Đang tải... (xem toàn văn)
Từ 3 và 4 => Tam giác cân tại B => F trung điểm của hay điểm đối xứng của trực tâm H qua cạnh BC thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. Chứng minh tương tự cho các cạnh còn lạ[r]
(1)Chuẩn bị thi TNPT & CĐ-ĐH 2015 MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM KHI LÀM BÀI TOÁN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ Oxy Vấn đề 1: Tính chất trực tâm tam giác Bài toán 1: Cho tam giác ABC nhọn Gọi H là trực tâm tam giác ABC, E, D, F là chân đường cao tương ứng hạ từ các đỉnh B, C, A; và G, I là trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M là trung điểm cạnh BC Chứng minh điểm đối xứng H qua M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; suy và Điểm đối xứng trực tâm H qua cạnh tam giác thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải: Gọi A’ là điểm đối tâm A, AA’ là đường kính đường tròn (ABC) Do đó: Hơn H là trực tâm nên: Từ (1) và (2) Suy tứ giác BHCA’ là hình bình hành Do đó : trung điểm BC (tính chất đường chéo là hình bình hành) Hay nói cách khác: điểm đối xứng H qua M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác: I là trung điểm AA’ và gt: M là trung điểm cạnh BC nên IM là đường trung bình tam giác AHA’, đó: Gọi (đpcm) và vì AH // IM nên: Do AM là trung tuyến nên N chính là trọng tâm tam giác ABC hay Gv: Phan Hữu Thiềm- Th.S Toán học (đpcm) (2) Chuẩn bị thi TNPT & CĐ-ĐH 2015 Xét đường tròn (ABC) và gọi + + ta có: (Góc nhọn có cặp cạnh vuông góc) (3) (Cùng chắn cung (4) Từ (3) và (4) => Tam giác cân B => F trung điểm hay điểm đối xứng trực tâm H qua cạnh BC thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh tương tự cho các cạnh còn lại Vậy: Điểm đối xứng trực tâm H qua cạnh tam giác thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài toán 2: Cho tam giác ABC nhọn Gọi H là trực tâm tam giác ABC, E, D, F là chân đường cao tương ứng hạ từ các đỉnh B, C, A; và G, I là trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh đoạn nối tâm I với đỉnh tam giác thì vuông góc với đường nối hai chân đường cao hai đỉnh còn lại Trực tâm H tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Lời giải: Gọi At là tiếp tuyến với đường tròn (ABC) A, nên: (chắn cung AB) (5) Mặt khác, ta có: tứ giác BEDC nội tiếp được, ta có: (cùng bù với ) (6) Từ (5) và (6): => At // ED => Chứng minh tương tự cho các trường hợp còn lại, tức là: (đpcm) Ta chứng minh EC là phân giác (cùng chắn cung DC đường tròn (BEDC)) (7) (cùng chắn cung HF đường tròn (BEHF)) (8) Từ (7) & (8) => => CE là đường phân giác góc Chứng minh tương tự, ta có: DB là đường phân giác góc và AF là đường phân giác góc Vậy: Trực tâm H tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF BÀI TẬP ÁP DỤNG Gv: Phan Hữu Thiềm- Th.S Toán học (3) Chuẩn bị thi TNPT & CĐ-ĐH 2015 Trong mp(Oxy), cho tam giác ABC với C(-3; 0), đường thẳng qua chân đường cao hạ từ A và B có pt: 7x + y + = Viết pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết điểm M(4; 1) thuộc đường tròn đó Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân A và (BC): 2x + y -2 = Hai điểm E, F là chân đường cao hạ từ B, C tam giác ABC BE có pt: x + y + = 0, điểm M(1; 1) thuộc đường thẳng CF Tìm tọa độ các đỉnh: A, B, C Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I(2; 1), bán kính R = Chân đường cao hạ từ B, C, A là D(4; 2), E(1; -2) và F Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF biết điểm A có tung độ dương Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình: , M(2;3) là trung điểm AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: ngoại tiếp tam giác nhọn ABC có các chân đường cao hạ từ B, C là D(-1; -3), E(2; -3) Tìm tọa độ các đỉnh: A, B, C biết A có tung độ âm Tài liệu tham khảo: Toán học tuổi trẻ số 11 (2014) Các đề thi thử TNTH và CĐ- ĐH năm 2015 Gv: Phan Hữu Thiềm- Th.S Toán học (4)