CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 2-LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 3: SO SÁNH LŨY THỪA BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIÁN TIẾP PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN n -Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a a.a a ( n thừa số a với n N ) -Qui ước: a 1(a 0) -Các phép tính luỹ thừa: m n m n - Nhân hai luỹ thưa số: a a a m n m n - Chia hai luỹ thừa số : a : a a (a 0; m n) n n n - Luỹ thừa tích: (a.b) a b n n n - Luỹ thừa thương: (a : b ) a : b (b 0) m n m.n - Luỹ thừa luỹ thừa: (a ) a n m (m - Luỹ thừa tầng: a a n ) - Luỹ thừa với số mũ nguyên âm: a n (a 0) an CÁC PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH HAI LŨY THỪA So sánh trực tiếp: Để so sánh hai luỹ thừa ta thường đưa so sánh hai luỹ thừa số số mũ - Nếu hai luỹ thừa số ( lớn 1) luỹ thừa có số mũ lớn lớn am an , a m n - Nếu hai luỹ thừa số mũ (lớn 0) lũy thừa có số lớn lớn Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN a n bn , n a b So sánh gián tiếp: Dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu phép nhân A B, B C A C A.C B.C , C A B PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: So sánh hai lũy thừa I Phương pháp giải - Để so sánh hai lũy thừa A B ta tìm lũy thừa M cho A M B AM B Trong A M ; M B so sánh trực tiếp - Để so sánh lũy thừa A B ta tìm hai lũy thừa M N cho A M N B A M N B Trong A M ; M B ; M N so sánh trực tiếp II Bài toán Bài 1: So sánh số sau: a) 199 20 15 2003 39 21 b) 11 Lời giải: 20 20 20 3 20 60 40 a)Ta có: 199 200 (8.25) (2 )20 (2 ) 2 200315 200015 (16.125)15 (24.53 )15 (2 4.53 )15 260.545 60 45 60 40 15 20 Vì 200 199 15 20 Vậy 200 199 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 39 40 10 10 b) (3 ) 81 1121 1120 (112 )10 12110 10 10 21 39 Do 121 81 11 21 39 Vậy 11 Bài 2: So sánh số sau: 230 330 430 3.2410 Lời giải: Ta có: 430 22 30 2.2 30 10 15 10 230.230 23 2 810.315 810.310.3 8.3 2410.3 30 30 30 10 Vậy 3.24 Bài 3: So sánh số sau: 151 225 a) b) 1990 20 15 2003 36 91 c) Lời giải 225 75 75 75 75 150 151 a) Ta có (2 ) 8 (3 ) 3 225 151 Vậy b) Ta có: 19920 20020 (8.25) 20 (23.52 )20 (23.52 ) 20 260.540 200315 200015 (16.125)15 (24.53 )15 (24.53 )15 260.545 60 45 60 40 15 20 Vì 2003 199 15 20 Vậy 2003 199 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 91 90 18 18 18 36 c) Ta có: (2 ) 32 25 5 91 36 Vậy Bài 4: So sánh số sau: 20 10 30 a) 99 11 42 93 b) 961 100.23 Lời giải: a) Ta có 9920 [(99) ]10 980110 (223 )10 2230 ; 2230 (2.11)30 230.1130 810.1130 910.1130 20 10 30 Vậy 99 11 b) Ta có: 96142 100042 10126 100.10124 100.2393 100.(233 )31 100.(104 )31 100.10124 96142 100.2393 42 93 Vậy 961 100.23 Bài 5: So sánh số sau: a) 107 50 75 73 75 50 b) 37 71 Lời giải: a) Ta có 10750 10850 (4.27) 50 2100.3150 7375 72 75 (8.9) 75 2 225.3150 100 150 225 150 50 75 Vì 107 73 50 75 Vậy 107 73 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN b) Ta có: 7150 7250 8.9 3775 3675 4.9 Vì 75 50 2150.3100 1 2150.3150 2150.3150 2150.3100 75 50 Từ (1), (2), (3) 37 71 75 50 Vậy 37 71 27 63 28 Bài 6: Chứng tỏ rằng: Lời giải: 9 263 27 1289 527 53 1259 263 527 1 Ta có: ; 263 27 1289 528 54 6257 263 528 ; 27 63 28 Từ (1) (2) suy Bài 7: So sánh số sau: 20 10 a) 50 2550 10 b) 999 999999 Lời giải: 10 5020 50 250010 255010 5020 255010 a) Ta có: 99910 999 9980015 9999995 99910 9999995 b) Ta có: 56789 1234 Bài 8: So sánh : A 1234 B 56789 Lời giải: 56789 100050000 10150000 ; B 567891234 1000002000 1010000 Ta có: A 1234 10000 Vì: 10 10150000 567891234 123456789 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Bài 9: So sánh số sau: a) 17 20 b) 199 15 31 20 100 24 11 14 c) 31 17 Lời giải: a) Ta có: 17 20 1620 280 275 (25 )15 3215 3115 20 20 20 20 20 20 24 b) 199 200 2 100 (2 ) 100 10 100 100 11 11 55 14 56 11 14 c) 31 32 2 ;17 16 2 31 17 Bài 10: So sánh số sau: 1979 a) 11 b) 107 1321 37 50 75 51 201 119 c) Lời giải: a) Ta có: 111979 111980 (113 ) 660 1331660 ;371321 371320 (37 ) 660 1369660 1331660 111979 50 50 50 25 50 25 50 75 75 b) Ta có: 107 150 (3.50) 9 50 50 50 50 51 201 200 40 40 119 120 40 40 201 119 c) Ta có: (3 ) 243 ;6 (6 ) 216 Bài 11: So sánh số sau: 1995 863 a) 1999 714 b) Lời giải: 1995 1990 863 860 Ta có: 2 ;5 5 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 860 1990 Nhận xét: 32 125 nên cần so sánh 10 10 1720 172 860 Ta có: 1024;5 3025 1990 1720 270 1720 270 1720 172 Lại có 2 , cần so sánh 2 với số sau: 24 172 11 11 270 37 2187; 211 2048 37 211 ; 2 1720 270 1720 172 860 1990 860 Do 2 5 1995 863 Mà b) Ta có: 210 1025 10 10 238 238 238 2380 238 714 256 3.7 ; 35 28 7 343 3 243 Mà: 3238 33 3235 33 35 47 33 28 47 25.2376 2381 3238 2381 22380 3238 7714 22380 2381 714 21999 714 Bài 12: So sánh hiệu sau 7245 7244 7244 72 43 Lời giải: Ta có 45 44 44 44 + 72 72 72 (72 1) 72 71 44 43 43 43 + 72 72 72 (72 1) 72 71 44 43 45 44 44 43 Vì 72 71 72 71 nên 72 72 < 72 72 Bài 13: So sánh b) 199010 19909 199110 10750 37 75 c) 3339 1121 a) Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Lời giải: 10 9 9 10 a) 1990 1990 1990 (1990 1) 1991.1990 1991.1991 1991 10 10 Vậy 1990 1990 1991 b) Ta có 50 50 50 100 150 +) 107 108 (4.27) 2 3 75 75 75 150 150 +) 37 36 (4.9) 2 3 150 150 100 150 Vì 3 75 50 Do 37 107 c) Ta có: 10 +) 339 340 34 8110 +) 1121 1120 112 12110 10 10 10 21 39 Vì 121 81 11 Bài 14: So sánh 20 10 a 99 9999 b 3.4 303 202 c 202 303 10 d 10 48.50 Lời giải: 10 a Ta thấy : 992 99.101 9999 992 999910 20 10 hay 99 9999 15 14 14 7 b Ta có: 2 2.2 3.2 3.4 3.4 Trang CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN c Ta có: 202303 (2.101)3.101 23.1013 303202 (3.101)2.101 32.1012 101 101 8.101.1012 9.1012 101 10 10 10 10 d Ta có :10 2 5 2 2 5 48.505 3.24 25 510 3.29 510 ** Từ * * * 1010 48.505 27 63 28 Bài 15: Chứng tỏ rằng: Lời giải Ta có : 263 27 1289 527 53 1259 263 527 Lại có : 263 29 5127 528 54 6257 263 528 (2) 27 63 Từ (1) (2) Bài 16: So sánh 1979 a 11 b 107 50 1321 37 75 51 201 119 c Lời giải: 111979 111980 113 a 660 1331660 371321 371320 37 660 1369660 1331660 111979 Trang 101 (808.101)101 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 50 50 50 25 50 25 50 75 75 b 107 150 (3.50) 9 50 50 50 50 51 c 3201 3200 35 40 24340 ;6119 6120 63 40 21640 3201 6119 1995 863 Bài 17: Chứng minh : Lời giải 10 10 1720 172 860 Có 1024,5 3025 3 3 10 11 Có 2187; 1024 24 3172 37 34 211 24 211 26 2270 21720 2270 21720 3172 5560 1990 560 1995 863 Vậy Bài 18: Gọi m số số có chữ số mà cách ghi khơng có chữ số Hãy so sánh m với 10.9 Lời giải: Có cách chọn chữ số hàng trăm triệu Có cách chọn chữ số hàng chục triệu m 9.9.9.9.9.9.9.9.9 99 8 Mà 9.9 10.9 Vậy: m 10.9 Dạng 2: So sánh hai biểu thức chứa lũy thừa I Phương pháp giải - Phương pháp so sánh phần bù: * Với a, n, m, k N Ta có: Trang 10 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 1016 1017 Vì AB C b) Ta có 16 17 10 10 1 16 10 1 17 10 1 10 A 10 B hay 22008 1 22008 2008 22008 1 C 2007 2008 1 2008 2008 2007 1 2 1 2 2 2 22007 1 22007 22007 2007 1 D 2006 D 2006 2007 1 2007 2007 1 2 1 2 2 2 Vì 22008 22007 2008 2 2007 2 1 2008 2 1 2007 2 1 C D C D 2 Bài 2: So sánh: a) A 20082008 20082007 B 20082009 20082008 100100 100101 C D 10099 100100 b) Lời giải: a) A 20082008 20082008 2007 20082008 2008 A 20082009 20082009 2007 20082009 2008 2008 20082007 1 2008 20082008 1 B Vậy A B b) Ta có : 100 100101 100101 99 100101 100 100 100 1 D 100 D C 100 100100 99 100100 100 100 10099 1 Vậy C D Bài 3: So sánh: 1315 1316 A 16 B 17 13 13 a) Trang 12 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 19991999 19992000 A B 19991998 19991999 b) Lời giải: a) 15 1316 1316 12 1316 13 13 13 1 B 17 B 17 A 13 13 12 1317 13 13 1316 1 Vậy A B 1999 19992000 19992000 1998 19992000 1999 1999 1999 1 B B 19991999 19991999 1998 19991999 1999 1999 19991998 1 b) =A Vậy A B Bài 4: So sánh: 100100 10098 A B 97 10099 100 a) 1011 1010 A 12 B 11 10 10 b) Lời giải: a) 98 100100 100100 9999 100100 102 100 100 1 A A B 10099 10099 9999 10099 10 1002 10097 1 Vậy A B b) 10 1011 1011 11 1011 10 10 10 1 A 12 A 12 B 10 10 11 1012 10 10 1011 1 Vậy A B Bài 5: So sánh: 107 108 A B 10 10 a) Trang 13 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 108 108 A B 10 10 b) Lời giải: 107 107 13 13 A 1 7 10 10 10 a) 108 108 13 13 B 1 8 10 10 10 13 13 13 13 1 A B 10 10 Mà: 10 10 Vậy A B 108 108 3 A 1 8 10 10 10 b) 108 108 3 B 1 8 10 10 10 3 3 1 1 A B 10 10 Mà: 10 10 Vậy A B Bài 6: So sánh: 1920 1921 A 20 B 21 19 19 a) 1002009 1002010 A 2008 B 2009 100 100 b) Lời giải: 1920 1920 13 13 A 20 1 20 20 19 19 19 a) 1921 1921 13 13 B 21 1 21 21 19 19 19 , Trang 14 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 13 13 13 13 21 20 21 A B 20 19 19 Mà: 19 19 Vậy A B b) 2009 1002010 1002010 1 99 100 100 1 B 2009 B A 100 1002009 1 99 100 1002008 1 Vậy A B Bài 7: So sánh: 1015 1016 A 16 B 17 10 10 a) 102004 102005 A 2005 B 2006 10 10 b) Lời giải: a) 15 1016 1016 10 10 1 B 17 B 17 A 10 10 10 1016 1 Vậy: A B b) 2004 102005 102005 10 10 1 B 2006 B 2006 A 10 10 10 102005 1 Vậy A B Bài 8: So sánh: 101992 101993 A 1991 B 1992 10 10 a) 1010 1010 A 10 B 10 10 10 b) Lời giải: Trang 15 , CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN a) 1992 101993 101993 10 10 1 B 1992 B 1992 A 10 10 10 101991 1 Vậy B A 1010 1010 2 A 10 1 10 10 10 10 10 b) 1010 1010 2 B 10 1 10 10 10 10 10 , 10 10 Mà: 10 10 1 10 10 1 10 10 A B Vậy A B Bài 9: So sánh: 1020 1021 A 21 B 22 10 10 a) 152016 152017 A 2017 B 2018 15 15 b) Lời giải: a) 21 1021 1021 54 10 21 60 10 10 B 22 B 22 A 10 10 54 1022 60 10 1021 Vậy A B b) 2016 152017 152017 74 152017 75 15 15 B 2018 B 2018 A 15 15 74 152018 75 15 152017 Vậy A B Bài 10: So sánh: 1020 1021 A 21 B 22 10 10 a) Trang 16 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 2021 2022 A 22 B 23 20 20 28 b) Lời giải: a) 20 1021 1021 26 1021 30 10 10 3 B 22 B 22 A 10 10 26 1022 30 10 1021 3 Vậy A B b) 21 2022 2022 52 2022 60 20 20 3 B 23 B 23 A 20 28 20 28 52 2023 80 20 2022 Vậy A B 100100 10069 A B 10099 Và 10068 Bài 11: So sánh: Lời giải: Quy đồng mẫu ta có: 100 A 100 100 1 10068 1 100 B 1 100 , 69 1 10099 1 99 1 10068 68 1 10099 1 Xét hiệu 100 A B 100 1 10068 1 10069 1 10099 1 100 99 1 10068 1 100100 10099 10069 10068 A B 10099 1 10068 1 100.10099 10099 100.10068 10068 A B 10099 1 10068 1 A B 99 10099 10068 100 99 1 10068 1 0 Trang 17 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Vậy A B Bài 12: So sánh: a) A 218 220 B 220 222 1523 1522 A 22 B 21 15 138 15 b) Lời giải: a) Chú ý trường hợp ta trừ tử mẫu với số ta đảo chiều bất đẳng thức 18 220 220 220 12 3 B 22 B 22 A 3 222 12 22 220 3 Vậy B A b) 22 1523 1523 63 1523 60 15 15 A 22 A 22 B 15 138 15 138 63 1522 75 15 1521 Vậy A B 1014 1014 A 15 B 15 10 11 10 Bài 13: So sánh: Lời giải: Ta có 1015 10 10 11 1 10 A 15 1 15 15 10 11 10 11 10 11 +) 15 15 1015 10 10 1 10 B 15 1 15 15 10 10 10 +) 1 15 10 A 10 B Vì 10 11 10 15 Vậy A B Trang 18 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN PHẦN III BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG Bài 1: ( Lương Tài 2017 – 2018 ) So sánh A B biết 1718 1717 A 19 ; B= 18 17 17 Lời giải: Cách 1: Ta có 1719 17 16 17 A 19 1 19 17 17 +) 1718 17 16 17 B 18 1 18 17 17 +) 16 16 18 17 A 17 B 19 Vì 17 10 Vậy A B Cách 2: 1718 1718 16 1717 A A 19 B 17 1719 16 1718 Vì Vậy A B Bài 2: So sánh A B biết 102014 2016 102015 2016 A 2015 B 2016 10 2016 10 2016 Lời giải: Cách 1: Ta có Trang 19 CHUYÊN ĐỀ 2: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN 102015 2016 9.2016 9.2016 10 A 1 2015 2015 10 2016 10 2016 +) 102016 2016 9.2016 9.2016 10 B 1 2016 2016 10 2016 10 2016 +) 9.2016 9.2016 2016 10 A 10 B Vì 10 2016 10 2016 2015 Vậy A B Cách 2: 10 B 1 B 10 Vì 2015 2016 9.2016 102014 2016 A 2015 2016 2016 9.2016 10 2016 Vậy A B Bài 3: ( Hoài Nhơn 2015 – 2016 ) So sánh M N biết 1930 1931 M 31 N 32 19 19 Lời giải: Cách 1: Ta có 1931 18.5 18.5 19 M 1 31 31 19 19 +) 1932 18.5 18.5 19 N 1 32 32 19 19 +) 18.5 18.5 32 19M 19 N 31 Vì 19 19 Vậy M N Cách 2: Trang 20