PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có 03 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Thí sinh làm (cả phần trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Thí sinh lựa chọn phương án a b2 a b 2 a b4 a b Câu 1: Xét số thực a, b thỏa mãn a b ab 15 Biểu thức 15 A B 225 1 3 Câu 2: Biết A 37 Câu 3: Biết giá trị A 5 x C 15 D 225 ax b cx 18 Khi giá trị a b 2c B 18 C 21 x 1 x3 3x x ax bx cx d C B 12 D 78 Biểu thức a b 2c d có D 12 Câu 4: Cho đa thức f ( x) 2 x ax bx c Biết f ( x) chia cho x 1; x x dư 2022 Khi f (2) A B 2022 C 2016 D 2028 x 1 x x 26 (với x 1) có giá trị lớn Câu 5: Biết với x x0 biểu thức Có số nguyên dương nhỏ x0 ? P A B C D 2x 2x 2x 2x 2021 2022 2023 Câu 6: Gọi x0 nghiệm phương trình 2020 Có số nguyên dương nhỏ x0 ? A 2022 B 1009 C 1008 D 2021 ( x 2) (m 2) x 8 0 x Câu 7: Tính tổng tất giá trị m để phương trình có nghiệm x Trang 1/3 A B C 14 D x 16 x 17 0? Câu 8: Có số nguyên x thỏa mãn điều kiện x x A B C D 10 Câu 9: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH , biết AB 3 cm, AC 4 cm BH Tỷ số BC A 16 B 25 C D Câu 10: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với nhau, biết AC 6 cm, BD 8 cm Diện tích tứ giác ABCD A 14 cm B 28 cm C 24 cm D 48 cm Câu 11: Một khu vườn hình chữ nhật ABCD chia thành bốn hình chữ nhật hình 2 vẽ Biết diện tích ba hình chữ nhật 40 m , 60 m , 30 m Diện tích khu vườn A 180 m B 140 m C 160 m D 150 m 48 cm2 Câu 12: Cho tam giác ABC có diện tích Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E cho AB 4 AD, AC 3 AE Diện tích tứ giác BDEC A 36 cm B 20 cm Câu 13: Cho hình thang cân ABCD Diện tích hình thang ABCD C 44 cm AB / /CD Biết A 32 cm B 12 cm A cm B cm D 28 cm AB 3 cm, CD 9 cm, AD 5 cm 48 cm 24 cm C D o Câu 14: Tam giác ABC có AB 3 cm, AC 6 cm, BAC 120 Độ dài đường phân giác AM tam giác ABC Trang 2/3 C cm D 2, cm Câu 15: Ghép 42 hình lập phương có cạnh cm hình hộp chữ nhật có chu vi đáy 18cm Khi kích thước cạnh lớn hình hộp chữ nhật cm D Câu 16: Một khu vườn hình chữ nhật ABCD có AB 30 m, AD 20 m Người ta muốn trồng hoa hình tứ giác EFGH hình vẽ cho AE AF CG CH x A cm B cm C cm C 325 m Diện tích lớn để trồng hoa A 300 m B 312,5 m D 315,5 m II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) 2 2 a) Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn a b c d Chứng minh a b c d hợp số b) Tìm tất giá trị dương x để biểu thức nguyên P x 12 x x x nhận giá trị Câu (4,0 điểm) a a 16 P : a 2a a a a a 2 a) Cho biểu thức Tìm giá trị a để biểu thức P có giá trị lớn 2x b) Giải phương trình: x 3 18 x 21x 35 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A có BC 2a, gọi M trung điểm BC Lấy điểm D, E thuộc đoạn thẳng AB, AC cho DME ABC a) Chứng minh rằng: BD.CE a b) Chứng minh: DM tia phân giác góc EDB Trang 3/3 c) Tính chu vi tam giác AED AM a 2 Câu (1,0 điểm) Cho hai số thực x, y khác thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏ S biểu thức 4x2 y2 4 2 x y x y Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Thí sinh phép sử dụng máy tính bỏ túi Họ tên thí sinh:….……………………………………Số báo danh:…………………………… PHỊNG GD&ĐT HẠ HÒA HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2021-2022 Mơn: TỐN Đề thức I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Mỗi câu 0,5 điểm Câu Đáp án A C A D B C D A Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án B C D C D B C B II.PHẦN TỰ LUẬN: (12 điểm) Câu Nội dung Điểm Câu (3,0 điểm) 2 2 a) Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn a b c d Chứng 1,5 minh a b c d hợp số n n n 1 n Câu (3đ) Với n số nguyên nên chia hết cho Áp dụng nhận xét ta có: a tích hai số nguyên liên tiếp b c d a b c d a a b b c c d d hết cho 2 2 Do a b c d nên a b c d a b c d 2 a b a b c d Suy a2 b2 a b c d chia hết cho a b c d chia hết cho Mà a b c d nên a b c d hợp số Trang 4/3 chia 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm b) Tìm tất giá trị dương x để biểu thức trị nguyên Do x nên ta có Với x P P P 1; 2 P P x 12 x x x nhận giá 1,5 3x x 3x 3 , x 4 x 1 x 1 x x P 3 3 x 1 0,25 0,25 (vì P ) 3x 1 x x 1 x x 1 + Với 3x P 2 2 3x 2 x 1 x 2 x 1 + Với x , x 2 Vậy giá trị x thỏa mãn P 1 Câu (4đ) 0,25 0,25 0,25 Câu (4,0 điểm) a a 16 P : 2a 2a a a a a 2 a) Cho biểu thức Tìm giá trị a để biểu thức P có giá trị lớn a Điều kiện a 2 a a a 2 16 P 2a 2a a a a a Ta có a a 16 a 2a a a a 8a 16 a 2 2a 2a a 2 a 2 2 2a 2a 4a 4a 1 11 Dấu xảy Ta có: 0,25 0,50 0,25 0,25 Vậy để biểu thức P có giá trị lớn 2x b) Giải phương trình: 0,25 0,25 2a 1 11 11 a 2,0 a x 3 18 x 21x 35 x x x 1 x 3 ; 18 x 21x x 1 x Nên phương trình cho có dạng x 1 x 3 3x 1 x 35 Trang 5/3 0,25 2,0 0,25 0,50 Câu Nội dung Điểm x 1 x x 3 x 1 35 x 11x x 11x 35 Đặt t 6 x 11x thay vào ta phương trình t 1 t 1 35 t 36 t 6, t t 6 x 11x 6 x 11x 0 x x 1 0 Với x 2; x 2 t x 11x x 11x 10 0 Với => phương trình vơ nghiệm x 2, x Vậy phương trình cho có nghiệm 0,50 0,50 0,25 Câu (4đ) a) Chứng minh rằng: BD.CE a Ta có: DMC DME CME Mà DMC DBM BDM ABC BDM DME ABC Suy ra: CME BDM BDM CME (vì B C ; BDM CME ) BD BM AB BD.CE CM BM a CM BM a CM CE (do ) 1,5 0,50 0,50 0,50 b) Chứng minh: DM tia phân giác góc EDB Theo câu a) có BDM CME 1,0 DM BD DM BD CM BM ME CM ME BM DME DBM MDE BDM DM phân giác góc BDE 0,50 c) Tính chu vi tam giác AED AM a 1,5 Trang 6/3 0,25 0,25 Câu Nội dung 2 Ta có AC AB AM AM 2a BC ABC tam giác Theo câu b ta có DM phân giác góc BDE Chứng minh tương tự ta có: EM phân giác góc CED Gọi H , I , K chân đường vng góc hạ từ M đến đường AB, DE , AC Khi DHM DIM DH DI Điểm 0,25 0,25 0,25 EIM DEKM EI EK Do chu vi tam giác AED bằng: AD DE EA AD DI EI EA AD DI AE EI AD DH AE EK AH AK 2 AK Do tam giác ABC cạnh 2a nên tam giác KMC vng K có a 3a KCM 600 KC MC AK 2 a ADE Vậy chu vi tam giác (1đ) 0,25 0,50 2 Câu (1,0 điểm) Cho hai số thực x, y khác thỏa mãn x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S 2 x2 y2 x y x y 1,0 Áp dụng bất đẳng thức AG-MG, chứng minh được: với hai số dương a, b 1 1 4ab a b a b a b ta có: Dấu " " xảy a b 0,25 Áp dụng BĐT ta có: S 2 2 4x2 y 2 2x y 4x y x y 4x y 2 x y 11 2 2 x y 2x y 4x y x2 y x y 4 Dấu xảy 2 1 x y x2 y x y 2 2 x y 1 x y Vậy giá trị nhỏ S 11 -Hết - Trang 7/3 0,25 0,25 0,25