Thuvienhoclieu com so hoc 6 chuyen de 2 chu de 6 tim chu so tan cung

thuvienhoclieu.com ĐS6 CHUYÊN ĐỀ - LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN CHỦ ĐỀ 6: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG PHẦN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Tìm chữ số tận Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi b) Các số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận không thay đổi c) Các số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận d) Các số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận Chú ý: Muốn tìm chữ số tận số tự nhiên - Nếu chữ số tận - Nếu chữ số tận Phân tích: Từ tính chất 1c , trước hết ta xác định chữ số tận có chữ số tận : với chữ số tận - Nếu chữ số tận Từ tính chất 1d là chữ số tận : trường hợp chữ số tận chữ số tận Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận không thay đổi Chữ số tận tổng lũy thừa xác định cách tính tổng chữ số tận lũy thừa tổng Tính chất 3: a) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc nâng lên lũy thừa bậc có chữ số tận 7; số có chữ số tận có chữ số tận b) Số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc có chữ số tận 8; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc có chữ số tận c) Các số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc không thay đổi chữ số tận thuvienhoclieu.com Trang : thuvienhoclieu.com Tính chất 4: Nếu chia hết cho Chứng minh: Do chia hết cho 25 nên chia cho 25 có số dư chia hết cho Vậy chia hết cho 125 * Phương pháp dùng cấu tạo số để tìm chữ số tận số - Giả sử Khi đó, Suy ra, chữ số cuối - Nếu với chữ số cuối số - Nếu với hai chữ số cuối ba chữ số cuối - Nếu chữ số cuối Tìm hai chữ số tận Việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên việc tìm số dư phép chia 100 Phương pháp tìm hai chữ số tận số tự nhiên : Trước hết, ta có nhận xét sau: Mà: với với , Suy kết sau với , thuvienhoclieu.com Trang cho thuvienhoclieu.com , , Vậy để tìm hai chữ số tận ta lấy số mũ chia cho Một số trường hợp cụ thể chữ số tận - Các số có tận - Các số (hoặc nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận ); có tận - Các số có tận - Số có tận - Các số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc khác hai chữ số tận không thay đổi (1) - Các số có chữ số tận (2) - Các số có chữ số tận (3) - Số có chữ số tận (4) Như vậy, muốn tìm chữ số tận số tự nhiên , trước hết ta xác định chữ số tận a CHÚ Ý: - có chữ số tận có chữ số tận - có chữ số tận - có chữ số tận Tìm ba chữ số tận trở lên Việc tìm ba chữ số tận số tự nhiên việc tìm số dư phép chia 1000 Giả sử với Giả sử: , , đó: thuvienhoclieu.com Trang cho thuvienhoclieu.com Ta có: Vậy chữ số tận Dùng quy nạp với chữ số tận , ta có: , - Nếu - Nếu - Nếu ta có tương ứng: - Nếu Ta có: nên (Định lí Euler) Giả sử chữ số tận ta có: Trong số (các số có chữ số chia cho 125 dư 1) có số chia hết cho 376 Vậy Do ta có kết sau: nếu nếu Vậy để tìm ba chữ số tận ta tìm chữ số tận số mũ Một số trường hợp cụ thể chữ số tận - Các số có tận nâng lên luỹ thừa (khác thuvienhoclieu.com ) tận Trang thuvienhoclieu.com nâng lên luỹ thừa (khác ) tận - Các số có tận PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tìm chữ số tận Ví dụ 1.1: Tìm chữ số tận Lời giải: Ta thấy số có tận nâng lên luỹ thừa bậc số có tận Các số có tận nâng lên luỹ thừa (khác 0) tận Do đó:           Vậy chữ số tận Ví dụ 1.2: Tìm chữ số tận số sau: Phân tích: - Ta biết số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi - Để tìm chữ số tận lũy thừa ta cần tìm chữ số tận hàng đơn vị Lời giải a) có chữ số tận b) có chữ số tận c) Theo câu a) b) Chữ số tận lũy thừa : d) Theo kết câu a) b) Chữ số tận lũy thừa: Ví dụ 1.3: Tìm chữ số tận Phân tích: Để tìm chữ số tận số ta phải đưa số có tận Lời giải Ta thấy , số tận phân tích Vậy số nâng lên bậc lũy thừa có chữ số tận có chữ số tận Ví dụ 1.4: Tìm chữ số tận số sau: Lời giải Vậy chữ số tận thuvienhoclieu.com Trang nên ta thuvienhoclieu.com Vậy chữ số tận Vậy chữ số tận Vậy chữ số tận Vậy chữ số tận là: Vậy chữ số tận Ví dụ 1.5: Tìm chữ số tận số sau: Lời giải a) Ta có: Vậy chữ số tận b) Ta có: Vậy chữ số tận c) Ta có: Vậy chữ số tận Ví dụ 1.6: Tìm chữ số tận phép tốn sau: Lời giải a) Ta có: - có chữ số tận - có chữ số tận thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com - có chữ số tận - có chữ số tận - có chữ số tận - có chữ số tận Tổng chữ số bằng: Vậy có chữ số tận b) Ta có: - có chữ số tận - có chữ số tận - có chữ số tận Tổng chữ số bằng: Vậy có chữ số tận c) Ta có: - có chữ số tận - có chữ số tận Tổng chữ số bằng: Vậy có chữ số tận Ví dụ 1.7: Tìm chữ số tận tổng sau: Phân tích: Trong dạng ta phải tìm quy luật tổng, quy luật số mũ số hạng S, số mũ chia dư Mà ta biết số nâng lên lũy thừa dạng có tận khơng đổi Lời giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa S có số mũ chia cho thuộc dư (các lũy thừa có dạng , ) Theo tính chất, suy lũy thừa S số tương ứng có chữ số tận giống nhau, chữ số tận tổng: thuvienhoclieu.com Trang Vậy chữ số tận tổng S thuvienhoclieu.com Tổng quát hóa: Tìm chữ số tận tổng sau: Ví dụ 1.8: Tìm chữ số tận tổng Lời giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa T có số mũ chia cho thuộc dư (các lũy thừa có dạng ) Theo quy tắc có chữ số tận ; có chữ số tận ; có chữ số tận Như vậy, tổng T có chữ số tận chữ số tận tổng: Vậy chữ số tận tổng T Tương tự hóa: Tìm chữ số tận Dạng 2: Tìm hai chữ số tận Ví dụ 2.1: Tìm hai chữ số tận số: Lời giải: a) Do số chẵn, ta tìm số tự nhiên n nhỏ cho Ta có Mặt khác: Vậy hai chữ số tận b) Do Ta có , số lẻ, ta tìm số tự nhiên n bé cho thuvienhoclieu.com Trang ; thuvienhoclieu.com Mặt khác : Vậy tận hai chữ số Ví dụ 2.2: Tìm hai chữ số tận Lời giải Ta thấy: số có tận 01 nâng lên lũy thừa tận 01 Do đó: Vậy có hai chữ số tận Ví dụ 2.3: Tìm hai số tận Lời giải Chú ý rằng: bình phương số có tận nâng lên lũy thừa (khác 0) tận tận , số có tận Do Vậy hai chữ số tận Ví dụ 2.4: Tìm hai chữ số tận của: a) b) c) d) Hướng dẫn: a) b) c) d) Ví dụ 2.5: Tìm chữ số tận Lời giải thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Ta thấy: Chữ số tận của   cũng chữ số tận của  Chữ số tận của   cũng chữ số tận của  mà  mà   Suy ra:  Vậy có chữ số tận   Ví dụ 2.6: Tìm hai chữ số tận số Lời giải Ta có: suy Ta lại có suy Do chữ số tận Suy tận 76 Vậy Vậy tận 38 88 tận có hai chữ số tận Ví dụ 2.7: Tìm chữ số tận Lời giải Ta có nên Khi theo quy tắc (1) chữ số tận Ví dụ 2.8: Tìm chữ số tận a) b) Lời giải a) Ta có: Chữ số tận nên b) Ta có Chữ số tận Dạng 3: Tìm ba chữ số tận Ví dụ 3.1: Tìm ba chữ số tận thuvienhoclieu.com Trang 10 thuvienhoclieu.com Mặt khác: Vì chia hết cho   (2) , từ (1) (2) suy chi hết cho 1000 Vậy có ba chữ số tận Ví dụ 3.10: Tìm ba chữ số tận Lời giải Do chi hết cho Ta có Vì   (1) chia hết cho   (2) , từ (1) (2) suy ra: chia hết cho 1000 Vậy ba chữ số tận Lại ba chữ số tận chia hết cho ba chữ số tận ba chữ số tận 999 001 mà (dễ kiểm tra chữ số tận 999 9, sau dựa vào phép nhân để xác định ) Vậy ba chữ số tận 3399 98 Ví dụ 3.11: Tìm ba chữ số tận Lời giải Do    Do chia cho dư chia cho dư tận chia hết tận Ví dụ 3.12: Tìm ba chữ số tận tổng Lời giải Nhận thấy: lũy thừa S có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng , k thuộc ) thuvienhoclieu.com Trang 13 thuvienhoclieu.com Mọi lũy thừa S có chữ số tận chữ số tận số tương ứng:  Chữ số tận tổng S chữ số tận tổng: Vậy ba chữ số tận Dạng 4: Vận dụng chứng minh chia hết, chia có dư * Chú ý: a Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho : chữ số tận số số chẵn b Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho (hoặc ): (hoặc ) tổng chữ số số chia hết cho Chú ý: Một số chia hết cho (hoặc (hoặc ) ) dư tổng chữ số chia cho (hoặc ) dư nhiêu ngược lại c Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho : chữ số số có tận d Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho (hoặc (hoặc e Dấu hiệu chia hết cho Một số chia hết cho ) hai chữ số tận số chia hết cho (hoặc Một số chia hết cho ): (hoặc f Dấu hiệu chia hết cho (hoặc ): ) ba chữ số tận số chia hết cho (hoặc ) : hiệu tổng chữ số hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho Ví dụ 4.1: Cho Chứng minh A chia hết cho Lời giải: Để chứng minh ) , ta xét chữ số tận A việc xét chữ số tận số hạng Ta có: Suy ra: có chữ số tận Suy ra: có chữ số tận thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com Vậy A có chữ số tận Do đó: Ví dụ 4.2: Cho , chứng minh không chia hết cho khơng chia hết cho Lời giải: Ta có: tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho chia hết cho Suy tích hai số tự nhiên liên tiếp nên khơng có tận là số lẻ nên khơng Do khơng chia hết cho Ví dụ 4.3: Chứng tỏ chia hết cho nên khơng có tận Lời giải: Ta có: Do đó: Vậy có chữ số tận có chữ số tận chia hết cho Ví dụ 4.4:  Chứng minh chia hết cho Lời giải: Để vừa chia hết cho số phải có chữ số tận Suy ra: Cần chứng minh số bị trừ số trừ có chữ số tận Chú ý: Số tự nhiên có chữ số tận Ta có: có chữ số tận Suy ra: có chữ số tận ln có chữ số tận Suy ra: Vậy: có chữ số tận chia hết cho Ví dụ 4.5: Cho số có chữ số: Điền chữ số thích hợp vào dấu (*) để số có bốn chữ số khác chia hết cho tất bốn số: Lời giải: Số đảm bảo chia hết số số chẳn thuvienhoclieu.com Trang 15 thuvienhoclieu.com Số chia hết số phải có chữ số tận số Số vừa chia hết cho nên số phải có tổng chữ số chia hết cho Suy ra: Chữ số tận số ⇒ Chữ số đầu số Do ta có số Vậy: số cho Ví dụ 4.6: Chứng tỏ hiệu chia hết cho Lời giải: Ta có: Số Suy Số Do đó: có chữ số tận có tận có tận có tận Phân tích tương tự, có tận Do đó: Vậy: có tận chia hết cho Ví dụ 4.7: Chứng tỏ rằng: chia hết cho Lời giải: Ta có: tận chữ số tận chữ số nên tận chữ số nên số tận chữ số nên số Suy ra: tận chữ số Vây: số chia hết cho Ví dụ 4.8: Tìm bốn chữ số tận tận chữ số tận chữ số viết hệ thập phân Lời giải: Cách 1: Ta thấy số tận nâng lên luỹ thừa nguyên dương tận thuvienhoclieu.com Trang 16 thuvienhoclieu.com Do đó: Cách 2: Tìm số dư chia Nhận xét: cho chia hết chia hết cho Ta có: Do chia hết cho Nên: chia hết cho (theo nhận xét trên) chia hết cho Tính Vậy bốn chữ số tận Ví dụ 4.9: Chứng minh chia hết cho Lời giải: Ta chứng minh Thật vậy, có tận có chữ số tận với chữ số tận với sau vận dụng dấu hiệu chia hết cho , mà , suy nên có tận Do có tận , , có chữ số tận , suy tận (đpcm) Dạng 5: Vận dụng chữ số tận vào tốn phương * Chú ý:   - Số phương có chữ số tận là: - Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với lũy thừa chẵn - Số phương chia hết cho chia cho dư - Số phương chia hết cho chia cho dư - Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương chia hết cho chia hết cho - Số phương tận hoặc - Số phương tận chữ số hàng chục - Số phương tận chữ số hàng chục số lẻ chữ số hàng chục số chẵn - Số tự nhiên A số phương nếu: + A có chữ số tận + A có chữ số tận mà chữ số hàng chục chữ số chẵn thuvienhoclieu.com có Trang 17 thuvienhoclieu.com mà chữ số hàng chục lẻ + A có chữ số hàng đơn vị khác + A có chữ số hàng đơn vị mà chữ số hàng chục khác + A có hai chữ số tận lẻ Ví dụ 5.1: Các số sau có phải số phương khơng? Vì sao? a) ; b) Lời giải: a) Ta có: có chữ số tận Suy ra: có chữ số tận Do đó: khơng số phương b) Ta có: có chữ số tận Suy ra: có chữ số tận Do đó: khơng số phương Ví dụ 5.2: Cho Chứng minh không số phương Lời giải: Ta có: Suy ra: Suy ra: Ta có: có chữ số tận Suy ra: có chữ số tận Do đó: có chữ số tận Vậy khơng phải số phương Ví dụ 5.3:  Cho khơng chia hết cho Chứng minh số phương Lời giải: Do khơng chia hết thuvienhoclieu.com Trang 18 thuvienhoclieu.com Ta có Ta viết Vậy hai chữ số tận hai chữ số tận Theo tính chất rõ ràng Ví dụ 5.4: Cho nên khơng thể số phương khơng chia hết cho Tìm chữ số tận S, từ suy S khơng phải số phương Lời giải: Tổng có số hạng , nhóm số hạng từ trái sang phải, nhóm Trong nhóm, chữ số tận tổng hạng, thừa ba số hạng cuối Vậy chữ số tận tổng S chữ số tận tổng Ta có: Tổng S có chữ số tận Số phương khơng có tận Suy S khơng phải số phương Ví dụ 5.5: Cho tổng a) Tính S b) Chứng tỏ S số phương Lời giải: a) Ta có: b) có chữ số tận nên S số phương Ví dụ 5.6: Tìm số phương có bốn chữ số, viết vởi chữ số Lời giải: Gọi số phương cần tìm Số phương khơng tận Số tận Vậy chia hết cho nên phải tận , không chia hết cho nên không số phương phải tận Suy số phương cần tìm là: BÀI TẬP thuvienhoclieu.com Trang 19 thuvienhoclieu.com Bài 1: Chứng tỏ chia hết cho Lời giải: Cách 1: chia hết cho Do đó: chia hết cho chia hết cho Cách 2: có chữ số tận Do đó: Vậy: chia hết cho có chữ số tận Bài 2: Tìm chữ số tận số sau: a) ; b) Lời giải: a) Số có tận , nâng lên luỹ thừa lẻ nên có chữ số tận b) Số có tận , nâng lên luỹ thừa chẵn nên có tận Bài 3: Tìm chữ số tận số sau: ; ; ; Lời giải: Ta có: có số tận có số tận có số tận ( ) có số tận Bài 4: Tìm chữ số cuối số Lời giải: Ta có: có chữ số cuối Mà: Do đó: chữ số cuối số Bài 5: Tích số lẻ liên tiếp có tận Hỏi tích có thừa số? Lời giải: Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp trở lên có thừa số có chữ số tận phải tận nên trái đề Vậy số thừa số tích nhỏ phải lớn Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp tích có tận , tận Nếu tích có thừa số lẻ liên tiếp tích có tận hoặc thuvienhoclieu.com Dó tích nên trái đề nên trái đề Trang 20 ... Tìm ba chữ số tận số: Lời giải Do chia hết cho   (1) thuvienhoclieu. com Trang 12 thuvienhoclieu. com Mặt khác: Vì chia hết cho   (2) , từ (1) (2) suy chi hết cho 1000 Vậy có ba chữ số tận Ví dụ... tận b) Do Ta có , số lẻ, ta tìm số tự nhiên n bé cho thuvienhoclieu. com Trang ; thuvienhoclieu. com Mặt khác : Vậy tận hai chữ số Ví dụ 2. 2: Tìm hai chữ số tận Lời giải Ta thấy: số có tận 01... Lời giải: Cách 1: Ta thấy số tận nâng lên luỹ thừa nguyên dương tận thuvienhoclieu. com Trang 16 thuvienhoclieu. com Do đó: Cách 2: Tìm số dư chia Nhận xét: cho chia hết chia hết cho Ta có: Do chia