Chuyên đề 5 phân tích đa thức thành nhân

Chuyên đề PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC A Kiến thức cần nhớ Chúng ta biết ba phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử phối hợp ba phương pháp Tuy nhiên có đa thức đơn giản, biết dùng ba phương pháp thơi khơng thể phân tích thành nhân tử Do chuyên đề xét thêm số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Phương pháp thêm bớt hạng tử Phương pháp đổi biến Phương pháp đồng hệ số Phương pháp xét giá trị riêng biến B Một số ví dụ Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f  x  2 x  3x  Giải Cách 1: Tách hạng tử thứ hai:  x  x  x Ta có: f  x   x  x    x  1 2 x  x  1   x  1  x  1  x  1 Cách 2: Tách hạng tử thứ hạng tử thứ hai: 2x x  x Ta có: f  x   x  x  1   x  x   x  1  x  x  1  x  1   x  1  x   x  1  x  1 Nhận xét Để phân tích tam thức bậc hai f  x  ax  bx  c nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b1 x  b2 x cho b1b2 ac b1  b2 b Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f  x   x  x  Giải Tìm cách giải Ta kiểm tra với x 1; x 2; x 4 , ta thấy f   0 Đa thức f  x  có nghiệm x 2 , phân tích thành nhân tử, f  x  chứa nhân tử x  Trình bày lời giải 3 2 Ta có: f  x  x  x   x  x    x  x    x   x2  x    x  x     x    x    x  x   n n Nhận xét Nếu đa thức f  x  an x  an  x   a1 x  a0 có nghiệm nguyên x x0 x0 ước hệ số tự a0 phân tích f  x  nhân tử f  x  có chứa nhân tử x  x0 Vì đa thức biến bậc cao, ta nên nhẩm lấy nghiệm để định hướng việc phân tích thành nhân tử Phương pháp thêm bớt hạng tử Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  324 Giải x  324  x  36 x  324  36 x 2  x  18    x   x  18  x   x  18  x  Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  x  Giải x  x   x  x  x3  x3   x  x  x  1   x  1  x  x  1  x  x  1  x  x  1 Nhận xét Với kỹ thuật phân tích thành nhân tử được: x 3k 2  x n 1  Phương pháp đổi biến Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa đa thức có bậc thấp để thuận tiện cho việc phân tích thành nhân tử, sau phân tích thành nhân tử đa thức mới, thay trở lại biến cũ để đa thức với biến cũ Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f  x  x  x    x    x  10   128 Giải 2 Ta có: f  x   x  10 x   x  10 x  24   128 Đặt x  10 x  12  y , đa thức trở thành: f  y   y  12   y  12  128  y  16  y    y   2 Suy ra: f  x   x  10 x    x  10 x  16   x    x    x  10 x   Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:  x  1  x    x  3  x    15 Giải Tìm cách giải Bài tốn có dạng  x  a   x  b   x  c   x  d   m với a  d b  c Ta đặt y  x  a   x  d  y  x  b   x  c  y x   a  d  x Khi ta phân tích với đa thức biến y Trình bày lời giải 2 Ta có:  x  1  x    x    x  3  15  x  x    x  x    15 Đặt y x  x  Khi đa thức có dạng: y  y    15  y  y  15  y    y  3 2 Từ suy ra:  x  1  x    x  3  x    15  x  x    x  x  1 Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A  3x    x    x  1  x  10   24 x Giải Tìm cách giải Nếu khai triển ngoặc tốn trở lên phức tạp dẫn đển sai lầm Quan sát kĩ đề nhận thấy hệ số bốn ngoặc có đặc điểm: 3.3 1.9      1 10 , nghĩ đển việc nhóm hai ngoặc lại đặt biến phụ nhằm đưa tốn đơn giản Trình bày lời giải Ta có: A  3x    x    x  1  x  10   24 x  x  x  10   x  x  10   24 x Đặt y 9 x  x  10 Đa thức có dạng: A  y  y  10 x   24 x  y  10 xy  24 y  y  xy  xy  24 y  y  x   y  x  2 Từ suy ra: A  x  3x  10   x  x  10  Nhận xét Cách giải dùng cho đa thức có dạng: P  x   a1 x  b1   a2 x  b2   a3 x  b3   a4 x  b4   mx a1a2 a3a4 ; b1 b2 b3b4 Ví dụ 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B 2 x  x3  x  x  Giải Tìm cách giải Những tốn có dạng: ax  bx  cx  kax  k 2b với k 1 k  Ta đặt y x  k , biến đổi biểu thức dạng ax  bxy  my Trình bày lời giải Đặt y x   y x  x  Biến đổi biểu thức, ta có: B 2  x  x  1  x3  x  x 2  x  1  x  x  1  x Từ đó, biểu thức có dạng: B 2 y  xy  x 2 y  xy  xy  x  y  x   y  x  2 Từ suy ra: B  x  x  1  x  x   Phương pháp đồng hệ số Ví dụ 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f  x  x  x  12 x  14 x  Giải Tìm cách giải Các số 1; 3 nghiệm đa thức f  x  nên f  x  khơng có nghiệm ngun, f  x  khơng có nghiệm hữu tỷ Như f  x  phân tích thành nhân tử phải có dạng: x  ax  b   x  cx  d  , với a, b, c, d   Khai triển dạng ra, ta đa thức: x   a  c  x   ac  b  d  x   ad  bc  x  bd Đồng đa thức  a  c   ac  b  d 12  f x   với ta hệ điều kiện:   ad  bc  14 bd 3 Xét bd 3 , với b, d  , b   1; 3  a  c   Với b 3 d 1 , hệ điều kiện trở thành:  ac 8  a  3c  14  2 Từ tìm được: a  2; c  Vậy f  x   x  x  3  x  x  1 Trình bày lời giải f  x  x  x  12 x  14 x   x  x  x    x  x  x    3x  12 x    x  x  x  1  x  x  x  1   x  x  1  x  x  1  x  x  3 Phương pháp xét giá trị riêng biến 2 Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P  x  y  z   y  z  x   z  x  y  Giải Nhận xét Nếu thay x y P 0 , nên P chia hết cho x  y Hon thay x y, y z, z x P khơng thay đổi (ta nói đa thức P có dạng hốn vị vịng quanh) Do đó: P chia hết cho x  y P chia hết cho y  z , z  x Từ đó: P a  x  y   y  z   z  x  ; a số, khơng chứa biến P có bậc tập hợp biến, cịn tích  x  y   y  z   z  x  có bậc tập hợp biến 2 Ta có: P  x  y  z   y  z  x   z  x  y  a  x  y   y  z   z  x  (*) với x, y , z   nên ta chọn giá trị riêng cho x, y, z để tìm số a xong Chú ý Các giá trị x, y, z ta chọn tùy ý, cần chúng đôi khác để tránh P 0 Chẳng hạn, chọn x 2; y 1; z 0 thay vào đắng thức (*),ta tìm a  2 Vậy: P  x  y  z   y  z  x   z  x  y    x  y   y  z   z  x   x  y   y  z   x  z  Ví dụ 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 Q a  b  c  a   b  c  a  b   c  a  b  c    a  b  c   b  c  a   c  a  b  Giải Nhận xét Với a 0 Q 0 , a nhân tử Q Do vai trị bình đẳng a, b, c nên b c nhân tử Q, mà Q có bậc tập hợp biến nên Q k abc Chọn a b c 1 k 4 Vậy Q 4abc C Bài tập vận dụng Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử 5.1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x  x  ; b) x  x  ; c) 3x  x  ; Hướng dẫn giải – đáp số a) x  x  4 x  x    x  1   x     x     x    x  1 b) x  x  2 x  x  x   x  x  1   x  1  x  1  x  3 c) 3x  x  3x  x  x   x  x  1   x  1  3x  1  x   5.2 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x  x  ; b) x  x  ; c) x  x  x  ; Hướng dẫn giải – đáp số a) x  x   x   x   x  1  x  x  1   x  1  x  1  x  x     x  1  x  x  3 b) x  x   x   x   x  1  x  x  1   x  1  x  1  x  x     x  1  x  x    x  1  x  x  x    x  1  x    x  3 c) x  x  x  x  x  x  x  x   x  1  x  x    x  1  x   5.3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 a) P  x  x     x   ; b) Q 6 x  15 x  20 x  15 x  x  ; c) C x  x  28 x  36 x  16 ; Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: P  x  x     x   x  x   x3  x  x  x  x  x  x3  x  8x  x  x3  x  x  x   x  x  x     x  x    x  x    x   b) Ta có: Q 6 x  15 x  20 x3  15 x  x   x5  x    12 x  x    14 x3  x    x  x    x  1  x  1  3x  x3  x  x  1  x  1  3x  x  x  3x  3x  3x  x  x  1  x  1  x  x  1  x  x  1 3 2 c) C  x  x  x    x  20 x  16 x    x  20 x  16   x  x    x  x    x  1  x    x   5.4 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) A 10 x  27 x3 y  110 x y  27 xy  10 y ; b) B  x5  x  3x  3x  x  c) C bc  a  d   b  c   ac  b  d   c  a   ab  c  d   a  b  Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 2 a) A 10 x  20 x y  10 y  27 xy  x  y   130 x y 10  x  y   27 xy  x  y   130 x y 2 10  x  y   25 xy  x  y   52 xy  x  y   130 x y 5  x  y   x  y  xy   26 xy  x  y  xy   x  y  xy  y   x  xy  25 xy  y   x  xy  xy  y   x  xy  25 xy  y   x  y   x  y   x  y   x  y  b) B  x5  x  3x  3x  x   x5  x  x  x3  x3  x  5x  x  x   x  1  x  x3  x  x  1  x  1  x  x  x  3x  x  x  x  x  1   x  1 x  x  x  1  3x  x  x  1   x  x  1  x  1  x  1 x   x  1 c) C bc  a  d   b  c   ac  b  d   c  b  b  a   ab  c  d   a  b  bc  a  d   b  c   ac  b  d   b  c   ac  b  d   a  b   ab  c  d   a  b  c  b  c   ab  bd  ab  ad   a  a  b   bc  cd  bc  bd  c  b  c   bd  ad   a  a  b   cd  bd  cd  b  c   b  a   ad  b  a   b  c  d  b  c   b  a   c  a  5.5 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 a) x  x  y   x  z   x  y  z   y z ; b)  x  x  1   x  x  1 c) x  y  x y  x  y d) x  x y  x y  xy  y Hướng dẫn giải – đáp số 2 a) x  x  xy  xz  yz   x  y  z   y z 4x  x  x  y  z   yz   x  y  z   y z 2 4 x  x  y  z   xyz  x  y  z   y z 2  x  x  y  z   yz    x  xy  xz  yz  b)  x  x   x    x  x  1 2 3   x  1  x    x  x  1   3  x  x  1  x  x  1   x  x  1  x  x  1  x  x   x  x  1  x  x  1  x  x   2  x  x  1  x  1 4 2 2 4 2 2 c) x  y  x y  x  y  x  y    y  x y    x  y   x  y   x  y   y  x  y    x  y   x  y   x  y  1 d) x  x y  y  x3 y  xy  x y 2 2  x  y   xy  x  y   x y 2 2  x  y   xy  x  y   xy  x  y   x y 2  x  y   x  y  xy   xy  x  y  xy   x  y  xy   x  y  xy  5.6 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 2 2 a) M 3 xyz  x  y  z   y  x  z   z  x  y  b) x8 y  x y  c) N x y  xy  x z  xz  y z  yz  xyz Hướng dẫn giải – đáp số a) M 3xyz  xy  xz  yx  yz  zx  zy  xyz  xy  yz    xyz  xz  zx    xyz  yz  zy   xy  z  y  x   xz  y  z  x   yz  x  z  y   x  y  z   xy  xz  yz  b) x8 y  x y   x y  1  x y  x y  x y  1  x y  x y  1  x y  x y  1   x y  1  x y     x y  x y  1  x y  xy  1  x y  xy  1 2 2 2 c) N  x y  xy    x z  xz  xyz    y z  yz  xyz   xy  x  y   xz  x  z  y   yz  y  z  x   xy  x  y   z  x  y  z   x  y   x  y   xy  z  x  y  z    x  y   xy  xz  yz  z   x  y   y  z   z  x  5.7 Cho đa thức P  x  2 x  x  x  13x  a) Phân tích P(x) thành nhân tử b) Chứng minh P(x) chia hết cho với số nguyên x Hướng dẫn giải – đáp số 3 2 a) P  x  2 x  x  x  x  x  x  x  2 x3  x  1  x  x  1  x  x  1   x  1  x  1  x3  x  x    x  1  x3  x  x  10 x  x    x  1  x    x  x    x  1  x   ,  x  x  x    x  1  x    x  3  x  1 b) Với x số nguyên x  3; x  hai số nguyên lên tiếp nên  x  3  x   2  P  x  2 Với x 3  x  33  P  x  3 Với x3 dư x  13  P  x  3 Với x3 dư x  23  P  x  3 Với x số ngun Vì ƯCLN  2;3 1 nên P  x  6 5.8 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x3  x  x  2 b) a  b  c   b  c  a   c  a  b   a  b  c  4abc c)  x  x  1  12 x  36 x  39 ; d) a  b  c  2a 2b  2b2 c  2a 2c Hướng dẫn giải – đáp số a) x3  x  x  2 x3  x  x  x  x   x  1  x  x  3 2 b) a  b  c   b  c  a   c  a  b   a  b  c  4abc ab  2abc  ac  bc  2abc  ba  ca  2abc  cb  a  b3  c  4abc ab  ac  bc  a 2b  a c  b2 c  a  b3  c  2abc   a3  a 2b  a c    2a 2b  2ab2  2abc     ab  b3  b2c    ac  bc  c3   a  a  b  c   2ab  a  b  c   b  a  b  c   c  a  b  c   a  b  c    a  2ab  b  c   a  b  c   c   a  b    a  b  c   b  c  a   c  a  b    c)  x  x  1  12 x  36 x  39  x  3x  1  12  x  3x  1  27  x  3x   3  x  3x     x  3x    x  3x  10   x  1  x    x    x   d) a  2a 2b  b  c  2b2 c  4a 2b 2  a  b   c  2c  a  b   4a 2b  a  b  c   4a 2b  a  b  c  2ab   a  b  c  2ab  2   a  b   c    a  b   c      a  b  c   a  b  c   a  b  c   a  b  c  Phương pháp thêm bớt hạng tử 5.9 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 2 2 a) a  b  c   b  c   b  a  c   c  b   c  a  b   a  b  ; b) ab  a  b   bc  b  c   ca  c  a  ; 2 2 2 c) a  b  c   b  a  c   c  a  b  ; 3 d) a  b  c   b  c  a   c  a  b  Hướng dẫn giải – đáp số 2 2 2 2 a) a  b  c   b  c   b  a  c   c  b  b  a   c  a  b   a  c  a  b  c   b2  c   b  a  c   b  c   b  a  c   a  b2   c  a  b   a  b   b  c   a  b  c   b  a  c     a  b   b  a  c   c  a  b    b  c   ac  bc    a  b   ab  ac  c  b  c   b  c   a  b   a  a  b   a  b   b  c   a  b   b  c   c  b  c   a  a  b    a  b   b  c   bc  c  a  ab   a  b   b  c   bc  c  a  ab   a  b   b  c    c  a   c  a   b  c  a    a  b   b  c   c  a   a  b  c  b) ab  a  b   bc  b  a  a  c   ca  c  a  ab  a  b   bc  a  b   bc  c  a   ca  c  a  b  a  b   a  c   c  a  c   b  a  b  a  b   a  c   a  a  c   a  b   a  b   a  c   b  c  2 2 2 2 c) a  b  c   b  b  c  a  b   c  a  b  a  b  c   b  b  c   b  a  b   c  a  b   b  c   a  b    a  b   b  c   b  c   b  c   a  b    a  b   a  b   b  c   b  c   a  b   b  c  a  b   b  c   a  b   c  a  3 d) a  b  c   b  c  b  b  a   c  a  b  a  b  c   b3  b  c   b3  a  b   c3  a  b   b  c   a  b3    a  b   b3  c   b  c   a  b   a  ab  b    a  b   b  c   b  bc  c   b  c   a  b   a  ab  b  b  bc  c   b  c   a  b    a  c   a  c   b  a  c    b  c   a  b   a  c   a  b  c  5.10 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 a)  a  b    b  c    c  a  3 b)  x  y  z   x  y  z ; Hướng dẫn giải – đáp số 3 a)  a  b    b  c    a  c  3 3  a  b    b  c     a  b    b  c   3 2  a  b    b  c    a  b    a  b   b  c    a  b   b  c    b  c    a  b   b  c   a  b  b  c  3  a  b   b  c   c  a  b)  x  y    x  y  z   x  y  z  z  x  y  z  x  y  3xy  x  y    x  y  z   x  y  z  x  y 3  x  y   xy  xz  yz  z  3  x  y   x  z   y  z  5.11 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x  x  ; b) x8  x  ; c) x8  x  ; d) x  x  ; Hướng dẫn giải – đáp số 7 a) x  x  x  x  x  x  x  1   x  x  1  x  x  1  x  1  x  x  1   x  x  1  x  x  1  x  x  1  x  1  1  x  x  1  x  x  x  x  1 b) x8  x   x8  x  x   x  x  1   x  x  1  x  x  1  x  1  x  x  1   x  x  1  x  x  1  x  x  1  x  1  1  x  x  1  x  x  x3  x  1 c) x8  x   x8  x  x  x   x  x  x  1   x3  1  x  1  x  x  x  1   x  1  x  1  x  x  1   x  x  1 x   x  1  x  1   x  x  1  x  x  x3  x  1 d) x  x   x  x   x  x  1  x  x  1  x  x  1   x  x  1  x  x  1  x  x  1 Phương pháp đổi biến 5.12 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) M  x  1  12 x  1  x    x  1  ; b) N  x    x  3  x    12 ; Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: M  x  1  12 x  1  x    x  1   12 x  11x    12 x  11x  1  Đặt 12 x  11x   y , đa thức có dạng: M  y  3 y   y  y   y  y  y   y  1  y   2 Từ suy M  12 x  11x    12 x  11x  3 b) Ta có N  x  3  x    x    12  x  x    x  x    12 Đặt x  x   y , đa thức có dạng: N  y  1 y  12  y  y  12  y  y  y  12  y  3  y   2 Từ suy N  x  x    x  x  12  N  x  x  x    x  x  12   x  1  x    x  x  12  5.13 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 a) A  48 x  x  1  x  x    ; 2 b) B 4  x  11x  30   x  22 x  120   23 x Hướng dẫn giải – đáp số 2 a) Ta có: A  48 x  12 x  x  1  3x  3x  x     x  1  12 x  1  3x    x  1  Đến đây, giải giống 5.12a 2 b) B  x  44 x  120   x  22 x  120   23x Đặt x  44 x  120  y , suy ra: B  y  11x   y  11x   23 x B  y  121x  23 x  y  144 x  y  12 x   y  12 x  2 Từ suy B  x  11x  120   x  45 x  120  5.14 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) M   x    x 4  2; b) N  x  3   x  1  16 ; d) Q  x  x3  10 x  x  c) P  x  x3  x  x  ; Hướng dẫn giải – đáp số a) Đặt y 6  x , đa thức có dạng: 4 M   y    y  1  2 y  12 y  M 2 y  y   Từ suy ra: M 2   x  x  12 x  42  b) Đặt y x  , đa thức có dạng: 4 N  y  1   y  1  16 2 y  12 y  14 2  y  y   2  y    y  1 2  y    y  1  y  1 Từ suy ra: N 2  x  x  11  x  3  x  1 c) Đặt y x   y x  x  Biến đổi biểu thức, ta có: P  x  x  1  3x  3x  x  x  1  3x  x  1  x Từ đó, biểu thức có dạng: P  y  3xy  x  y  xy  xy  x  y  x   y  x  2 Từ suy ra: P  x  x  1  x  x  1 d) Đặt y x   y  x  x  Biến đổi biểu thức, ta có: Q  x  x    x  x  x  x    x  x  1  x Từ đó, biểu thức có dạng: Q  y  xy  x  y  xy  3xy  x  y  x   y  3x  2 Từ suy ra: Q  x  x    x  x   5.15 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 5 a) A  x  x    x    x  10   128 ; b)  x  y    y  z    z  x  c) P 2 x  3x3  x  x  ; d)  x  a   x  2a   x  3a   x  x   a Hướng dẫn giải – đáp số 2 a) Ta có: A  x  10 x   x  10 x  24   128 Đặt y x  10 x  12 , đa thức có dạng: A  y  12   y  12   128  y  144  128  y  16  y    y   2 Từ suy ra: A  x  10 x  16   x  10 x    x    x    x  10 x   b) Đặt x  y a; y  z b Đa thức có dạng: a  b5   a  b  a5  b5  a  5a 4b  10a3b  10a 2b3  5ab  b5  5ab  a  2a 2b  2ab  b3   5ab  a3  a 2b  a 2b  ab  ab  b3   5ab  a  b   a  ab  b  Từ suy 2  5 x  y  y  z    x  y   x  y   y  z    y  z     5  x  y   y  z   z  x   x  y  z  xy  xz  yz  c) P  x  x     3x  x   x 2  x  x    3x  x    x 2 2  x    x  x    x Đặt x  a , đa thức có dạng: P 2a  3ax  x 2a  2ax  ax  x  a  x   2a  x  Từ suy P  x   x   x   x   x  x  x    x  x    x  1  x    x  x   d)  x  a   x  4a   x  3a   x  2a   a  x  5ax  4a   x  5ax  6a   a Đặt x  5ax  5a  y đa thức có dạng  y  a   y a  a 2  y  a4  a4 y2 Từ suy ra:  x  5ax  5a  5.16 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 3 a) M  a  b  c    a  b  c    b  c  a    c  a  b  3 b) N  a  b    c  a    b  c  c) P  x  y  z   x  y  27 z Hướng dẫn giải – đáp số a) Đặt a  b  c  x; b  c  a  y; c  a  b z Đa thức có dạng: M  x  y  z   x  y  z 3 M  x  y    x  y  z   x  y  z  z  x  y  z  x3  y  3xy  x  y    x  y  z   x  y  z  x  y 3  x  y   xy  xz  yz  z  3  x  y   x  z   y  z   M 3.2c.2a.2b 24abc b) Đặt a  b  x; c  a  y  b2  c x  y Đa thức có dạng: N x  y   x  y   x  y  x  y  3xy  x  y   3xy  x  y   N   a  b   c  a   b  c  2 2 2 hay N 3  a  b   a  c   b  c  c) Đặt x a;  y b;3z c Đa thức có dạng: P  a  b  c   a  b3  c 3  a  b   b  c   c  a   P 3  x  y   z  y   x  z  5.17 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) A 2 x  x3 y  3x y  xy  y b) B  x  18   x    x  35   x  90   67 x c) C  x    10 x    x    x  1 17 Hướng dẫn giải – đáp số a) A 2 x  x y  y  xy ( x  y )  x y 2 2  x  y   xy  x  y   x y Đặt x  y a; xy b đa thức có dạng: A 2a  ab  b 2a  2ab  ab  b  a  b   2a  b   A  x  y  xy   x  y  xy  b) B  x  18   x  35   x    x  90   67 x  x  17 x  630   x  83 x  630   67 x Đặt x  50 x  630  y Đa thức có dạng: B  y  33x   y  33x   67 x  y  1089 x  67 x  y  1156 x  y  34   y  34   B  x  50 x  630  34 x   x  50 x  630  34 x  B  x  84 x  630   x  16 x  630  c) C  x    x    10 x    x  1 17  20 x  18 x  14   20 x  18 x    17 Đặt 20 x  18 x   y Đa thức có dạng: C  y    y    17  y  81  17  y  64  y    y    B  20 x  18 x     20 x  18 x     B  20 x  18 x  13  20 x  18 x   Phương pháp đồng hệ số 5.18 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) Q  x  x  x  12 b) R  x  x3  x  x  12 c) S  x  x  63 d) F x  xy  y  x  14 y  Hướng dẫn giải – đáp số a) Q  x  x  x  12 Các số 1; 3, 4; 6; 12 nghiệm đa thức R nên R khơng có nghiệm ngun, R khơng có nghiệm hữu tỷ Như R phân tích thành nhân tử phải có dạng: x  ax  b   x  cx  d  , với a, b, c, d   Khai triển dạng ra, ta đa thức: x   a  c  x   ac  b  d  x   ad  bc  x  bd Đồng đa thức với f  x  ta hệ điều kiện:  a  c 0  ac  b  d      ad  bc  bd 12 a  b    c 1  d  2 Ta có: Q  x  x    x  x  3 b) Các số 1; 3, 4; 6; 12 nghiệm đa thức R nên R khơng có nghiệm ngun, R khơng có nghiệm hữu tỷ Như R phân tích thành nhân tử phải có dạng: x  ax  b   x  cx  d  , với a, b, c, d   Khai triển dạng ra, ta đa thức: x   a  c  x   ac  b  d  x   ad  bc  x  bd Đồng đa thức với f  x  ta hệ điều kiện:  a  c 1  ac  b  d 1    ad  bc   bd 12 a  b 3   c 3 d 4 2 Vậy: R  x  x  3  x  3x   c) Các số 1; 3, 7; 9; 21; 63 nghiệm đa thức S nên S khơng có nghiệm ngun, S khơng có nghiệm hữu tỷ Như S phân tích thành nhân tử phải có dạng: x  ax  b   x  cx  d  , với a, b, c, d   Khai triển dạng ra, ta đa thức: x   a  c  x   ac  b  d  x   ad  bc  x  bd Đồng đa thức với f  x  ta hệ điều kiện:  a  c 0  ac  b  d 0     ad  bc  bd 63  a  b 7   c 4  d 9 2 Ta có: S  x  x    x  x   d) Ta có: F x  xy  y  x  14 y  ( x  y )( x  y )  x  14 y  Giả sử: F  x  y   x  y   x  14 y   x  y  a   x  y  b  với x, y  a  x  y   b  x  y   ab 2 x  14 y  với x, y a  b 2  a    4b  2a 14   b 3 ab   F  x  y  1  x  y  3 Phương pháp xét giá trị riêng biến 5.19 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) A  x  y  z   x  y  z 3 b) B  x  y  z   y  z  x   z  x  y  c) C  b  c   a  b   a  c    c  a   b  c   b  a    a  b   c  a   c  b   8abc Hướng dẫn giải – đáp số a) Sử dụng phương pháp xét giá trị riêng, ta nhận đa thức có nhân tử x  y, y  z, z  x Do phân tích ta định hướng có nhân tử A  x  y  z   x  y  z 5  x  y    x  y  z 10  x  y  z 10  x  y  z   x  y  z  z  z  y  z  x  y    x  y  z  10  x  y  z  10  x  y  z   x  y  z   x  y   x4  x y  x y  xy  y   x  y  [(x+y)  5( x  y )3 z  10( x  y ) z  10( x  y ) z  z  x  x y  x y  xy  y ]  x  y  [x  x3 y  x y  xy  y   x  y  z  10  x  y  z  10  x  y  z  z  x  x3 y  x y  xy  y ]  x  y   x y  x y  5xy   x  y  z  10  x  y  z  10  x  y  z  z    5  x  y  [x3 y  x y  xy  x z  3x yz  3xy z  y z  x z  xyz  y z  xz  yz  z ] 5  x  y  [  x3 y  x3 z    x y  x yz    x yz  x z    xy z  xy z    xy z  xyz    xyz 2  xz    y z  y z    y z  yz    yz  z  5  x  y   y  z   x  x y  x z  xy  xyz  xz  y z  yz  z  5  x  y   y  z    x  x z    x z  xz  z    x y  xyz  yz    xy  y z   5  x  y   y  z   x  z   x  y  z  xy  yz  zx  b) Nhận xét Với x  y B 0 , x  y nhân tử B Do vai trị bình đẳng x, y, z nên y  z z  x nhân tử B, mà B có bậc tập hợp biến nên B k  x  y   y  z   z  x   x  y  z  Chọn x 0, y 1, z 2 k 1 Vậy B  x  y   y  z   z  x   x  y  z  c) Nhận xét Với a  b c 0 , a  b nhân tử C Do vai trị bình đẳng a, b, c nên b  c c  a lằ nhân tử C, mà C có bậc tập hợp biến nên C k  a  b   b  c   c  a  Chọn a b c 1 k 1 Vậy C  a  b   b  c   c  a 