam giác Ngoài phương pháp đã nêu trên ta có thể giải bài toán theo cách sau Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Gồm bước (áp dụng "Điều kiện cho trước" có dạng đẳng thức A = B Bước 1: CM bất đẳng thức A  B A  B (1) Bước 2: Lập luận để đẳng thức (1) xãy mà đẳng thức (1) xảy thì tam giác ABC VÍ DUÏ MINH HOÏA: sin A  cos B  tgA Chứng minh  ABC vuông Ví duï 1: Tam giaùc ABC coù sin B  cos A Ví dụ 2: Chứng minh ABC thỏa mãn điều kiện cos A  cos B  cos 2C   thì tam giác đó là tam giác vuông Ví dụ 3: Chứng minh tam giác ABC thoả mãn các điều kiện sau là tam giác cân C sin A sin B sin C A C  cot g cot g 1) tgA tgB 2.cot g 2) sin A sin B sin C 2 Ví dụ 4: Chứng minh tam giác ABC thoả mãn các điều kiện sau là tam giác A B C cos cos cos  2 1) cos A.cos B.cos C  2)  cos A cos B cos C 1 1 1 A B C  cos B cos C sin sin sin 3) cos A  4) A B C cos A cos B cos C sin 2 sin sin 2 Ví duï 5: Xaùc ñònh daïng cuûa tam giaùc ABC bieát: C b tg (a.tgA b.tgB) 1) a  b c a  2) cos B cos C sin B.sin C bc 3) cos B cos C a a.cos A b.cos B c.cos C  4) a b c Ví dụ 6: Hãy tính các góc tam giác ABC tam giác đó ta có : sin2 A  sin2 B sin2 C 3cos C cos2 C Ví duï 7: Tính caùc goùc cuûa tam giaùc ABC bieát raèng 52 Lop12.net Cao Cao Minh Minh Nhân Nhân 4 p( p  a)  bc   A B C 3 sin sin sin  2  abc đó BC = a, AB = c, p  Heát - 53 Lop12.net