S6 chuyên đề 2 chủ đề 3 so sánh lũy thừa bằng phương pháp gián tiếp

CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 3: SO SÁNH LŨY THỪA BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN n -Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a a.a a ( n thừa số a với n  N ) -Qui ước: a 1(a 0) -Các phép tính luỹ thừa: m n m n - Nhân hai luỹ thưa số: a a a m n m n - Chia hai luỹ thừa số : a : a a (a 0; m n) n n n - Luỹ thừa tích: (a.b) a b n n n - Luỹ thừa thương: (a : b ) a : b (b 0) m n m.n - Luỹ thừa luỹ thừa: (a ) a n m (m - Luỹ thừa tầng: a a n ) - Luỹ thừa với số mũ nguyên âm: a n  (a 0) an CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH HAI LŨY THỪA So sánh trực tiếp: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa so sánh hai luỹ thừa số số mũ - Nếu hai luỹ thừa số ( lớn 1) luỹ thừa có số mũ lớn lớn am  an , a   m  n - Nếu hai luỹ thừa số mũ (lớn 0) lũy thừa có số lớn lớn Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN a n  bn , n   a  b So sánh gián tiếp: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu phép nhân A  B, B  C  A  C A.C  B.C , C   A  B PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: So sánh hai lũy thừa I Phương pháp giải - Để so sánh hai lũy thừa A B ta tìm lũy thừa M cho A  M  B AM B Trong A M ; M B so sánh trực tiếp - Để so sánh lũy thừa A B ta tìm hai lũy thừa M N cho A  M  N  B A  M  N  B Trong A M ; M B ; M N so sánh trực tiếp II Bài toán Bài 1: So sánh số sau: a) 199 20 15 2003 39 21 b) 11 Lời giải: 20 20 20 3 20 60 40 a)Ta có: 199  200 (8.25) (2 )20 (2 ) 2 200315  200015 (16.125)15 (24.53 )15 (2 4.53 )15 260.545 60 45 60 40 15 20 Vì   200  199 15 20 Vậy 200  199 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 39 40 10 10 b)  (3 ) 81 1121  1120 (112 )10 12110 10 10 21 39 Do 121  81  11  21 39 Vậy 11  Bài 2: So sánh số sau: 230  330  430 3.2410 Lời giải: Ta có: 430  22  30  2.2  30 10 15 10 230.230  23   2   810.315  810.310.3  8.3  2410.3 30 30 30 10 Vậy    3.24 Bài 3: So sánh số sau: 151 225 a) b) 1990 20 15 2003 36 91 c) Lời giải 225 75 75 75 75 150 151 a) Ta có (2 ) 8  (3 ) 3  225 151 Vậy  b) Ta có: 19920  20020 (8.25) 20 (23.52 )20 (23.52 ) 20 260.540 200315  200015 (16.125)15 (24.53 )15 (24.53 )15 260.545 60 45 60 40 15 20 Vì   2003  199 15 20 Vậy 2003  199 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 91 90 18 18 18 36 c) Ta có:  (2 ) 32  25 5 91 36 Vậy  Bài 4: So sánh số sau: 20 10 30 a) 99 11 42 93 b) 961 100.23 Lời giải: a) Ta có 9920 [(99) ]10 980110  (223 )10 2230 ; 2230 (2.11)30 230.1130 810.1130  910.1130 20 10 30 Vậy 99  11 b) Ta có: 96142  100042 10126 100.10124 100.2393 100.(233 )31  100.(104 )31 100.10124  96142  100.2393 42 93 Vậy 961  100.23 Bài 5: So sánh số sau: a) 107 50 75 73 75 50 b) 37 71 Lời giải: a) Ta có 10750  10850 (4.27) 50 2100.3150 7375  72 75 (8.9) 75 2 225.3150 100 150 225 150 50 75 Vì   107  73 50 75 Vậy 107  73 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN b) Ta có: 7150  7250  8.9  3775  3675  4.9  Vì 75 50 2150.3100  1 2150.3150   2150.3150  2150.3100   75 50 Từ (1), (2), (3)  37  71 75 50 Vậy 37  71 27 63 28 Bài 6: Chứng tỏ rằng:   Lời giải: 9 263  27  1289 527  53  1259  263  527  1 Ta có: ; 263  27  1289 528  54  6257  263  528   ; 27 63 28 Từ (1) (2) suy    Bài 7: So sánh số sau: 20 10 a) 50 2550 10 b) 999 999999 Lời giải: 10 5020   50   250010  255010  5020  255010   a) Ta có: 99910   999    9980015  9999995  99910  9999995   b) Ta có: 56789 1234 Bài 8: So sánh : A 1234 B 56789 Lời giải: 56789  100050000 10150000 ; B 567891234  1000002000 1010000 Ta có: A 1234 10000 Vì: 10  10150000  567891234  123456789 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Bài 9: So sánh số sau: a) 17 20 b) 199 15 31 20 100 24 11 14 c) 31 17 Lời giải: a) Ta có: 17 20  1620 280  275 (25 )15 3215  3115 20 20 20 20 20 20 24 b) 199  200 2 100  (2 ) 100  10 100  100 11 11 55 14 56 11 14 c) 31  32 2 ;17  16 2  31  17 Bài 10: So sánh số sau: 1979 a) 11 b) 107 1321 37 50 75 51 201 119 c) Lời giải: a) Ta có: 111979  111980 (113 ) 660 1331660 ;371321  371320 (37 ) 660 1369660  1331660 111979 50 50 50 25 50 25 50 75 75 b) Ta có: 107  150 (3.50) 9 50  50 50 50  51 201 200 40 40 119 120 40 40 201 119 c) Ta có:  (3 ) 243 ;6  (6 ) 216   Bài 11: So sánh số sau: 1995 863 a)  1999 714 b)  Lời giải: 1995 1990 863 860 Ta có: 2 ;5 5 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 860 1990 Nhận xét: 32  125 nên cần so sánh 10 10 1720 172 860 Ta có: 1024;5 3025     1990 1720 270 1720 270 1720 172 Lại có 2 , cần so sánh 2 với số sau: 24 172 11 11 270 37 2187; 211 2048  37  211 ;         2 1720 270 1720 172 860 1990 860 Do 2     5 1995 863 Mà    b) Ta có: 210 1025  10 10 238 238 238 2380 238 714  256   3.7     ;  35  28       7 343 3 243 Mà: 3238 33 3235 33  35  47  33  28  47  25.2376 2381  3238  2381  22380  3238 7714  22380  2381 714  21999  714 Bài 12: So sánh hiệu sau 7245  7244 7244  72 43 Lời giải: Ta có 45 44 44 44 + 72  72 72 (72  1) 72 71 44 43 43 43 + 72  72 72 (72  1) 72 71 44 43 45 44 44 43 Vì 72 71  72 71 nên 72  72 < 72  72 Bài 13: So sánh b) 199010  19909 199110 10750 37 75 c) 3339 1121 a) Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Lời giải: 10 9 9 10 a) 1990  1990 1990 (1990  1) 1991.1990  1991.1991 1991 10 10 Vậy 1990  1990  1991 b) Ta có 50 50 50 100 150 +) 107  108 (4.27) 2 3 75 75 75 150 150 +) 37  36 (4.9) 2 3 150 150 100 150 Vì 3  75 50 Do 37  107 c) Ta có: 10 +) 339  340  34  8110 +) 1121  1120  112  12110 10 10 10 21 39 Vì 121  81  11  Bài 14: So sánh 20 10 a 99 9999 b 3.4 303 202 c 202 303 10 d 10 48.50 Lời giải: 10 a Ta thấy : 992  99.101 9999   992   999910 20 10 hay 99  9999 15 14 14 7 b Ta có: 2 2.2  3.2 3.4   3.4 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN c Ta có: 202303 (2.101)3.101  23.1013  303202 (3.101)2.101  32.1012  101 101  8.101.1012   9.1012  101 10 10 10 10 d Ta có :10 2 5 2 2 5 48.505  3.24   25 510  3.29 510  **  Từ  *  * *  1010  48.505 27 63 28 Bài 15: Chứng tỏ rằng:   Lời giải Ta có : 263  27  1289 527  53  1259  263  527 Lại có : 263  29  5127 528  54  6257  263  528 (2) 27 63 Từ (1) (2)    Bài 16: So sánh 1979 a 11 b 107 50 1321 37 75 51 201 119 c Lời giải: 111979  111980  113  a 660 1331660 371321  371320  37  660 1369660  1331660 111979 Trang 101 (808.101)101 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 50 50 50 25 50 25 50 75 75 b 107  150 (3.50) 9 50  50 50 50  51 c 3201  3200  35  40 24340 ;6119  6120  63  40 21640  3201  6119 1995 863 Bài 17: Chứng minh :  Lời giải 10 10 1720 172 860 Có 1024,5 3025  3   3  10 11 Có 2187; 1024   24 3172  37  34   211  24   211  26 2270  21720 2270  21720 3172  5560 1990 560 1995 863 Vậy     Bài 18: Gọi m số số có chữ số mà cách ghi khơng có chữ số Hãy so sánh m với 10.9 Lời giải: Có cách chọn chữ số hàng trăm triệu Có cách chọn chữ số hàng chục triệu  m 9.9.9.9.9.9.9.9.9 99 8 Mà 9.9  10.9 Vậy: m  10.9 Dạng 2: So sánh hai biểu thức chứa lũy thừa I Phương pháp giải - Phương pháp so sánh phần bù: * Với a, n, m, k  N Ta có: Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 1016   1017   Vì AB C b) Ta có 16  17 10  10   1 16 10  1 17 10 1  10 A  10 B hay 22008  1  22008   2008  22008   1  C   2007  2008 1  2008   2008 2007 1 2   1  2 2 2 22007  1  22007   22007  2007   1 D  2006  D   2006  2007 1  2007   2007 1 2   1  2 2 2 Vì 22008   22007   2008 2  2007 2  1 2008 2 1 2007 2  1 C  D C D 2 Bài 2: So sánh: a) A 20082008  20082007  B  20082009  20082008  100100  100101  C D  10099  100100  b) Lời giải: a)  A 20082008  20082008   2007 20082008  2008    A   20082009  20082009   2007 20082009  2008 2008  20082007  1 2008  20082008  1 B Vậy A  B b) Ta có : 100 100101  100101   99 100101 100 100  100  1 D  100   D    C 100  100100   99 100100 100 100  10099  1 Vậy C  D Bài 3: So sánh: 1315  1316  A  16 B  17 13  13  a) Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 19991999  19992000  A B 19991998  19991999  b) Lời giải: a) 15 1316  1316   12 1316  13 13  13  1 B  17   B  17   A 13  13   12 1317  13 13  1316  1 Vậy A  B 1999 19992000  19992000   1998 19992000  1999 1999  1999  1 B   B    19991999  19991999   1998 19991999  1999 1999  19991998  1 b) =A Vậy A  B Bài 4: So sánh: 100100  10098  A B  97 10099  100  a) 1011  1010  A  12 B  11 10  10  b) Lời giải: a) 98 100100  100100   9999 100100  102 100  100  1 A   A    B 10099  10099   9999 10099  10 1002  10097  1 Vậy A  B b) 10 1011  1011   11 1011  10 10  10  1 A  12   A  12   B 10  10   11 1012  10 10  1011  1 Vậy A  B Bài 5: So sánh: 107  108  A B 10  10  a) Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 108  108 A B 10  10  b) Lời giải: 107  107   13 13 A  1  7 10  10  10  a) 108  108   13 13 B  1  8 10  10  10  13 13 13 13     1  A B 10  10  Mà: 10  10  Vậy A  B 108  108   3 A  1  8 10  10  10  b) 108 108   3 B  1  8 10  10  10  3 3   1  1  A B 10  10  Mà: 10  10  Vậy A  B Bài 6: So sánh: 1920  1921  A  20 B  21 19  19  a) 1002009  1002010  A  2008 B  2009 100  100  b) Lời giải: 1920  1920   13 13 A  20  1  20 20 19  19  19  a) 1921  1921   13 13 B  21  1  21 21 19  19  19  , Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 13 13 13 13  21   20   21  A B 20 19  19  Mà: 19  19  Vậy A  B b) 2009 1002010  1002010 1  99 100  100  1 B  2009   B   A 100  1002009 1  99 100  1002008  1 Vậy A  B Bài 7: So sánh: 1015  1016  A  16 B  17 10  10  a) 102004  102005  A  2005 B  2006 10  10  b) Lời giải: a) 15 1016  1016   10  10  1 B  17   B  17  A 10  10   10  1016  1 Vậy: A  B b) 2004 102005  102005   10  10  1 B  2006   B  2006  A 10  10   10  102005  1 Vậy A  B Bài 8: So sánh: 101992  101993  A  1991 B  1992 10  10  a) 1010  1010  A  10 B  10 10  10  b) Lời giải: Trang 15 , CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN a) 1992 101993  101993   10  10  1 B  1992   B  1992  A 10  10   10  101991  1 Vậy B  A 1010  1010   2 A  10  1  10 10 10  10  10  b) 1010  1010   2 B  10  1  10 10 10  10  10  , 10  10 Mà: 10  10   1 10 10  1 10 10   A B Vậy A  B Bài 9: So sánh: 1020  1021  A  21 B  22 10  10  a) 152016  152017  A  2017 B  2018 15  15  b) Lời giải: a) 21 1021  1021   54 10 21  60 10  10   B  22   B  22   A 10  10   54 1022  60 10  1021   Vậy A  B b) 2016 152017  152017   74 152017  75 15  15   B  2018   B  2018   A 15  15   74 152018  75 15  152017   Vậy A  B Bài 10: So sánh: 1020  1021  A  21 B  22 10  10  a) Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 2021  2022  A  22 B  23 20  20  28 b) Lời giải: a) 20 1021  1021   26 1021  30 10  10  3 B  22   B  22   A 10  10   26 1022  30 10  1021  3 Vậy A  B b) 21 2022  2022   52 2022  60 20  20  3 B  23   B  23   A 20  28 20  28  52 2023  80 20  2022   Vậy A  B 100100  10069  A B  10099  Và 10068  Bài 11: So sánh: Lời giải: Quy đồng mẫu ta có:  100 A  100 100  1  10068  1  100 B  1  100 , 69  1  10099  1 99  1  10068 68  1  10099  1 Xét hiệu  100 A B  100  1  10068  1   10069  1  10099  1  100 99  1  10068  1 100100  10099  10069  10068 A B   10099 1  10068 1 100.10099  10099  100.10068  10068 A B   10099 1  10068 1 A B  99  10099  10068   100 99  1  10068  1 0 Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Vậy A  B Bài 12: So sánh: a) A 218  220  B  220  222  1523  1522  A  22 B  21 15  138 15  b) Lời giải: a) Chú ý trường hợp ta trừ tử mẫu với số ta đảo chiều bất đẳng thức 18 220  220   220  12   3 B  22   B  22   A 3   222  12 22  220  3 Vậy B  A b) 22 1523  1523   63 1523  60 15  15   A  22   A  22   B 15  138 15  138  63 1522  75 15  1521   Vậy A  B 1014  1014  A  15 B  15 10  11 10  Bài 13: So sánh: Lời giải: Ta có 1015  10  10  11  1 10 A  15  1  15 15 10  11 10  11 10  11 +) 15 15 1015  10  10    1 10 B  15  1  15 15 10  10  10  +) 1  15  10 A  10 B Vì 10  11 10  15 Vậy A  B Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN PHẦN III BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG Bài 1: ( Lương Tài 2017 – 2018 ) So sánh A B biết 1718  1717  A  19 ; B= 18 17  17  Lời giải: Cách 1: Ta có 1719  17 16 17 A  19 1  19 17  17  +) 1718  17 16 17 B  18 1  18 17  17  +) 16 16  18  17 A  17 B 19 Vì 17  10  Vậy A  B Cách 2: 1718  1718   16 1717  A   A  19   B 17  1719   16 1718  Vì Vậy A  B Bài 2: So sánh A B biết 102014  2016 102015  2016 A  2015 B  2016 10  2016 10  2016 Lời giải: Cách 1: Ta có Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 102015  2016  9.2016 9.2016 10 A  1  2015 2015 10  2016 10  2016 +) 102016  2016  9.2016 9.2016 10 B  1  2016 2016 10  2016 10  2016 +) 9.2016 9.2016  2016  10 A  10 B Vì 10  2016 10  2016 2015 Vậy A  B Cách 2:  10 B 1 B   10 Vì 2015  2016   9.2016 102014  2016  A 2015 2016  2016   9.2016 10  2016 Vậy A  B Bài 3: ( Hoài Nhơn 2015 – 2016 ) So sánh M N biết 1930  1931  M  31 N  32 19  19  Lời giải: Cách 1: Ta có 1931   18.5 18.5 19 M  1  31 31 19  19  +) 1932   18.5 18.5 19 N  1  32 32 19  19  +) 18.5 18.5  32  19M  19 N 31 Vì 19  19  Vậy M  N Cách 2: Trang 20