SH thuc ND tinh chat cua phan nguyen trong cac bai toan day so

VẬN DỤNG TÍNH CHẤT PHẦN NGUN TRONG CÁC BÀI TỐN CỦA DÃY SỐ Nguyễn Đình Thức Trường THPT chuyên Lê Q Đơn Bình Định Khi quan tâm khảo sát tốn số học dãy số , ta thấy có vấn đề đặt : 1/ Khi dãy số cho có cơng thức chứa biểu thức phần ngun; phần thập phân giải tốn dãy số thực sao? 2/ Biến đổi dãy số quy dãy số có cơng thức chứa biểu thức phần nguyên; phần thập phân ? Phần 1: GIẢI CÁC BÀI TOÁN DÃY SỐ CÓ CHỨA BIỂU THỨC PHẦN NGUYÊN; PHẦN THẬP PHÂN Một số thí dụ sau trình bày cụ thể giải pháp xử lý Thí dụ : (Olympic Canada;1996) Cho số hữu tỉ dương r1; r2 ; ;r 2015có tổng dãy số xn  gồm số thực xác định sau 2015 xn  n   nrk  ; n  Z  k 1 ( x phần nguyên biễu diễn thập phân số thực x) Xác định gía trị lớn bé giá trị xn Giải : Theo định nghĩa phần nguyên ta có nrk   nrk giả thiết 2015 2015 2015 k 1 k 1 2015 k 1 2015 r k 1 k 1   nrk    nrk  n  rk  n.1  xn  n  nrk   Min xn =0 đạt n=0 k 1 Mặt khác theo định nghĩa phần nguyên ta có nrk 1  nrk  giả thiết 2015 2015 2015 2015 k 1 k 1 k 1 k 1 2015 r k 1 k 1  xn  n   nrk   n  rk   nrk    (nrk  nrk )      2015 Max xn =2014 Thí dụ : (IMO- 1968) Cho dãy số an  gồm số nguyên xác định sau  k  2n 1  ; n  Z  an 1    n   ( x phần nguyên biễu diễn thập phân số thực x)  Chứng minh a i 1  k  20  i  k (k nguyên dương cho trước)  k  21   k  22  (   +   +   +….=k)       Giải : Bài toán chứng minh quy nạp 1  20  1  21  1  22  Rõ ràng toán k=1   +   +   +….=1       Giả sử toán với số nhỏ k Ta chứng minh toán cho k Đến bước quy nạp ta chia số k thành trường hợp k chẵn k lẻ Vận dụng biễu diễn k hệ nhị phân Giả sử k= at at1 a1a0 2  2at at1 a1 2  a0 Nếu k=2m a0 =0 ; m= at at 1 a1 2 Nếu k=2m+1 a0 =1 ; m= at at 1 a1 2 Trở lại toán   k  2i   2m  a0  10 02 (i sô 0)   2m  10 02 (i sô 0) a0  2i 1    100 0 (i  sô 0)    100 0 (i  sô 0)  100 0 (i  sô 0)     2     2m  1 02 (i sô 0)   m  1 02 (i  sô 0)      10 0 (i sô 0)    10 ( i  sô ) 2      k  21   k  22   k  102   k  100   m  12   m  102     +   +….=                100   1000   102   100   m  12   m  102   m  100  Sử dụng giả thiết quy nạp cho m