S6 chuyên đề 9 chủ đề 2 phân số tối giản

CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 9-PHÂN SỐ CHỦ ĐỀ 2:PHÂN SỐ TỐI GIẢN PHẦN I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT -Phân số tối giản hay gọi phân số rút gọn phân số mà tử mẫu có ước chung -1 -Giả sử ta có phân số - Nếu phân số a a Phân số gọi phân số tối giản ÖCLN  a, b  1 b b a b phân số tối giản phân số phân số tối giản b a - Tổng (hiệu) số nguyên phân số tối giản phân số tối giản -Tính chất:  am  a b m +  bm + a m  a.k m -Thuật tốn Ơclit tìm ƯCLN(a;b): Ta tìm UCLN(a ;b) cách dùng thuật toán Euclide sau : a = bq0 + r1 với < r1 < b b = r1 q1 + r2 với 0< r2 < r1 rn-1 = rnqn Thuật toán phải kết thúc với số dư Do ta có: (a; b) = (b; r1) = (r1; r2) = =(rn-1; rn) = rn PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng 1:Chứng minh phân số với tham số n phân số tối giản I.Phương pháp giải Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ a phân số tối giản, ta cần chứng minh ÖCLN  a, b  1 , dùng b thuật toán Euclide tổng (hiệu) số nguyên phân số tối giản phân số tối giản Chứng minh phân số II.Bài toán Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n khác phân số sau phân số tối giản a n b n 1 n c n n Lời giải a n Vì ƯCLN  1, n  1 nên b phân số tối giản n n 1 n *Cách 1: Theo thuật tốn Euclide: ƯCLN  n  1, n  ƯCLN  n;1 1 n 1 phân số tối giản n *Cách 2: Giả sử ÖCLN  n  1, n  d (n  1)d   nd  n   n d  1d  d 1 Vậy n 1 phân số tối giản n *Cách 3: Ta có: n 1 1 n 1 phân số tối giản 1  mà phân số tối giản nên phân số n n n n Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Bài 2: Chứng minh với n  Z phân số sau tối giản a n 2n  b 7n  e 3n  5n  f 7n  14n  c g n5 n6 2n  3n  10 d n 1 2n  h 2n  4n  Lời giải a n 2n  Giả sử ÖCLN  n,2n  1 d  nd 2n d     2n  1d 2n  1d  (2n  1)  2n d  2n   2n d  1d  d 1 Vậy phân số b n phân số tối giản 2n  1 7n  Vì ƯCLN  1,7n  1 1 nên c phân số tối giản 7n  n5 n6 Giả sử ÖCLN  n  5, n   d n  5d   n  6d Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ  (n  6)  (n  5) d  n   n  d  1d  d 1 Vậy phân số d n5 phân số tối giản n6 n 1 2n  Giả sử ÖCLN  n  1,2n  3 d n  1d    n   d  2n  2d  2n  3d  (2n  3)  (2n  2) d  2n   2n  d  1d  d 1 Vậy phân số e n 1 phân số tối giản 2n  3n  5n  Giả sử ÖCLN  3n  2,5n   d 3n  2d 5(3n  2)d 15n  10d       5n  3d 3(5n  3)d 15n  9d  (15n  10)  (10n  9) d  15n  10  15n  d  1d  d 1 Vậy phân số 3n  phân số tối giản 5n  Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ f 7n  14n  Giả sử ÖCLN  7n  1,14n   d 7n  1d    14n  3d 2(7n  1)d   14n  3d 14n  2d  14n  3d  (14n  3)  (14 n  2) d  14n   14n  2d  1d  d 1 Vậy phân số g 7n  phân số tối giản 14n  2n  3n  10 Giả sử ÖCLN  2n  7,3n  10  d 2n  7d 3(2n  7)d 6n  21d       3n  10d 2(3n  10)d 6n  20d  (6n  21)  (6n  20) d  6n  21  6n  20 d  1d  d 1 Vậy phân số h 2n  phân số tối giản 3n  10 2n  4n  Giả sử ÖCLN  2n  3,4n   d Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 2n  3d    4n  d 2(2n  3)d   4n  4d 4n  6d  4 n  d  (4n  6)  (4 n  4) d  n   n  d  2d Vì 2n  số lẻ, 4n  số chẵn nên suy d 1 Vậy phân số 2n  phân số tối giản 4n  Bài 3: Chứng minh phân số sau tối giản: a n2  n b n n 1 c 7n  7n  n  d n n 1 e 2n  n  n Lời giải a n2  n Ta có: Theo thuật tốn Euclide: ƯCLN n  1, n ƯCLN n;1 1  Do đó: phân số b   n2  phân số tối giản n n n 1 Vì phân số c  n n2  phân số tối giản nên phân số phân số tối giản n 1 n 7n  7n  n  Ta có: Theo thuật tốn Euclide: ƯCLN 7n  n  1,7n  ÖCLN 7n  1;1 1     Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 7n  n  Do đó: phân số phân số tối giản 7n  Vì phân số d 7n  7n  n  phân số tối giản nên phân số phân số tối giản 7n  n  7n  n n 1 3 Ta có: Theo thuật tốn Euclide: ƯCLN n  1, n ƯCLN n;1 1  Do đó: phân số Vì phân số    n3  phân số tối giản n n n3  phân số tối giản nên phân số phân số tối giản n 1 n 2n  n  e n Ta có: Theo thuật tốn Euclide: ƯCLN 2n  n  1, n ÖCLN n;1 1  Do đó: phân số    2n  n  phân số tối giản n Bài 4: Cho a số tự nhiên chia dư Phân số a có phân số tối giản khơng? a2 Lời giải Giả sử ƯCLN  a, a   d a d   a  2d  (a  2)  a d  a   a d  2d Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ Vì a số tự nhiên chia dư nên a số lẻ Suy ra: d 1 Vậy phân số a phân số tối giản a2 Bài 5: Chứng minh a số nguyên khác -1 giá trị biểu thức A  a3  a2  phân a3  a2  a  số tối giản Lời giải  a  1 a2  a  a2  a  a  2a    Ta có: A  a  2a2  2a   a  1 a  a  a  a      Gọi d ÖCLN (a2  a  1, a  a  1) a  a  1d   a  a  1d   a2  a   a  a   d      2d Mà a  a  a(a  1)  số lẻ nên d lẻ  d 1 Vậy với a khác -1 giá trị A phân số tối giản Bài 6: Chứng minh với số ngun n khác khơng phân số 2n  phân số tối giản 2n(n  1) Lời giải Giả sử d ÖCLN  2n  1,2n n     2n  1d   2n(n  1)d Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ 2n  1d   n(2n  2)d Mà ÖCLN  2n  1,2n   1 nên 2n  1d 2n  1d     nd 2nd  2n   2nd  1d  d 1 Vậy phân số 2n  phân số tối giản 2n(n  1) Dạng 2:Tìm tham số n để phân số tối giản I.Phương pháp giải - Bước 1: Giả sử d ước chung tử mẫu  Tử mẫu chia hết cho d -Bước 2: Vận dụng tính chất quan hệ chia hết để tìm giá trị d - Bước 3: Xác định giá trị khác -1 d  tử mẫu khơng chia hết cho giá trị  từ tìm điều kiện ẩn Hoặc biến đổi phân số thành tổng hiệu số nguyên với phân số tối giản II.Bài tốn Bài 1: Tìm số tự nhiên n để phân số sau phân số tối giản a 2n  4n  b 3n  7n  c 2n  5n  Lời giải a 2n  4n  Giả sử d  ÖC  2n  3,4n  1 2n  3d    4n  1d 2(2n  3)d   4n  1d 4 n  d  4 n  1d  (4 n  6)  (4n  1)d  4n   n  1d Trang CHUYÊN ĐỀ 9: PHÂN SỐ  5d  d   1; 5 Để phân số 2n  phân số tối giản d 5 4n  Hay 2n  không chia hết cho Ta có: 2n  5k  2n   5k (k  Z )  2(n  1) 5k  n  5k  n 5k  Vậy: với n 5k  phân số b 2n  phân số tối giản 4n  3n  7n  Giả sử d  ÖC  3n  2,7n  1 3n  2d    7n  1d 7(3n  2)d   3(7n  1)d 21n  14d  21n  3d  (21n  14)  (21n  3)d  21n  14  21n  3d  11d  d   1; 11 Để phân số 3n  phân số tối giản d 11 7n  Hay 7n  không chia hết cho 11 Ta có: 7n  11k  7n   22 11k (k  Z )  7(n  3) 11k  n  11k  n 11k  Trang 10