PHỊNG GD&ĐT HẠ HỊA ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2022 - 2023 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có 02 trang - Thí sinh làm thi (cả phần trắc nghiệm khách quan phần tự luận) tờ giấy thi I TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) - Chọn phương án trả lời 2 Câu Rút gọn biểu thức a b c a b c kết là: A 4ab B 4ab 4ac C 4bc D 4ab 4ac 4bc 2 Câu Tính giá trị biểu thức A 2x y 2x y xy với x y 1 ta A B C D 27 Câu Phân tích đa thức x 81 thành nhân tử ta kết 2 2 A x x x – x B x x x – x C x x 81 x x 1 D x x 1x – x Câu Cho (a 1)(b 2)(c 3) 100 a b c 6 Tính giá trị biểu thức: P (a 1)3 (b 2)3 (c 3)3 A 1000 B 100 C 600 D 300 2 Câu Tìm hệ số a; b; c để f x ax bx c chia hết cho x chia cho x 1 2 2 dư x ? A a 1; b 1; c 4 B a 1; b 2; c 4 C a 1; b 2; c 2 D a 2; b 2; c 4 Câu Cho phương trình: m x 1 5 m 1 x (ẩn x ) Phương trình cho vơ nghiệm A m B m Câu Nghiệm bất phương trình: D m 1 5x 1 x 1 D x ; x 1 3 Câu Số giá trị nguyên tham số m cho 22 m 23 để phương trình (m 9) x 3m m 3 có nghiệm A x C m 0 B x 1 C x ; x 1 A 46 B 45 C 44 D 43 60 Hai tia phân giác AD CE góc BAC Câu Cho tam giác ABC có B ACB ( D BC , E AB ) cắt I Tính ID IE ? ID 3IE A B C D 220 Các tia phân giác đỉnh C D cắt Câu 10 Cho tứ giác ABCD có A B K Số đo góc CKD là: A 90 B 80 C 110 D 70 Câu 11 Cho tứ giác ABCD có diện tích 30cm2 Các đường thẳng AB CD cắt E Gọi F G trung điểm AC BD Tính diện tích tam giác EFG ? A 6cm2 B 5cm2 C 7cm2 D 7,5cm Câu 12 Cho tam giác ABC cân A , AC 20cm, BC 24cm , đường cao AD CE cắt H Độ dài AH là: Trang 1/2 A 12cm B 7cm C 8cm D 6cm Câu 13 Cho tam giác ABC vuông A , kẻ đường cao AH Biết AH 6cm , BH 3cm Tính AC? A 120 cm B 150 cm C 180 cm D 160 cm Câu 14 Cho tam giác cân ABC có BA BC a , AC b Đường phân giác góc A cắt BC M , đường phân giác góc C cắt BA N Tính MN ? ab 2ab D a b a b Câu 15 Một hịm hình hộp chữ nhật có chiều dài 36 cm , chiều rộng 15 cm , chiều cao 16 cm Số hình lập phương cạnh cm nhiều chứa hịm bao nhiêu? A 360 B 320 C 280 D 300 A a b ab B ab a b C Câu 16 Cùng lúc, xe xuất phát từ thành phố A đến thành phố B xe khách từ thành phố B đến thành phố A Tỉ số vận tốc xe so với xe khách : Sau hai xe gặp xe giảm tốc độ 25% xe khách tăng tốc độ 25% để tiếp quãng đường lại Biết xe đến thành phố B, xe khách cách thành phố A 20km Tính độ dài quãng đường từ thành phố A đến thành phố B A 320km B 240km C 560km D 650km II TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3,5 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x y 2 b) Cho a, b số nguyên dương biết a b 2007 chia hết cho Chứng minh 4n a b chia hết cho (với n N *) Câu (3,0 điểm) 1 0 x y z 1 2023 Tính giá trị biểu thức: P x yz y zx z zy 2x 9x 6 b) Giải phương trình: 2 x 5x x x Câu (4,5 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O a) Cho x, y, z thỏa mãn kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a) Chứng minh AB AC BD AB b) Kẻ OM vng góc với CD M, từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH c) Tìm vị trí điểm C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 1 x x y y z z -HẾT -Cán coi thi khơng giải thích thêm./ Họ, tên thí sinh: SBD: Trang 2/2 PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2022-2023 Mơn: TỐN Đề thức I TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Mỗi câu 0,5 điểm Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đáp án B B A D A B A C C D D B C II TỰ LUẬN (12 điểm) Câu (3,5 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x y x y 2 b) Cho a, b số nguyên dương biết a b 2007 chia hết cho Chứng minh 4n a b chia hết cho (với n N *) Nội dung 2 2 a) x y x y 2 x y x y 8 B D C Điểm x x 1 y y 1 10 2 x 1 y 1 10 0,5 2 Vì x, y x 1; y 1 x 1 y 1 số phương 2 2 2 2 Lại có: 10 12 32 12 3 1 32 1 3 32 12 32 1 3 12 3 1 - 0,5 Do ta có bảng tính sau: 2x 1 1 1 y –1 3 3 x 0 y 1 1 Vậy cặp số nguyên x, y thoả mãn là: 3 1 3 1 3 1 1 1; ; 1; 1 ; 0; ; 0; 1 ; 2; 1 ; 2; ; 1; 1 ; 1; -b) Ta có: a 1 6, b 2007 6 *) a 1 2, b 2007 2 a b 20082 a b2 - 0,5 0,5 (1) - 0,25 0,25 a b 20083 a b 13 2008 1 2007 - 0,25 4n a b 2 *) a 1 3, b 2007 3 n n n n n 4n a b 13 1 1 3 1 3 4n a b 3 (2) Mà 2,3 1 (3) Từ (1), (2), (3) Suy ra: 4n a b6 - 0,25 0,25 0,25 Trang 3/2 Câu (3,0 điểm) 1 0 x y z 1 2023 Tính giá trị biểu thức: P x yz y zx z zy 2x 9x 6 b) Giải phương trình: 2 x 5x x x a) Cho x, y, z thỏa mãn Nội dung 1 yz xy xz 0 yz xy xz 0 a) Ta có: 0 x y z xyz Điểm yz xy xz xy yz xz - xz yz xy 0,5 Ta có: 1 1 x yz x yz yz x xy xz yz x x y z x y x y x z 1 1 y zx y zx xz y yz xy zx y y z x y z y z y x 1 1 z xy z xy xy z yz zx xy z z y x z y z y z x 1 Do đó: P x y x z y x y z z x z y 2023 0,25 y z x z x y 2023 2023 - x y x z y z b) ĐKXĐ: x 1; x 0,25 0,5 0,25 Ta thấy x 0 khơng phải nghiệm phương trình: Xét x 0 ta có : 2x 9x 6 6 3 x 5x x x 2x 2x x x 6 Đặt x t , ta có phương trình x t t 2 t 2t 9t 18 6t 24 6t 11t 10 0 t 2 x x (VN ) x (tm) 2x x x 2(tm) 3 Tập nghiệm phương trình S ; 4 0,25 0,25 0,5 0,25 Trang 4/2 Câu (4,5 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a) Chứng minh AB AC BD AB b) Kẻ OM vng góc với CD M, từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH c) Tìm vị trí điểm C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Nội dung Điểm y D x I C A M K H B O a) Chứng minh OAC ∽ DBO g.g OA AC OA.OB AC.BD DB OB AB AB AB AC AC.BD (đpcm) -2 BD AB OC AC b) Theo câu a) ta có OAC ∽ DBO( g.g ) OD OB OC AC mà OA OB OD OA Chứng minh: OAC ∽ DOC (c.g.c) ACO OCM Chứng minh: OAC OMC (ch gn) AC MC -Ta có: OAC OMC OA OM ; CA CM OC trung trực AM OC AM Mặt khác OA OM OB AMB vuông M Suy ra: OC / / BM (vì vng góc với AM) suy OC / / BI Xét ABI có OC qua trung điểm AB, song song BI IC AC - Gọi K giao điểm MH BC MH / / AI theo hệ định lý Talet ta có : MK KH IC AC BK - BC Mà IC AC MK HK BC qua trung điểm MH (đpcm) - 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 c) Tìm vị trí điểm C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Tứ giác ABDC hình thang vng nên S ABDC AC BD AB 0,5 Ta thấy AC , BD , nên theo BĐT Cô si ta có : AB AC BD 2 AC.BD 2 AB S ABDC AB -4 Dấu xảy AC BD ABDC hình chữ nhật 0,5 Trang 5/2 AC BC CD AB AO -2 Vậy C thuộc tia Ax cách điểm A đoạn OA diện tích tứ giác ABDC nhỏ Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 0,25 0,25 1 x x y y z z Nội dung 1 1 1 a b c a b c a b a b (với a, b, c dương, dấu xảy a b c ) - Điểm Trước tiên chứng minh BĐT 0,25 Áp dụng: Đặt P 1 1 1 x x y y z z x ( x 1) y ( y 1) z ( z 1) 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 x y z 1 x 1 y 1 z 1 1 1 1 1 1 1 1 ; 1 ; 1 Ta có: x 1 x y 1 y z 1 z Do đó: 1 1 1 1 1 1 P 1 -y z x y z x 1 y 1 z 1 x y z x 1 1 3 9 3 = x y z 4 x yz 4 Vậy MinP = đạt x = y = z = -2 0,25 0,25 0,25 Trang 6/2