Chuyên đề 2 phân tích đa thức thành nhân tử

CHUYÊN ĐỀ: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ A PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ Phương pháp: p - Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng q p ước hệ số tự do, q kà ước dương hệ số cao - Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử là: x – - Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử là: x + - Nếu a nghiệm nguyên f(x) f (1) 0; f ( 1) 0  f (1) f ( 1) ; a  a 1 số nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự Đối với đa thức bậc hai : ax  bx  c Cách 1: Tách hạng tử bậc bx - Tính a.c phân tích a.c tích hai thừa số ac = a1c1 = a2c2 = - Chọn hai thừa số có tổng b , chẳng hạn : ac = a1c1 với a1 + c1 = b - Tách bx = a1x + c1x - Dùng phương pháp nhóm số hạng để phân tích tiếp Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 3x  x  b 3x  x  d x  x  24 e x  x  Lời giải c x  11x  2 a) Ta có: 3.4 = 12 = 2.6 , mà + = nên ta được: 3x  x  3x  x  x   3x    x   2 b) Cách 1: Tách hạng tử thứ 2: 3x  x  3x  x  x  3x  x     x    x    x   Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất: 3x  x   x  x    x  x    x   c) x  11x  28  x    x   d) x  x  24  x    x  3 e) x  x   x  1  x   Cách 2: Tách hạng tử bậc ax2 2 - Ta thường làm làm xuất đẳng thức: a  b  a  b   a  b  Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3x  x  Lời giải Ta có: 3x  x   x  x    x  x    x  x    3x   Cách 3: Tách hạng tử tự c - Ta tách c thành c1 c2 để dùng phương pháp nhóm hạng tử tạo đẳng thức cách c1 nhóm với ax2 cịn c2 nhóm với bx Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3x  x  a b) x  x  Lời giải a 3x  x  16  12  3x  12    x  16   x    x   b x  x   x  x  1   x  1  22  x  1  x   2 c) x  12 x  c x  12 x   x 12 x     x    32  x    x  1 Đối với đa thức bậc ba trở lên ( dùng phương pháp nhẩm nghiệm ) n n Cơ sở để phân tích: Xét đa thức Pn ( x) a n x  an  x   a1 x  a0 (an a0  Z , n 1) +) Nếu x = a nghiệm P(x) P(a) = Hệ Quả : Nếu Pn(x) = có nghiệm ngun nghiệm ước a0 +) Định lý Bezut: Nếu Pn(x) = có nghiệm x = a Pn(x) = (x - a) H(x) bậc (n - 1) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  x  Lời giải Ta nhận thấy nghiệm f(x) có x 1, 2 4 Chỉ có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhận tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – Cách 1: x3  x   x  x    x  x    x    x    x  x   Cách 2: x3  x  x   x 4  x     x    x    x  x   Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x  x  b x  x  x  Lời giải a Ta có ước là: 1; 2; 4 Nhận thấy x = -2 nghiệm đa thức đa thức có nhân tử là: x – (-2) = x +  x3  x  x  ( x  2) ( x  x  2)    0 3 2 Hoặc: ( x  8)  ( x  4) ( x  2)( x  x  2) b Nhận thấy x = -1 nghiệm đa thức nên có nhân tử là: x + ( x  x )  (4 x  x)  (4 x  4) ( x  1)( x  2) *) Chú ý: + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x  x  d x  x  x  10 b x  x  x  c x  19 x  30 e x  x  x  x  Lời giải a Ta có: + = nên đa thức có nhân tử x + x  x  ( x  1)(6 x  5) b Ta có tổng hệ số tổng chẵn tổng lẻ nên có nhân tử x2 -1 x  x  x  ( x  1)  ( x3  x ) ( x  1)( x  1)( x  x  1) x  x  x  ( x  x )  ( x  1) ( x  1)( x  1)( x  x  1) c Ta có x = -3 nghiệm nên có nhân tử x + x3  19 x  30 x  3x  x  x  10 x  30 ( x  3)( x  x  10) ( x  3)( x  2)( x  5) d Ta có: x = -1 nghiệm đa thức nên có nhân tử là: x + x3  x  x  10 x3  x  x  x  10 x  10 ( x 1)( x  2)( x  5) e Ta có tổng chẵn tổng lẻ nên có nhân tử: x + 1, sau lại tổng chẵn tổng lẻ x  x3  x  x  ( x  1)( x  1)( x  3)(2 x  1) Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x  11x  Lời giải Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên -1, -2, -3, nên ta phân tích : x3  x  11x   x  1  x    x   Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: a  4a  29a  24 Lời giải Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm 1,3 -8, nên có chứa nhân tử (a - 1), (a - 3) (a + 8), Ta có: a  4a  29a  24  a  a    5a  5a     24a  24  a  a  1  5a  a  1  24  a  1  a  1  a  5a  24  =  a  1  a  3  a  8 Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x  x  Lời giải Nhận xét : Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử là: x + Như ta có : x  x  x   x  x    x  x    x    x  1  x   Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a  a  37 a  8a 12 Lời giải Nhẩm thấy đa thức có nghiệm x = 2, hay có nhân tử là: x - Ta có: 6a  a3  37 a  8a  12 (6a  12a )  (19 a  38a )   a  2a    6a  12  6a  a    19a  a    a  a     a    a    6a  19a  a   Bài 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x  13x  12 x  =  a    a  3  2a  1  3a   Lời giải Thấy tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có nghiệm -1 Ta có: = x  x3  13 x  12 x   x  x    x3  x    x  x    x   x  x  1  x  x  1  8x  x  1   x  1  x  1  x  x  x   2 =  x 1  x   *) Trường hợp đặc biệt: Đa thức nghiệm nguyên n n Xét đa thức Pn ( x) a n x  an  x   a1x  a0 (an a0  Z , n 1) +) Nếu Pn(x) = có nghiệm p x  [(p;q)=1]  q a n q  a0 p Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a 3x  x  17 x  b x  15x  43x  22 x  40 c x  x  19 x  31x  30 Lời giải a Các ước là: 1; 5 Nhận thấy đa thức khơng có nghiệm ngun, ta tìm nghiệm hữu tỷ đa thức x  p  U ( 5) p  q q  U (3) ta thấy nghiệm đa thức x 1 x nên có nhân tử hay 3x -1 3 2 Vậy: 3x  x 17 x  3x  x  x  x 15 x  (3x  1)( x  x  5) b Ta thấy đa thức có nhân tử là: x  3x  x  15 x3  43x  22 x  40 (3 x  2)(3 x3  x  19 x  20) 2 Lại có nhân tử là: 3x +  (3x  2)(3x  x  19 x  20) (3x  2)(3 x  4)( x  x  5) 2 c x  x 19 x  31x  30 (2 x  3)(3 x  2)( x  x  5) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  x  3x  x  Lời giải Nhận xét: Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử là: x – 1, chia đa thức cho x – ta được: x Vì  x5  x  3x  x   x  1  x  x  x  x    x3  x  x   khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ nên khơng phân tích Vậy x5  x  3x  x   x  1  x  x  x  x   Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  2017 x  2016 x  2017 Lời giải Cách 1: x  2017 x  2016 x  2017  x  x  1   2016 x  2016 x  2016   x  x  1  x  x  2017  Cách 2: x  2017 x  2016 x  2017  x  x    2017 x  2017 x  2017   x  x  1  x  x  2017  Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  x  2017.2018 Lời giải 2 Ta có: x  x  2017.2018  x  2017 x  2018 x  2017.2018  x  2017   x  2018  Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x  x  x  Lời giải Nhận thấy đa thức bậc không dùng máy tính Và đa thức khơng có hai nghiệm -1 Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: Nên ta làm sau: 6   1    x  x3  x  x  x  x  x     x  x    x     x x  x x     Đặt x 1 t  x  t  x x x  t   6t    x  t  6t    x  t  3 Đa thức trở thành : 2  x   3x    2 x  x    x2   ( x  x  1) x   Thay t trở lại ta :  x  Vậy x  x3  x  x   x  x  1 Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x  11x  Lời giải Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên -1, -2, -3, nên ta phân tích : x3  x  11x   x  1  x    x   x  1  x  3  x    x    15 Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử:  Lời giải Với dạng này, ta việc lấy số nhỏ nhân với số lớn nhất, để tạo số hạng giống x  1  x    x  3  x    15  x  x    x  x  15   15 :  Đặt x  x t   t    t  15   15 t  22t  105  15 t  22t  120  t  10   t  12   x  x  10   x  x  12  = x  x  10   x    x   Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x  x  17 x  Lời giải Bấm máy tính cho ta có nghiệm x , nên có nhân tử : (3x - 1) 3 2 nên ta có : 3x  x 17 x  3x  x  x  x 15 x   x  x  1  x  x  1   x  1  x  1  x  x   Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x  x  Lời giải Bấm máy tính cho ta có nghiệm x , nên có nhân tử : (2x - 1) 3 2 Nên ta có : x  x  x  2 x  x  x  x  x   x  x  1  x  x  1   x  1  x  1  x  x   Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x  14 x  x  Lời giải Bấm máy tính cho ta nghiệm : x 1 nên có nhân tử : (3x + 1) 3 2 Ta có : 3x  14 x  x  3x  x  15 x  x  x  x  x  1  x  3x  1   3x  1  3x  1  x  x   Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x  x  Lời giải Bấm máy tính cho ta nghiệm : x= -1 x= -2 Như ta có : x  x  x   x  1  x   Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1997 x  1996 x 1997 Lời giải Ta có: x  x  1   1996 x 1996 x  1996   x  x  1  x  x  1  1996  x  x  1  x  x  1  x  x  1997  Bài 24: Phân tích thành nhân tử: x  2004 x  2003x  2004 Lời giải  x  2004 x  2004 x  x  2004  x  x  2004 x  x       x x   2004 x  x   x  x  1 x  x   2004 x  x      x  x  x  x  2004         Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x  2001.2002 Lời giải Ta có: x  x  2001 2001  1 x  x  20012  2001  x  20012    x  2001  x  2011  x  2011   x  2011  x  2011  x  2012  Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: 6a  a  37 a  8a 12 Lời giải Nhẩm thấy đa thức có nghiệm x=2, hay có nhân tuer x - Ta có : 6a  a  37 a  8a  12 (6a  12a )  (19 a  38a )   a  2a    6a  12  6a  a    19a  a    a  a     a    a    6a  19a  a   a    a  3  2a  1  3a   = Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử: x  x  13x  12 x  Lời giải Thấy tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có nghiệm -1 Ta có : = x  x3  13 x  12 x   x  x    x  x    x  x    x   x  x  1  x  x  1  8x  x  1   x  1  x  1  x  x  x   =  x 1  x   Đối với đa thức nhiều biến Tương tự phân tích đa thức dạng: ax  bx  c Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 10