Trên ñường thẳng ñi qua A và vuông góc với (P) lấy ñiểm S sao cho SA=a<2R. Gọi E và F lần lượt là trung ñiểm của AC và SB. Xác ñịnh vị trí của C trên ñường tròn sao cho EF là ñường[r]
(1)CHUN ðỀ: QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Các tập thường đề cập đến là:
CM tính vng góc( đường thẳng vng với mp, hai đường thẳng vng góc với nhau, hai mp vng góc với
Các tốn tìm khoảng cách (từ điểm ñến mặt phẳng, hai ñường thẳng chéo nhau…
Các tốn xác định góc: hai đường thẳng chéo nhau, góc hai mp, góc đường thẳng mp
CHỦ ðỀ 1: CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH TÍNH VNG GĨC A Lý thuyết bản:
1 Tiêu chuẩn vng góc
a) d vng góc với (P) d vng với hai đường thẳng cắt thuộc (P) b) Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với góc hai mp 90o 2 Các định lí tính vng góc
• ðịnh lí đường vng góc
•
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ),
P Q
P Q a Q
a P a
⊥
∩ = ∆ ⇒ ⊥
⊂ ⊥
△
•
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P R
Q R R
P Q
⊥
⊥ ⇒ ∆ ⊥
∩ = ∆
• ( ) ( ) ( )
( )
a P
Q P
a Q
⊥
⇒ ⊥
⊂
Khi chứng minh tính vng góc ta cần ý:
• Sử dụng tính chất trục tam giác
•
1
1
( )
( ) ( ) ( )
d P
d Q P Q
d d ⊥
⊥ ⇒ ⊥
⊥
Loại 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng
ðể giải tốn phương pháp sử dụng là: để chứng minh d vng góc với ∆ ta chứng minh d vng góc với mp(Q) chứa ∆
Chú ý:
Nếu a vng góc với (P) vng với đường thuộc (P)
ðể a vuông với (P) cần a vng với hai đường cắt (P) Bài : (KB-02) Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 có cạnh a Gọi M,N,P trung ñiểm cạnh BB CD A D1, , 1 1 Chứng minh: MP⊥C N1
(2)Bài : (KB-07) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm ñối xứng D qua trung ñiểm SA, M trung ñiểm AE, N trung ñiểm BC Chứng minh: MN ⊥BD
Bài : (KD-07) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang,
90 ,o , 2
ABC=BAD= BA=BC=a AD= a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA=a 2.Chứng minh: tam giác SCD vuông
Bài : (Cð KA-08) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang,
90 ,o , 2
BAD= ABC= AB=BC=a AD= a, SA vng góc với đáy SA=2a Gọi M,N trung ñiểm SA, SD Chứng minh: BCNM hình chữ nhật
Bài : (Cð ABD-09) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh ñáy a Cạnh bên a Gọi M,N,P trung ñiểm SA, SD, DC Chứng minh: MN ⊥SP
Bài: (KB 03) Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD=600 Gọi M trung điểm cạnh AA’, N trung ñiểm cạnh CC’ Chứng minh: ñiểm B’,M,D,N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a ñể tứ giác B’MDN hình vng
Bài: (TK 03) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân với AB=AC=a 120o
BAC= , cạnh bên BB’=a Gọi I trung ñiểm CC’ Chứng minh: tam giác AB’I vng A Tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC), (AB’I)
Loại 2: Các tốn tính vng góc hai mặt phẳng Sử dụng kết quả: ( ) ( ) ( )
( ) P
Q P
Q
∆ ⊥
⇒ ⊥
∆ ⊂
Sử dụng định nghĩa hai mặt phẳng vng góc để chứng minh tính vng góc hai mặt phẳng Bài : (KB-06) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD=a 2, SA=a
( )
SA⊥ ABCD Gọi M N trung ñiểm AD SC Chứng minh: (SAC)⊥(SMB)
Bài : (KA-03) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ đáy hình vng ABCD cạnh a; AA’=b Gọi M trung ñiểm CC’ Xác ñịnh tỉ a
b ñể hai mặt phẳng A’BD MBD vng góc với
Bài : (HP-06) Cho hình chóp SABC có đáy tam giác cạnh a SA⊥(ABC), SA=2a Gọi I trung ñiểm BC Chứng minh: mp SAI( )⊥(SBC)
Bài : Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC tam giác vuông C, hai mặt bên SAC SAB vng góc với đáy ABC Gọi D,E hình chiếu A SC SB Chứng minh:
(SAB)⊥(ADE)
Bài : Trong mp(P) cho hình vng ABCD cạnh a ðoạn SA cố định vng góc với (P) A; M N hai ñiểm tương ứng di ñộng cạnh BC CD ðặt BM=u, DN=v Chứng minh
2
( )
a u+v =a +u ñiều kiện cần ñủ ñể hai mp (SAM) (SMN) vng góc với
Bài : Trong mp(P) cho hình vng ABCD cạnh a Hai nửa đường thẳng Bx Dy vng góc với (P) phía (P) M N hai ñiểm di ñộng tương ứng Bx, Dy ðặt BM=u, DN=v
a) Tìm mối liên hệ u,v ñể (MAC)⊥(NAC)
(3)CHỦ ðỀ 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Các dạng tốn thường gặp:
Tìm khoảng cách từ ñiểm ñến mặt phẳng(hoặc ñường thẳng)
Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo tốn đường vng góc chung A Lý thuyết:
1 Khoảng cách từ ñiểm ñến ñường thẳng, ñến mặt phẳng ( , )
( ,( ))
d M a MH
d M P MH
=
= trong H hình chiếu M a (P)
2 Khoảng cách ñường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) M điểm nằm a
d((P),(Q) = d(M,(Q)) M điểm nằm (P) 3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo
• ðường thẳng ∆ cắt a, b vuông góc với a, b gọi đường vng góc chung a, b
• Nếu ∆ cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vng góc chung a, b
• ðộ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b
• Khoảng cách hai ñường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với
• Khoảng cách hai ñường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng
B Các dạng tập:
Loại 1: Bài tốn tìm khoảng cách từ ñiểm ñến mặt phẳng ñường thẳng Phương pháp giải:
Xác định chân đường vng góc mp ( đường thẳng)
Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng lượng giác để tính khoảng cách Bài : Cho tứ diện OABC, OA,OB,OC đơi vng góc với Kẻ OH ⊥(ABC)
a) Chứng minh: H trực tâm tam giác ABC b) Chứng minh: 2 12 12 2
OH =OA +OB +OC
Bài : (KD-02) Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), AC =AD=4cm AB, =3cm BC, =5cm Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) ðS: 34
17 Bài : (KD-08) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vng,
AB=BC=a, cạnh bên AA'=a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a khoảng cách hai ñường thẳng AM, B’C
ðS: ( , ' ) 7 a d AM B C =
Bài : Cho hình chóp S.ABCD có SA=3a SA vng góc với mp(ABC) Giả sử AB=BC=2a;
120o
ABC= Tìm khoảng cách từ A ñến mp(SBC) ðS: ( , ( ))
a
d A SBC =
Bài: (KD 02) Cho tứ diện ABCD có AD⊥(ABC), AC= AD=4cm AB, =3cm BC, =5cm Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD)
Bài: (TK 02) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a cạnh bên SA⊥(ABC) Tính khoảng cách từ A tới mp(BCD) theo a biết
(4)Bài: (TK 02) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA⊥(ABCD SA), =a Gọi E trung điểm CD Tính theo a khoảng cách từ S đến BE
Bài: (TK 04) Cho hình chóp SABC có SA=3a SA⊥(ABC) Tam giác ABC có AB=BC=2a, góc 120o
ABC= Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC)
Bài: (KD 07) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang, ABC=BAD=90 ,o BA=BC=a AD, =2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA=a Gọi H hình chiếu vng góc A SB CM: tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H ñến mp(SCD)
Bài: (KD 07) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang, ABC=BAD=90 ,o BA=BC=a AD, =2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA=a Gọi H hình chiếu vng góc A SB CM: tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD)
Bài: (DB KA 07) Cho hình chóp SABC có góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60, ABC SBC tam giác ñều cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến mp(SAC)
Bài: (DB KA 07) Cho lăng trụ ñứng ABCA B C1 1 có AB=a AC, =2 , AAa 1=2a v BAC =120o Gọi M trung điểm CC1 CM: MB⊥MA1 tính khoảng cách từ A ñến mp A BM( 1 )
Loại 2: Bài tốn tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo
Ta hay chuyển toán xác ñịnh khoảng cách hai ñường thẳng chéo d1,d2 toán
dễ giải sau ñây:
a) 1 1 1 1
2 / /( )
( , ) ( , ( )) ( , ( )), ( )
d P
d d d d d P d M P M d
d P
→ = = ∈
⊂
b)
2 1
( )
( ) ( , ) ( , ( )) ( , ( )) (( ), ( )) ( ) / /( )
d P
d Q d d d d d Q d d P d P Q
P Q
⊂
⊂ → = = =
Như cuối ta quy tốn tìm khoảng cách hai ñường thẳng chéo tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Bài : (KD-08) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB=BC=a, cạnh bên
'
AA =a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a khoảng cách hai ñường thẳng AM, B’C ðS: ( , ' )
7 a d AM B C =
Bài : (KB-07) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E ñiểm ñối xứng D qua trung ñiểm SA, M trung ñiểm AE, N trung điểm BC Tính theo a khoảng cách hai ñường thẳng MN AC ðS: ( , )
4 a d MN AC =
Bài : (KA-06) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Gọi M,N trung điểm AB CD Tìm khoảng cách hai ñường thẳng A’C MN
Bài : (KA-04) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD đáy hình thoi cạnh AB= 5, đường chéo AC=4,
2
SO= SO vng góc với đáy ABCD, ñây O giao ñiểm AC BD Gọi M trung điểm cạnh SC Tìm khoảng cách hai ñường thẳng SA BM
Bài: (TK 02) Cho tam giác vng cân ABC có cạnh huyền BC=a Trên đường thẳng vng góc với mp(ABC) A lấy S cho góc hai mp (ABC) (SBC) 60o Tính độ dài đoạn SA theo a Bài:(TK 02) Cho tứ diện ñều ABCD, cạnh a=6 Hãy xác định tính độ dài đoạn vơng góc chung AD BC
(5)Bài: (KB 07) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E ñiểm ñối xứng D qua trung ñiểm SA, M trung ñiểm AE, N trung điểm BC CM: MN ⊥BD tính theo a khoảng cách hai ñường thẳng MN AC
Bài: (DB KD 07) Cho lăng trụ ñứng ABCA B C1 1 có tất cạnh ñều a M trung ñiểm
AA CM: BM ⊥B C1 tính khoảng cách hai ñường thẳng BM B C1 Loại 3: Xác định đường vng góc chung
Phương pháp tổng qt dựng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo a,b: Dựng mp(P) chứa b (P) // a
Trên a lấy A, gọi A’ hình chiếu vng góc A (P) Dựng a’ qua A’ a’//a, a’ cắt b M
Kẻ qua M ñường thẳng song song với AA’ ( vuông với (P)) cắt a N
MN đường vng góc chung
a
b (P)
N
M A
A'
Trong trường hợp a b vng góc, ta dựng đường vng góc chung hình vẽ sau:
Bài : (KB-02) Cho hình lập phương ABCD A B C D 1 1 1 có cạnh a Tính theo a khoảng cách
A B B D1 ðS: 6 a Bài : Cho hình tứ diện ñều ABCD cạnh a=6 2cm Hãy xác ñịnh tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng AB CD ðS: cm Bài : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB=a, BC=2a, cạnh SA vng góc với đáy SA=2a Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng AB SC ðS: a Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA=h SA vng góc với mp(ABCD) Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng SC AB ðS:
2 ah a +h Bài : Cho đường trịn đường kính AB=2R mặt phẳng (P) C
một ñiểm chạy đường trịn Trên đường thẳng qua A vng góc với (P) lấy điểm S cho SA=a<2R Gọi E F trung ñiểm AC SB Xác định vị trí C đường trịn cho EF đường vng góc chung AC SB
CHỦ ðỀ 3: BÀI TỐN XÁC ðỊNH GĨC GIỮA HAI ðƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU, GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG VÀ GIỮA ðƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A Lý thuyết bản:
1 Các khái niệm:
a) Góc hai đường thẳng:
• a′//a, b′//b ⇒( )a b, =(a b', ')
(6)Khi ñó: ( )
0
0 0
0 180
,
180 90 180
neáu a b
neáu
≤ ≤
=
− < ≤
α α
α α
• Nếu a//b a ≡ b ( )a b, =00 Chú ý: 00≤( )a b, ≤900
b) Góc đường thẳng mặt phẳng
• Nếu d ⊥ (P) (d P,( )) = 900
• Nếu d ⊥( )P (d P,( )) = (d d, ') với d′ hình chiếu d (P) Chú ý: 00≤ (d P,( )) ≤ 900
c) Góc hai mặt phẳng
• ( ) (( ),( )) ( ), ( )
a P
P Q a b
b Q
⊥ ⇒ =
⊥
• Giả sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng ( ), ( ),
a P a c
b Q b c
⊂ ⊥
⊂ ⊥
⇒
( ) ( ) ( ),( )P Q = a b, Chú ý: 00≤(( ),( )P Q )≤900
2 Có hai loại tốn sau:
a) Xác định gócα(có thể góc giá trị lượng giác góc) hai ñường thẳng chéo nhau, giữa ñường thẳng mp, hai mặt phẳng
b) Tìm ñiều kiện ñể góc nói nhận giá trị cho trước
Loại 1: Xác định góc hai đường thẳng chéo khơng gian ðể giải toán ta tiến hành theo bước:
Bước 1: Quy góc hai đường thẳng chéo góc hai đường thẳng cắt nhau: GS cần tính góc αcủa hai đường thẳng chéo d d’ Chọn A thích hợp d, qua A kẻ ñường thẳng d1 song song với d’ Khi (d,d’)=(d,d1)
Bước 2: Trong mp(d,d1), dựa vào kiến thức hình học phẳng ñể xác ñịnh α
Bài : (KA-08) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vng A, AB=a, AC =a hình chiếu vng góc ñỉnh A’ mp(ABC) trung ñiểm cạnh BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA’ B’C’ ðS: cos
4
α =
Bài : (KB-08) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA=a, SB=a
mp(SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung ñiểm cạnh AB,BC Tính cosin góc tạo hai đường SM, DN ðS: cos
5
α=
Bài : (KA-04) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh , AC=4 chiều cao hình chóp SO=2 2, O giao ñiểm AC BD Gọi H trung điểm SC Tìm góc hai đường thẳng SA BM ðS: (SA BM, )=30o Bài : (KA-03) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’
a) Chứng minh: A C' ⊥(BDC')
b) Tính khoảng cách hai mp (AB’D’) (BDC’) c) Tính số ño góc tạo hai mp (BA’C) (DA’C)
ðS: 60o
(7)Bài: (KB 02) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a 1 1 1 a) Tính theo a khoảng cách A B1 B D1
b) Gọi M,N,P trung ñiểm cạnh BB CD A D1, , 1 1 Tính góc hai ñường thẳng MP C N1
Loại 2: Bài tốn tìm góc hai mặt phẳng
Bài: (KA 03) (Thêm ý a,b) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ a) CM: A C' ⊥(BDC')
b) Tính khoảng cách hai mp (AB’D’) (BDC’) c) Tính số đo góc tạo hai mp (BA’C) (DA’C)
Bài: (CðSP HD 06) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, ñường cao
SH =a Tính góc mặt bên mặt đáy hình chóp
Bài: (TK 02) Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Gọi , ,α β γ góc mp(ABC) với mặt (OBC), (OCA), (OAB) CMR: cosα+cosβ +cosγ ≤
Loại 3: Bài tốn tìm điều kiện để góc cần tìm đại lượng cho trước Phương pháp giải sau:
Xác ñịnh góc α
Từ ñiều kiện yêu cầu α, ta có phương trình xác định ẩn số chọn từ trước Việc tìm ẩn số cho phép ta tìm lời giải tốn
Chú ý: α=90ota có tốn: tìm điều kiện để hai mp vng góc với nhau, hai đường thẳng vng góc
Bài 1: Trong mp(P) cho tam giác ABC vuông C, AB=2a, CAB=60o, đoạn SA=h SA vng góc với (P) Tìm h cho góc hai mp (SAB) (SBC) 60o ðS:
2 a
h=
Bài 2: Trong mp(P) cho hình vng ABCD cạnh a ðoạn SA cố định vng góc với (P) A M,N lần lượt hai ñiểm di ñộng cạnh BC CD ðặt BM=u, DN=v Chứng minh: a(u+v)+uv=a2 ñiều kiện cần ñủ ñể hai mp (SAM) (SAN) tạo với góc 45o
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SA=SB=SC=a a) Chứng minh: mp(ABCD) vng góc với (SBD)
b) Chứng minh SBD tam giác vng S
Bài 2: Hình chóp S.ABC có SA vng góc với mp(ABC) Gọi H K trực tâm tam giác ABC SBC
a) Chứng minh: SC vng góc với mp(BHK) (SAC) vng với (BHK) b) Chứng minh: HK vuông với (SBC) (SBC) vuông với (BHK)
Bài 3: Trong mp(P) cho hình chữ nhật ABCD Qua A dựng nửa đường thẳng Ax vng góc với (P) Lấy S ñiểm tùy ý Ax (S khác A) Qua A dựng mp (Q) vuông với SC Giả sử (Q) cắt SB,SC,SD B’, C’, D’ Chứng minh: AB'⊥SB AD; '⊥SD SB.SB’=SC.SC’=SD.SD’
Bài 4: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ ñáy tam giác ABC với AB=AC, BAC=α Gọi M trung ñiểm AA’ giả sử mp(C’MB) tạo với ñáy (ABC) góc β
a) Chứng minh: C BC' =β b) Chứng minh: tan cos
α
β
= ñiều kiện cần ñủ ñể '
BM ⊥MC
(8)ðS: a) Khoảng cách BC a, b)
2 2 ah a h +a Bài 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh 7a, cạnh SC vng góc với mp(ABC) SC=7a Tìm khoảng cách hai đường thẳng SA BC ðS: a 21
Bài 7: Trong mp(P) cho hình thoi ABCD có tâm O cạnh a 3
OB=a Trên đường thẳng vng góc với mp(ABCD) O lấy điểm S cho SB=a Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BD
ðS: 3 a Bài 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi E, F M trung ñiểm AD, AB CC’ Gọi ϕ góc hai mp(ABCD) (EFM) Tính cosϕ ðS: 11