S6 chuyên đề 2 chủ đề 6 tìm chữ số tận cùng

CHUYÊN ĐỀ - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 6: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Tìm chữ số tận Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận 0,1,5,6 nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi b) Các số có chữ số tận 4,9 nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận không thay đổi 4n ( n ẻ Ơ ) c) Cỏc s cú ch s tận 3,7,9 nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận 4n ( n Ỵ ¥ ) d) Các số có chữ số tận 2,4,8 nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận m Chú ý: Muốn tìm chữ số tận số tự nhiên x = a , trước hết ta xác định chữ số tận a : - Nếu chữ số tận a 0,1,5,6 x có chữ số tận 0,1,5,6 - Nếu chữ số tận a 3,7,9: Phân tích: am =a4n+r =a4n ar với r = 0, 1, 2, r Từ tính chất 1c Þ chữ số tận x chính chữ số tận a - Nếu chữ số tận a 2,4,8: trường hợp r Từ tính chất 1d Þ chữ số tận x chính chữ số tận 6a Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bc 4n +1 ( n ẻ Ơ ) thỡ ch số tận không thay đổi Chữ số tận tổng lũy thừa xác định cách tính tổng chữ số tận lũy thừa tổng Tính chất 3: a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc nâng lên lũy thừa bậc 4n + 4n + có chữ số tận 7; số có chữ số tận có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc nâng lên lũy thừa bậc 4n + 4n + có chữ số tận 8; số có chữ số tận có chữ số tận 4n + c) Các số có chữ số tận 0,1,4,5,6,9 nâng lên lũy thừa bậc không thay đổi chữ số tận Tớnh cht 4: Nu aẻ Ơ v ( a , 5) = a 100 - chia hết cho 125 Chứng minh: 20 40 60 80 20 Do a - chia hết cho 25 nên a , a , a , a chia cho 25 có số dư Þ a20 + a40 + a60 + a80 + chia hết cho Vậy a100 - = (a 20 ) (a 80 - ) + a60 + a40 + a20 + chia hết cho 125 k * Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận số A = n với n, k Ỵ N - Giả sử A =10q + r Khi đó, ( ) k A k = 10q +r =10t p +r k vi r ẻ Ơ; Ê r Ê k Suy ra, chữ số cuối A chính chữ số cuối số r - Nếu - Nếu - Nếu A =100a + bc =abc bc hai chữ số cuối A A =1000a +bcd = abcd bcd ba chữ số cuối A A =10m.am + am- a0 =am a1a0 am- a0 m chữ số cuối A Tìm hai chữ số tận Việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư phép chia x cho 100 n Phương pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên x = a : Trước hết, ta có nhận xét sau: 220 º 76 ( mod 100) 320 º 01 ( mod 100) 65 º 76 ( mod 100) 74 º 01 ( mod 100) Mà: 76n º 76 ( mod 100) 5n º 25 ( mod 100) với n ³ 1, với n ³ Suy kết sau với k Ỵ ¥* : a20k º 00 ( mod 100) a º ( mod 10) a20k º 01 ( mod 100) a º 1; 3; 7; ( mod 10) , , a20k º 25 ( mod 100) a º ( mod 10) a20k º 76 ( mod 100) a º 2; 4; 6; ( mod 100) , n Vậy để tìm hai chữ số tận a ta lấy số mũ n chia cho 20 Một số trường hợp cụ thể chữ số tận - Các số có tận 20 - Các số (hoặc 81 ); - Các số - Số 01; 25; 76 74; 512 ; 992 220; 65; 184; 242; 684; 742 26n ( n > 1) nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận 01; 25; 76 có tận 01 có tận 76 có tận 76 - Các số có chữ số tận 01;25;76 nâng lên lũy thừa bậc khác hai chữ số tận không thay đổi (1) - Các số - Các số 320;74;910;512;815;992 có chữ số tận 01 (2) 410;65;184;242;684;742 có chữ số tận 76 (3) n - Số 26 (n > 1) có chữ số tận 76 (4) m Như vậy, muốn tìm chữ số tận số tự nhiên x = a , trước hết ta xác định chữ số tận a CHÚ Ý: 10 - có chữ số tận 76 - có chữ số tận 25 20 - có chữ số tận 76 10 - có chữ số tận 01 Tìm ba chữ số tận trở lên Việc tìm ba chữ số tận số tự nhiên x việc tìm số dư phép chia x cho 1000 Giả sử n = 100k + r với £ r < 100, đó: Giả sử: Ta có: a º x ( mod 10) x Ỵ , a100 = ( 10k + x) 100 ( ) k an = a100k+r = a100 ar { 0, 1, 2, , 9} º x100 ( mod 1000) 100 100 Vậy chữ số tận a chính chữ số tận x Dùng quy nạp với n ³ 1, ta có: 625n º 625 ( mod 1000) , 376n º 376 ( mod 1000) x100 º 000 ( mod 1000) - Nếu x = 4 - Nếu x = x = = 625 - Nếu x = 1; 3; 7; ( ) Þ x100 = 54 25 ( º 625 mod 103 ta có tương ứng: 100 x4 = 1;81; 2401; 6561 º ( mod 40) Þ x = ( 40k + 1) - Nếu x = 2;4; 6;8 ) x100 M2100 M8 ( x , 125) = nên x Ta có: ( º mod 103 ) ( 100 25 ) º mod 125 (Định lí Euler) 100 Giả sử chữ số tận x abc ta có: x100 = 1000k + abc Þ abc M8 abc º ( mod 125) 1; 126; 376; 501; 626; 751; 876 Trong số chia hết cho 376 Vậy (các số có chữ số chia cho 125 dư 1) có số x100 º 376 ( mod 1000) Do ta có kết sau: ( ) ( ) ( ) a100k º 000 mod 103 a100k º 001 mod 103 a100k º 625 mod 103 ( a100k º 376 mod 103 ) ( ) a º mod 10 ( ) a º 1; 3; 7; mod 10 ( ) a º mod 10 ( ) a º 2; 4; 6; mod 10 n Vậy để tìm ba chữ số tận a ta tìm chữ số tận số mũ n Một số trường hợp cụ thể chữ số tận - Các số có tận 001; 376; 625 nâng lên luỹ thừa (khác ) tận - Các số có tận 0625 nâng lên luỹ thừa (khác ) tận 0625 PHẦN II CÁC DẠNG BÀI 001; 376; 625 Dạng 1: Tìm chữ số tận 324 Ví dụ 1.1: Tìm chữ số tận 187 Lời giải: Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa bậc số có tận Các số có tận nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận Do đó:  81   1 187324  (187 )81  .1 324 Vậy chữ số tận 187 Ví dụ 1.2: Tìm chữ số tận số sau: a )1567 b)10619 c)1567  10619 d )1567.10619 Phân tích: - Ta biết số có chữ số tận 0,1,5,6 nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi - Để tìm chữ số tận lũy thừa ta cần tìm chữ số tận hàng đơn vị Lời giải a) 156 có chữ số tận b) 1061 có chữ số tận c) Theo câu a) b)  Chữ số tận lũy thừa : 156  1061 7 d) Theo kết câu a) b)  Chữ số tận lũy thừa: 156 1061 2020 Ví dụ 1.3: Tìm chữ số tận Phân tích: Để tìm chữ số tận số ta phải đưa số có tận Lời giải Ta thấy = 625, số tận nâng lên bậc lũy thừa có chữ số tận nên ta 2020 4.505 = 625505 phân tích = 2020 Vậy số có chữ số tận Ví dụ 1.4: Tìm chữ số tận số sau: a ) 2006 b)8732 c) 91991 Lời giải a ) 2006 7 2004.7 7 4.501.7  1.49  2006 Vậy chữ số tận b)8732 87 4.7  32 Vậy chữ số tận 87 c )91991 91988.93 94.497.93   d ) 2335 e) 7430 f ) 4n  1991 Vậy chữ số tận d ) 2335 2332.233 234.8.233   35 Vậy chữ số tận 23 15 e) 7430  742  ( 6)15  30 Vậy chữ số tận 74 là: f ) 74 n     4n Vậy chữ số tận  Ví dụ 1.5: Tìm chữ số tận số sau: a ) 735  431 b) 24 n 1  c) 21930.91945 Lời giải 35 32 4.8 a) Ta có: 7 7  1.343  35 31 Vậy chữ số tận  n 1 24 n.2 (24 ) n 16n.2  b) Ta có:  24 n1     4 n1 Vậy chữ số tận  1930 21928.22 2 4.482.4  6.4  c) Ta có: 91945 91944.91 9 4.486.9  1.9   21930.91945   1930 1945 Vậy chữ số tận Ví dụ 1.6: Tìm chữ số tận phép toán sau: a )118  128  138  148 158 168 Lời giải a) Ta có: - có chữ số tận - có chữ số tận - có chữ số tận - có chữ số tận - có chữ số tận - có chữ số tận b)11123  13124  15125 c)125205  23715 Tổng chữ số bằng:      25 8 8 8 Vậy 11  12  13  14  15  16 có chữ số tận b) Ta có: 123 -1 có chữ số tận 124 - có chữ số tận 125 - có chữ số tận Tổng chữ số bằng:   7 123 Vậy 11  13124  15125 có chữ số tận c) Ta có: 205 - có chữ số tận 15 - có chữ số tận Tổng chữ số bằng:  2 Vậy 125 205  23715 có chữ số tận Ví dụ 1.7: Tìm chữ số tận tổng sau: S = 21  + 35  + 49  + ¼ + 20048009 Phân tích: Trong dạng ta phải tìm quy luật tổng, quy luật chính số mũ số hạng S, số mũ chia dư Mà ta biết số nâng lên lũy thừa dạng 4n + có tận khơng đổi Lời giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa S có số mũ chia cho dư 1(các lũy thừa có dạng n n thuộc 4( n – 2) + , { 2;3;4 ;2004} ) Theo tính chất, suy lũy thừa S số tương ứng có chữ số tận giống nhau, chữ số tận tổng: ( + +¼ + 9) + 199.( 1+ +¼ + 9) + 1+ + + = 200( 1+ +¼ + 9) + = 9009 Vậy chữ số tận tổng S Tổng quát hóa: 4( n- 2) +1 1  Tìm chữ số tận tổng sau: S = +  +  + ¼ + n 11 8011 Ví dụ 1.8: Tìm chữ số tận tổng T = + + + + 2004 Lời giải: 4(n- 2)+3 Nhận xét: Mọi lũy thừa T có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n ,n thuộc { 2;3;4 ;2004} ) 11 Theo quy tắc có chữ số tận ; có chữ số tận ; có chữ số tận ; Như vậy, tổng T có chữ số tận chữ số tận tổng: (8 + + + + + + + 9) + 199.(1 + + + + + + + + 9) + + + + = 200.(1 + + + + + + + + + + + = 9019 Vậy chữ số tận tổng T Tương tự hóa: Tìm chữ số tận 4( n- 2) +3 S = 23  + 37  + 411 + ¼ + n Dạng 2: Tìm hai chữ số tận Ví dụ 2.1: Tìm hai chữ số tận số: a ) 22003 b) 799 Lời giải: n 2003 a) Do số chẵn, ta tìm số tự nhiên n nhỏ cho  125 Ta có 210 1024  210  102525  220   210  1  210  1 25  23  220  1 100 Mặt khác:  22003 23  22000  1  23 23  220  100    23 100k   k  N  2003 Vậy hai chữ số tận 08 99 n b) Do số lẻ, ta tìm số tự nhiên n bé cho  1100 Ta có 2401  74  1100 Mặt khác : Vậy 99  ∶  99 4k  1 k  N  799 7 k  7  k  1  100 q   q  N  tận hai chữ số 07 1991 Ví dụ 2.2: Tìm hai chữ số tận Lời giải Ta thấy: = 2401, số có tận 01 nâng lên lũy thừa tận 01 Do đó: ( ) 71991 = 71988.73 = 74 497 ( ) 343 = 01 497 343 = ( 01.343 ) = 43 1991 Vậy có hai chữ số tận 43 100 Ví dụ 2.3: Tìm hai số tận Lời giải 10 Chú ý rằng: = 1024 bình phương số có tận 24 tận 76 , số có tận 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận 76 Do ( ) 2100 = 210 10 ( = 102410 = 10242 ) ( ) = 76 = 76 100 Vậy hai chữ số tận 76 Ví dụ 2.4: Tìm hai chữ số tận của: 99 99 b) 99 ; 51 a) 51 ; 666 c) ; 101 101 d) 14 16 Hướng dẫn: a) ( ) 5151 = 512 25 ( ( ) 99 b) c) d) ) 25 51 = K 01 51 = K 51 ( k ) ( k ) 9999 = 992k+1 = 992 99 = K 01 99 = K 99 ( ) 6666 = 65 133 ( ) = K 76 = K 56 14101.16101 = ( 14.16) ( ) = K 76 224 = K 24 101 ( = 224101 = 2242 ) 50 ( ) 50 224 = K 76 224 56 77 Ví dụ 2.5: Tìm chữ số tận 1976 2015 Lời giải Ta thấy: 56 56 56 Chữ số tận 1976 chữ số tận 76 mà 76 = 76 77 77 Chữ số tận 2015 chữ số tận 15 mà 1577 = ( 3.5) Suy ra: 77 ( )( ) ( )( ) = 377.577 = 320.3+17.577 = 317 01 25 = 63 25 = 75 ( )( ) 197656.201577 = 76 75 = 00 56 77 Vậy 1976 2015 có chữ số tận 00 999 Ví dụ 2.6: Tìm hai chữ số tận số C = Lời giải Ta có: 210 + = 1024 + = 1025M25 Ta lại có ( ) 21000 – = 220 50 – 1M220 – 1000 Do chữ số tận 1000 Suy suy suy ( )( ) 220 – = 210 + 210 – M25 21000 – 1M25 21000 M4 26;51;76 2999 M4 999 tận 76 Þ tận 38 88 999 Vậy tận 88 999 Vậy C = có hai chữ số tận 88 2020 Ví dụ 2.7: Tìm chữ số tận 51 Lời giải 2020 1010 1010 Ta có 2020 = 2.1010 nên 51 = (51 ) = 2601 2020 Khi theo quy tắc (1) chữ số tận 51 01 Ví dụ 2.8: Tìm chữ số tận 2015 a) 66 b) 57 Lời giải 2015 4.503+3 = (74)503.73 = 2401503.343 = ( 01).343 = 43 a) Ta có: = 2401 nên = 2015 Chữ số tận 43 66 16 16 b) Ta có 57 = (57 ) 57 = ( 01) 3249 = 49 66 Chữ số tận 57 49 Dạng 3: Tìm ba chữ số tận 2008 Ví dụ 3.1: Tìm ba chữ số tận Lời giải: 52008 =54.502=(54)502 54 có tận 625 502 5  Suy có tận 625 2008 Vậy có chữ số tận 625 100 Ví dụ 3.2: Tìm ba chữ số tận Lời giải 10 Ta có: 1024 024(mod1000) Vì ( 8,125) = , từ (1) (2) suy ra: 9100 - chia hết cho 1000 ( ) Þ 3399 98 = 9199 = 9100p+99 = 999 9100p - + 999 = 1000q + 999 ( p,q ẻ Ơ ) 399 98 99 Vậy ba chữ số tận chính ba chữ số tận 100 100 99 100 Lại - chia hết cho 1000 Þ ba chữ số tận 001 mà = : Þ ba chữ số tận 999 889 (dễ kiểm tra chữ số tận 999 9, sau dựa vào phép nhân ??9´ = 001 để xác định ??9 = 889 ) Vậy ba chữ số tận 3399 98 889 200 Ví dụ 3.11: Tìm ba chữ số tận 2004 Lời giải Do ( 2004,5) = 100  2004 chia cho 125 dư  ( 2004200 = 2004100 ) chia cho 125 dư 200  2004 tận 126,251,376,501,626,751,876 200 Do 2004 chia hết tận 376 8009 Ví dụ 3.12: Tìm ba chữ số tận tổng S = + + +¼ + 2004 Lời giải Nhận thấy: lũy thừa S có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n 4( k- 2) +1 , k thuộc { 2,3,¼,2004} ) Mọi lũy thừa S có chữ số tận chữ số tận số tương ứng:  Chữ số tận tổng S chữ số tận tổng: ( + +¼ + 9) + 199.( + 1+ +¼ + 9) + 1+ + + = 200( + +¼ + 9) + = 9009 Vậy ba chữ số tận 009 Dạng 4: Vận dụng chứng minh chia hết, chia có dư * Chú ý: a Dấu hiệu chia hết cho : Một số chia hết cho chữ số tận số số chẵn b Dấu hiệu chia hết cho (hoặc ): Một số chia hết cho (hoặc ) tổng chữ số số chia hết cho (hoặc ) Chú ý: Một số chia hết cho (hoặc ) dư tổng chữ số chia cho (hoặc ) dư nhiêu ngược lại c Dấu hiệu chia hết cho : Một số chia hết cho chữ số số có tận d Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 25 ): Một số chia hết cho (hoặc 25 ) hai chữ số tận số chia hết cho (hoặc 25 ) e Dấu hiệu chia hết cho (hoặc 125 ): Một số chia hết cho (hoặc 125 ) ba chữ số tận số chia hết cho (hoặc 125 ) f Dấu hiệu chia hết cho 11 : Một số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11 1999 1997 Ví dụ 4.1: Cho 999993  555557 Chứng minh A chia hết cho Lời giải: Để chứng minh A5 , ta xét chữ số tận A việc xét chữ số tận số hạng Ta có: 31999  34  499  81499 27 1999 Suy ra: có chữ số tận 71997   499 2041499 1997 Suy ra: có chữ số tận Vậy A có chữ số tận Do đó: A5 Ví dụ 4.2: Cho n  , chứng minh n  n 1 không chia hết cho không chia hết cho Lời giải: Ta có: n  n 1 n  n 1 1 n  n 1 n  n 1 1 tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho Suy số lẻ nên không chia hết cho n  n 1 n  n 1 1 tích hai số tự nhiên liên tiếp nên khơng có tận nên khơng có tận n  n 1 1 Do khơng chia hết cho Ví dụ 4.3: Chứng tỏ 10 2003  chia hết cho Lời giải: Ta có: 10 2003 Do đó: 10 Vậy 10 có chữ số tận 2003 2003  có chữ số tận  chia hết cho 2000 2000 Ví dụ 4.4: Chứng minh 2113  2011 chia hết cho Lời giải: 2000 2000 Để 2113  2011 vừa chia hết cho số phải có chữ số tận Suy ra: Cần chứng minh số bị trừ số trừ có chữ số tận n Chú ý: Số tự nhiên a có chữ số tận a có chữ số tận Ta có: 21132000  21134  500 500  2000 Suy ra: 2113 có chữ số tận 20112000 ln có chữ số tận 2000 2000 Suy ra: 2113  2011 có chữ số tận 2000 2000 Vậy: 2113  2011 chia hết cho Ví dụ 4.5: Cho số có chữ số: *26* Điền chữ số thích hợp vào dấu (*) để số có bốn chữ số khác chia hết cho tất bốn số: 2;3;5;9 Lời giải: Số *26* đảm bảo chia hết số số chẳn Số *26* chia hết số phải có chữ số tận số Số *26* vừa chia hết cho nên số phải có tổng chữ số chia hết cho Suy ra: Chữ số tận số *26* Do ta có số *260 ⇒ Chữ số đầu số Vậy: số cho 1260 1983 Ví dụ 4.6: Chứng tỏ hiệu 1983 Lời giải: Ta có: 19831983  19844  495 19833 Số 1983 có chữ số tận 495  1983  Suy có tận Số 1983 có tận  19171917 chia hết cho 10 1983 Do đó: 1983 có tận 1917 có tận Phân tích tương tự, 1917 1983 Do đó: 1983 1983 Vậy: 1983  19171917 có tận  19171917 chia hết cho 10 13 Ví dụ 4.7: Chứng tỏ rằng: 2007  2014  2013 chia hết cho 10 Lời giải: 5 Ta có: 7 2401.7 tận chữ số nên số 2007 tận chữ số 44 256 tận chữ số nên 20144 tận chữ số 313  34  813 13 tận chữ số nên số 2013 tận chữ số 13 Suy ra: 2007  2014  2013 tận chữ số 13 Vây: số 2007  2014  2013 chia hết cho 10 1994 Ví dụ 4.8: Tìm bốn chữ số tận viết hệ thập phân Lời giải: Cách 1: 625 Ta thấy số tận 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dương tận 0625 k Do đó: k   51994 54 k  25  54  25  0625  25 0625  5625 4 1994 Cách 2: Tìm số dư chia cho 10000 2 4k 54   52  1  52  1 Nhận xét:  chia hết chia hết cho 16 Ta có: 51994 56  51988  1  56 1988 Do chia hết cho  chia hết cho 16 (theo nhận xét trên) Nên: 56  51988  1 chia hết cho 10000 Tính 15625 1994 Vậy bốn chữ số tận 5625 Ví dụ 4.9: Chứng minh 3366  7755 – chia hết cho Lời giải: 66 55 Ta chứng minh 33  77 – có tận sau vận dụng dấu hiệu chia hết cho 66 66 66 33 2.16 66 55 Thật vậy, 33 có chữ số tận với 33 , mà 9 9.9 suy 33 có tận , 77 có 55 55 4.13 55 66 55 chữ số tận với 77 , 7 nên 77 có tận Do 33 , 77 có chữ số tận 66 55 , suy 33  77 – tận (đpcm) Dạng 5: Vận dụng chữ số tận vào tốn phương * Chú ý: - Số chính phương có chữ số tận là: 0;1; 4;5;6;9 - Khi phân tích thừa số nguyên tố, số chính phương chứa thừa số nguyên tố với lũy thừa chẵn - Số chính phương chia hết cho chia cho dư - Số chính phương chia hết cho chia cho dư - Số chính phương chia hết cho chia hết cho - Số chính phương chia hết cho chia hết cho - Số chính phương chia hết cho chia hết cho 25 - Số chính phương chia hết cho chia hết cho 16 - Số chính phương tận hoặc chữ số hàng chục số chẵn - Số chính phương tận chữ số hàng chục - Số chính phương tận chữ số hàng chục số lẻ - Số tự nhiên A số chính phương nếu: + A có chữ số tận 2;3; 7;8 + A có chữ số tận mà chữ số hàng chục chữ số chẵn + A có chữ số hàng đơn vị khác mà chữ số hàng chục lẻ + A có chữ số hàng đơn vị mà chữ số hàng chục khác + A có hai chữ số tận lẻ Ví dụ 5.1: Các số sau có phải số chính phương khơng? Vì sao? a) 10 2019 8 ; b) 1.2.3.4 2019  Lời giải: a) Ta có: 10 có chữ số tận 2019  có chữ số tận 2019  không số chính phương Suy ra: 10 Do đó: 10 2019 b) Ta có: 1.2.3.4 2019 có chữ số tận Suy ra: 1.2.3.4 2019  có chữ số tận Do đó: 1.2.3.4 2019  khơng số chính phương 2020 Ví dụ 5.2: Cho A 2     Chứng minh A  không số chính phương Lời giải: 2020 Ta có: A 2     2 A 23  24  25   2021 2021 Suy ra: A  A 2  2021 2021 Suy ra: A  2   2  24  505 16505 Ta có: 10 505 Suy ra: 16 505 có chữ số tận có chữ số tận Do đó: A  có chữ số tận Vậy A  số chính phương n Ví dụ 5.3: Cho a  n  không chia hết cho Chứng minh  số chính phương Lời giải: n 4k  r  r  0, 2,3  Do n  không chia hết n  7 k  r  7 r  k  1  r  Ta có  2400:10 Ta viết n r   r 0; 2;3 Vậy hai chữ số tận  chính hai chữ số tận nên 03;51; 45 Theo tính chất rõ ràng n  số chính phương n không chia hết cho 30 Ví dụ 5.4: Cho S 1      Tìm chữ số tận S, từ suy S số chính phương Lời giải: Tổng có 31 số hạng , nhóm số hạng từ trái sang phải, nhóm hạng, cịn thừa ba số hạng cuối 328  329  330 Trong nhóm, chữ số tận tổng 28 29 30 Vậy chữ số tận tổng S chữ số tận tổng   29 28 Ta có: 3  1.3  330 328 32   Tổng S có chữ số tận    Số chính phương khơng có tận Suy S số chính phương Ví dụ 5.5: Cho tổng S 1     2009  2011 a) Tính S b) Chứng tỏ S số chính phương Lời giải:  2011 1   2011   S 1     2009  2011  1 10062 1012036       a) Ta có: 2 b) S 2 503 1006 có chữ số tận nên S số chính phương Ví dụ 5.6: Tìm số chính phương có bốn chữ số, viết vởi chữ số 3;6;8;8 Lời giải: Gọi n số chính phương cần tìm Số chính phương không tận nên n phải tận Số tận 86 chia hết cho , khơng chia hết không số chính phương Vậy n phải tận 36 Suy số chính phương cần tìm là: 8836 94 BÀI TẬP Bài 1: Chứng tỏ 10 2003  chia hết cho Lời giải: Cách 1: 10 Do đó: 10 2003 Cách 2: 10 Vậy: 10 2003 2003 10.102002 2.5.102002 chia hết cho chia hết cho  chia hết cho 2003 có chữ số tận Do đó: 10 2003  có chữ số tận  chia hết cho Bài 2: Tìm chữ số tận số sau: 67 75 a) 234 ; b) 579 Lời giải: a) Số 243 có tận , nâng lên luỹ thừa lẻ nên có chữ số tận b) Số 579 có tận , nâng lên luỹ thừa chẵn nên có tận 1995 1995 1995 1995 Bài 3: Tìm chữ số tận số sau: ; ; ; Lời giải: 1995 Ta có: có số tận 91995 có số tận 31995 có số tận ( 1995 4.498  ) 21995 có số tận 9 Bài 4: Tìm chữ số cuối số Lời giải: 4k Ta có: có chữ số cuối Mà: 99  2.4 1 9 Do đó: chữ số cuối số Bài 5: Tích số lẻ liên tiếp có tận Hỏi tích có thừa số? Lời giải: Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp trở lên ít có thừa số có chữ số tận Dó tích phải tận nên trái đề Vậy số thừa số tích nhỏ phải lớn Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp tích có tận , tận nên trái đề Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp tích có tận hoặc nên trái đề Vậy tích có thừa số 10 14 Bài 6: Tích A 2.2 2 5 5 tận chữ số Lời giải: 10 1   10 55 Ta có: 2.2 2 2 52 54 56 514 52    14 556 55 56 55 55 55 Do đó: A 2 2 5 10 Vậy A có tận 55 chữ số Bài 7: Tìm số tự nhiên có chữ số biết số gồm năm chữ số viết theo thứ tự ngược lại bốn lần số phải tìm Lời giải: Gọi số phải tìm abcde  a , b , c , d , e  ;1  a , e 9;0 b , c , d 9  Theo đầu ta có: 4.abcde edcba (*) Vì 4.abcde số có năm chữ số nên a 2 , a lại chẵ nên a 2 Tích 4e số tận , e 3 e 8 Vì e chữ số đầu số tận b nên b phải số lẻ, b 1