Chuyen de ti le thuc tinh chatcua day ti so bang nhau

Bồi dưỡng Toán lớp CHUYÊN ĐỀ : TỈ LỆ THỨC – TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Lý thuyết Tỷ lệ thức đẳng thức hai tỷ số * Tính chất tỷ lệ thức: a c = b d a c = suy a.d = b.c b d Tính chất 2: Từ đẳng thức a.d = b.c với a, b, c, d ≠ cho ta tỷ lệ thức: Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức a c a b d c d b = , = , = , = b d c d b a c a Tính chất 3: Từ tỷ lệ thức a c a b d c d b = suy tỷ lệ thức: = , = , = b d c d b a c a * Tính chất dãy tỷ lệ thức nhau: Tính chất 1: Từ tỷ lệ thức Tính chất 2: a c a a+c a−c = suy tỷ lệ thức sau: = = , (b ≠ ± d) b d b b+d b−d a c i = = suy tỷ lệ thức sau: b d j a c+c+i a−c+i = = , (b, d, j ≠ 0) b b+d + j b−d + j a b c = = Chú ý: Trong trình bày lời giải , em thường nhầm lẫn dấu “=” với dấu “=>” Tính chất 3: a, b,c tỷ lệ với 3, 5, tức ta có: Ví dụ: x y x y = (⇒) = em lại dung dấu sai d 5.3 7.3 Hãy tìm x, y, z biết x y z = = x – z = x y z x−z x = = (⇒) = = = ⇒ x = 5.7 S 5−4 Ở em dùng dấu suy sai Hay biến đổi tỷ lệ thức chậm chạp Giải: Các dạng toán thường gặp Tốn chứng minh đẳng thức Tốn tìm x, y, z, Toán đố Toán lập tỷ lệ thức Áp dụng chứng minh bất đẳng thức https://www.facebook.com/groups/boiduongtoan7 Page Bồi dưỡng Toán lớp II./ BÀI TẬP CỤ THỂ A Loại toán chứng minh đẳng thức Bài Chứng minh : Nếu a c a+b c+d = ≠ = với a, b, c, d ≠ b d a−b c −d Giải: Với a, b, c, d ≠ ta có: a c a c a+b c+d = ⇒ +1 = +1 ⇒ = b d b d b d a+b b = (1) c+d d ⇒ a c a −b c − d a−b b = ⇒ = ⇒ = (2) b d b d c−d d Từ (1) (2) => Bài 2: Nếu a, a +b a −b a+b c+d = ⇒ = (ĐPCM) c+d c−d a−b c −d a c = thì: b d 5a + 3b 5c + 3d = 5a − 3b 5c − 3d a + 3ab 7c + 3cd = 11a − 8b 11c − 8d - Nhận xét điều phải chứng minh? b, Giải: a Từ b Làm để xuất 5a, 5c, 3b, 3d? Bài gợi ý cho giải 2? a c a b 5a 3b 5a 5c 5a + 3b 5c + 3d = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = (đpcm) b d c d 5c 3d 3b 3d 5a − 3b 5c − 3d a c a b a b ab a 8b 3ab 11a = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = = = b d c d c d cd 7c 8d 3cd 11c a + 3ab 11a − 8b = (đpcm) 7c + 3cd 11c − 8d Bài 3: CMR: Nếu a = bc Giải: a+b c+a = điều đảo lại có hay không? a −b c −a a b a+b a −b a+b c+a = ⇒ ⇒ = c a c+a c−a a −b c−a + Điều đảo lại đúng, thật vậy: + Ta có: a = bc ⇒ https://www.facebook.com/groups/boiduongtoan7 Page Bồi dưỡng Toán lớp a+b c+a = ⇒ ( a + b )( c − a ) = ( a − b )( c + a ) a−b c −a 2 Ta có: ac − a − bc − ab = ac + a − bc − ab ⇒ 2bc = a ⇒ a = bc Bài 4: Cho a c ac a + c = CMR = b d bd b + d a c ac a c a + c ac a + c = = = ⇒ = (đpcm) Giải: = ⇒ b d bd b d b + d bd b + d a c a + b4  a −b  Bài 5: CMR: Nếu =  =  4 b d c−d  c +d Giải: a c a b a−b a4  a − b  Ta có: = ⇒ = = ⇒ =  (1) b d c d c−d c c−d  Từ a b a4 b4 a + b4 = ⇒ = = ( 2) c d c d c + d4 a + b4  a −b  (đpcm) Từ (1) (2) ⇒  =  4 c−d  c +d Bài 6: CMR Nếu a + c = 2b (1) 2bd = c(b+d) (2) đk: b; d≠0 a c = b d Giải: Ta có: a + c = 2b ⇒ ( a + c ) d = 2bd ( 3) Từ (3) (2) ⇒ ⇒ c (b + d ) = ( a + c ) d ⇒ cb + cd = ad + cd a c = (đpcm) b d Bài 7: Cho a, b, c, d số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện: b = ac; c = bd b3 + c3 + d ≠ a + b3 + c3 a CM: 3 = b + c + d3 d https://www.facebook.com/groups/boiduongtoan7 Page Bồi dưỡng Tốn lớp Giải: + Ta có b = ac ⇒ a b = (1) b c + Ta có c = bd ⇒ b c = ( 2) c d + Từ (1) (2) ta có a b c a b3 c a + b3 + c3 = = ⇒ = = 3= 3 ( 3) b c d b c d b + c + d3 a b c a3 a b c a Mặt khác: = = ⇒ = = ( 4) b c d b bcd d Từ (3) (4) ⇒ a + b3 + c3 a = b3 + c3 + d d Bài 8: CMR: Nếu a(y + z) = b(z + x) = c(x + y) (1) Trong a ; b ; c số khác khác thì: y−z z−x x− y = = ( ∗) a (b − c) b (c − a) c ( a − b) Giải: Vì a; b; c ≠0 nên chia các số (1) cho abc ta có: a ( y+z ) b ( z + x) c ( x + y) y+z z+x x+ y = = ( 2) abc abc abc bc ac ab ? Nhìn vào (*) ta thấy mẫu thức cần có ab – ac ? Ta biến đổi nào? = Từ (2) ⇒ = ⇒ y+z ( x + y ) − ( z + x ) ( y + z ) − ( x + y ) ( z + x ) − ( y + z ) = = = bc ab − ac bc − ab ac − bc y-z z-x x-y = = (đpcm) a (b − c) b (c − a ) c ( a − b) Bài 9: Cho bz-cy cx-az ay-bx = = (1) a b c x y z = = a b c Giải: Nhân thêm tử mẫu (1) với a b; c Từ (1) ta có: CMR: bz-cy abz-acy bcx-baz cay-cbx abz-acy+bcx-baz+cay-cbx = = = = =0 a a2 b2 c2 a + b2 + c ⇒ bz-cy = ⇒ bz = cy ⇒ x y = c b ( 2) https://www.facebook.com/groups/boiduongtoan7 Page Bồi dưỡng Toán lớp ⇒ ay-bx = ⇒ ay = bx ⇒ Từ (2) (3) ⇒ x y = ( 3) a b x y z = = (đpcm) a b c a b' b c' + = + =1 a' b b' c CMR: abc + a’b’c’ = Bài 10 Biết a b' Giải: Từ ' + = ⇒ ab + a ' b ' = 1(1) a b Nhân hai vế (1) với c ta có: abc + a’b’c = a’bc (3) b c' + = ⇒ bc + b ' c ' = b ' c(2) b' c Nhân hai vế (2) với a’ ta có: a’bc + a’b’c’ = a’b’c (4) Ta có: Cộng hai vế (3) (4) ta có: abc + a’b’c + a’bc + a’b’c’ = a’bc +a’b’c => abc + a’b’c = (đpcm) B Tốn tìm x, y, z Bài 11 Tìm x, y, z biết: x y z = = x + y − = 186 15 20 28 Giải: Giả thiết cho x + y − = 186 Làm để sử dụng hiệu giả thiết trên? Từ x y z 2x y z x + y − z 186 = = = = = = = =3 15 20 28 30 60 28 30 + 60 − 28 62 x = 3.15 = 45 y= 3.20 = 60 z = 3.28 = 84 x y y z = = x + y − z = 372 Giải: Nhận xét có giống nhau? Bài 12 Tìm x, y, z cho: Đưa dạng cách nào? Đưa tử số có số chia Ta có: x y x y = ⇒ = (chia hai vế cho 5) 15 20 https://www.facebook.com/groups/boiduongtoan7 Page Bồi dưỡng Toán lớp y z y z = ⇒ = (chia hai vế cho 4) 20 28 x y z = = 15 20 28 Tương tự học sinh tự giải tiếp: x = 90; y = 120; z = 168 ⇒ x y y z = = x + y + z = 98 Giải: Hãy nêu phương pháp giải (tìm GCNN (3;5)=?) Học sinh nên tự giải (tương tự em gặp) Bài 13 Tìm x, y, z biết ĐS: x = 20; y = 30; z = 42 Bài 14 Tìm x, y, z biết 2x = 3y = 5z (1) x + y –z = 95 (*) Cách 1: Từ 2x = 3y ⇒ x y = y z = Đưa cách giải giống ba trên: cách dài dòng Cách 2: + Nếu có tỷ lệ x, y, z tương ứng ta giải (*) 3y = 5z ⇒ + Làm để (1) cho ta (*) + chia hai vế (1) cho BCNN (2;3;5) = 30 2x y 5z x y z x+ y−z 95 = = = = = = = =5 30 30 30 15 10 15 + 10 − 19 => x = 75, y = 50, z = 30 2x = 3y = 5z ⇒ Bài 15 Tìm x, y, z biết: x = y = z (1) x – y = 15 Giải: Hãy nêu cách giải (tương tự 11) BCNN(1 ;2 ;3) = Chia vế (1) cho ta có x y z x − y 15 = = = = =5 12 12 − => x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40 Bài 16 Tìm x, y, z biết: a x −1 y − z − = = (1) 2x + 3y –z = 50 2x y 4z = = ( ) x + y +z = 49 Giải: b https://www.facebook.com/groups/boiduongtoan7 Page Bồi dưỡng Toán lớp a Với giả thiết phần a ta co cách giải tương tự nào? (bài 11) ( x − 1) ( y − ) z − x − + y − − z + = = = 4+9−4 Từ (1) ta có: ( x + y − z ) + −2 − + = 50 − = = 9 x −1 = ⇒ x = 11 y−2 = ⇒ x = 17 z −3 = ⇒ x = 23 b ? Nêu cách giải phần b? (tương tự 15) Chia vế cho BCNN (2;3;4) = 12 2x y 4z 2x 3y 4z = = ⇒ = = 3.12 4.12 5.12 x y z x+ y+ z 49 ⇒ = = = = =1 18 10 15 18 + 16 + 15 49 => x = 18; y = 16; z = 15 Bài 17 Tìm x; y; z biết rằng: a x y = xy = 54 (2) x y = x + y = (x, y > 0) Giải: ? Làm để xuất xy mà sử dụng giả thiết b x y x x y x x xy 54 = (1) ⇒ = ⇒ = = =9 2 6 a 2 x = 4.9 = ( 2.3 ) = ( ) = ( −6 ) ⇒ x = ±6 Thay vào (2) ta có: x = ⇒ y = 54 =9 x = −6 ⇒ y = 54 = −9 −6 x y x2 y x2 − y = ⇒ = = = = 25 25 − 16 b 25 ⇒ x2 = ⇒x=± https://www.facebook.com/groups/boiduongtoan7 Page Bồi dưỡng Toán lớp ⇒x=± Bài 18 Tìm số a1, a2, …a9 biết: ⇒ y2 = a −9 a1 − a − = = = a1 + a + + a = 90 a1 − ( a1 + a + + a ) − (1 + + + ) 90 − 45 = = =1 9 + + + 45 Từ dễ dàng suy a1; a2; … Bài 19 Tìm x; y; z biết: Giải : a y + z +1 x + z + x + y − = = = (1) x y z x+ y+ z Giải: Theo tính chất dãy tỷ số ta có từ (1) y + z +1 y + z +1+ x + z + + x + y − 2( x + y + z ) = = x x+ y+z x+ y+z = ⇒ x + y + z = 0,5 x+ y+z y + z +1 = ⇒ y + z +1 = 2x ⇒ x + y + z +1 = 2x + x x ⇒ 1,5 = x ⇒ x = x+ z+2 Nếu a + y + z ≠ : = ⇒ x + y + z + = 3y y ⇒ 2, = y ⇒ y = x+ y −3 = ⇒ x + y + z − = 3z z 5 ⇒ − = 3z ⇒ z = − b Tương tự em tự giải phần b Tìm x, y, z biết: ⇒ x y z = = = x+ y+z y + z +1 x + z +1 x + y − Nếu x + y + z ≠ => x + y + z = 0,5 1 ĐS : x = ; y = ; z = − 2 Nếu x + y + z = => x = y = z = https://www.facebook.com/groups/boiduongtoan7 Page Bồi dưỡng Toán lớp Bài 20 Tìm x biết rằng: 1+ y 1+ y 1+ y = = 18 24 6x Giải: 1+ y 1+ 2y +1+ y + 8y 1+ y + 8y = = ⇒ = 24 18 + x 18 + x 24 18 + x 1+ y 24 1+ y 24 ⇒ = ⇒ = = 24 18 + x (1 + y ) 18 + x ⇒ 18 + x = 24.2 ⇒ ( + x ) = 6.4.2 ⇒ 3+ x = ⇒ x = Bài 21 Tìm x, y,z biết rằng: x y z = = xyz = 810 Giải: x y z x x x x y z xyz = = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 2 2 30 x3  x  810 ⇒  = = 27 ⇒ = 27 10 2 ⇒ x3 = 8.27 = 23.33 = ( 2.3) ⇒x=6 x y 3.6 = ⇒ y= =9 mà z = 15 Bài 22 Tìm số x1, x2, …xn-1, xn biết rằng: x x x1 x2 = = ⋅⋅⋅ = n −1 = n x1 + x2 + ⋅⋅⋅ + xn = c a1 a2 an −1 an ( a1 ≠ 0, , an ≠ 0; a1 + a2 + + an ≠ ) Giải: x x x + x + + xn x1 x2 c = = ⋅⋅⋅ = n −1 = n = = a1 a2 an −1 an a1 + a2 + + an a1 + a2 + + an xi = c.ai a1 + a2 + + an đó: i = 1, 2,…, n Bài 23 Tìm số x; y; z ЄQ biết rằng: ( x + y ) : ( − z ) : ( y + z ) : ( + y ) = :1: : https://www.facebook.com/groups/boiduongtoan7 Page Bồi dưỡng Toán lớp Giải: Ta có: x+ y 5− z y + z 9+ y = = = = k (1) ( x + y ) + (5 − z ) + ( y + z ) + (9 + y ) = x + y − +1+ + x + y − = k ⇒ ⇒ k +4= x+ y  x + y = 3k ⇒ + k = 3k ⇒ = 2k ⇒ k = ⇒ 5− z = k ⇒ z = 5−k = 5−2 = + y = 5k ⇒ y = 5k − = 10 − = Từ (1) x + y = 3k ⇒ x = 3k − y = − = x =  ⇒ y =1 z =  Bài 24 Tổng luỹ thừa bậc ba số -1009 Biết tỷ số số thứ số thứ số thứ số thứ ; Tìm số đó? Giải: Ta có: x3 + y + z = −1009 x x y x y = ⇒ = ⇒ = y 3 x x z x y z = ⇒ = ⇒ = = z 9 ⇒ x = 4k , y = 6k , z = 9k x3 + y + z = ( 4k ) + ( 6k ) + ( 9k ) = 64k + 216k + 729k = 1009k = −1009 3 ⇒ k = −1 ⇒ k = −1 ⇒ x = −1.4 = −4 ⇒ y = −1.6 = −6 ⇒ z = −1.9 = −9 C./ TOÁN ĐỐ Bài 25 Có đội A; B; C có tất 130 người trồng Biết số người đội A; B; C trồng theo thứ tự 2; 3; Biết số đội trồng Hỏi đội có người trồng cây? https://www.facebook.com/groups/boiduongtoan7 Page 10 Bồi dưỡng Toán lớp Giải: + Gọi số người trồng đội A; B; C là: x; y; z (người), đk: x; y; z ЄN* + Theo ta có: x.2 = y.3 = 4.z (1) x + y+ z =130 BCNN (2;3;4) = 12 x.2 y.3 4.z x y z x + y + z 130 = = ⇒ = = = = = 10 12 12 12 6 + + 13 x = 60; y = 10; z = 30 Trả lời: Đội A; B; C có số người trồng theo thứ tự 60; 40; 30 ĐS: 60; 40; 30 có số học sinh lớp 7A số học sinh 7B số học sinh 7C Lớp 7C có số học sinh tổng số học sinh lớp 57 bạn Tính số học Bài 26 Trường có lớp 7, biết sinh lớp? Giải: Gọi số học sinh 7A; 7B; 7C x; y; z (em), x; y; z ≠0 Theo ta có: x = y = z (1) x + y + z = 57 Chia (1) cho BCNN (3;4;5) = 12 x y z x+ y−z 57 = = = = 18 16 15 18 + 16 − 15 19 => x = 54; y = 18; z =45 ⇒ Trả lời: số học sinh lớp 7A; 7B; 7C là: 54; 18; 45 ĐS: 54; 18; 45 Bài 27 Tìm ba số nguyên dương biết BCNN chúng 3150 tỷ số số thứ với số thứ 10 , số thứ với số thứ ba Giải: Gọi ba số nguyên dương là: x; y; z Theo ta có: BCNN (x;y;z) = 3150 x x 10 x y x z = ; = ⇒ = ; = y z 10 x y z ⇒ = = =k 10 18 ⇒ x = 10k = 2.5.k ⇒ y = 18.k = 32.2.k ⇒ z = 7.k https://www.facebook.com/groups/boiduongtoan7 Page 11 Bồi dưỡng Toán lớp BCNN (x;y;z)=3150 = 2.32.5.7 k=5 x=50; y = 90; z = 35 Vậy số nguyên dương x = 50; y = 90; z = 35 E./ TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất 1: (Bài 3/33 GK Đ7) Cho số hữu tỷ CM: a c với b> 0; d >0 b d a c < ⇔ ad < bc b d Giải: a c  <  db cd + Có b d < ⇒ ad < bc ⇒ bd db  b > 0; d >  + Có: ad < bc  ad bc a c < ⇒ < ⇒ b > 0; d >  bd db b d Tính chất 2: Nếu b > 0; d > từ a c a a+c c < ⇒ < < b d b b+d d (Bài 5/33 GK Đ7) Giải: a c  <  + b d  ⇒ ad < bc(1) thêm vào vế (1) với ab ta có: b > 0; d >  ⇒ ad + ab < bc + ab a a+c < ( 2) b b+d + Thêm vào hai vế (1) dc ta có: a (b + d ) < c (b + d ) ⇒ (1) ⇒ ad + dc < bc + dc ⇒ d ( a + c) < c (b + d ) a+c c < ( 3) b+d d + Từ (2) (3) ta có: ⇒ a c a a+c c < ⇒ < < (đpcm) b d b b+d d Tính chất 3: a; b; c số dương nên Từ https://www.facebook.com/groups/boiduongtoan7 Page 12 Bồi dưỡng Toán lớp a, Nếu a a a+c < < b b b+c b, Nếu a a a+c > > b b b+c Bài 30 Cho a; b; c; d > CMR: < a b c d + + + (1) (do d>0) a+b+c+d a+b+c Mặt khác: a a > ( 2) a+b+c a+b+c+d + Từ (1) (2) ta có: a a a+d < < ( 3) a+b+c+d a+b+c a+b+c+d Tương tự ta có: b b b+a < < ( 4) a+b+c+d b+c+d a+b+c+d c c c+b < < (5) a+b+c+d c+d +a c+d +a+b d d d +c < < ( 6) d+a+b+c d + a + b a + b + c + d Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo vế được: 1< a b c d + + + < (đpcm) a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b Bài 31 Cho a c a ab + cd c < b; d > CMR: < < b d b b + d2 d Giải: Ta có a c a.b c.d ab cd < b; d > nên < ⇒ < b d b.b d.d b d Theo tính chất (2) ta có: ab ab + cd cd a ab + cd c < < 2⇒ < < (đpcm) 2 b b +d d b b + d2 d https://www.facebook.com/groups/boiduongtoan7 Page 13 ... ⇒ ⇒ c (b + d ) = ( a + c ) d ⇒ cb + cd = ad + cd a c = (đpcm) b d Bài 7: Cho a, b, c, d số khác nhau, khác không thỏa mãn điều kiện: b = ac; c = bd b3 + c3 + d ≠ a + b3 + c3 a CM: 3 = b + c +... 62 x = 3.15 = 45 y= 3.20 = 60 z = 3.28 = 84 x y y z = = x + y − z = 372 Giải: Nhận xét có giống nhau? Bài 12 Tìm x, y, z cho: Đưa dạng cách nào? Đưa tử số có số chia Ta có: x y x y = ⇒ = (chia... dưỡng Toán lớp y z y z = ⇒ = (chia hai vế cho 4) 20 28 x y z = = 15 20 28 Tương tự học sinh tự giải ti? ??p: x = 90; y = 120; z = 168 ⇒ x y y z = = x + y + z = 98 Giải: Hãy nêu phương pháp giải (tìm