PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN MƠN: TỐN Năm học: 2022-2023 Thời gian: 120 phút Bài 1: (3,0 điểm) x2 x x2 A 1 2x 8 x x x x x2 a) Cho biểu thức: Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun b) Cho x, y, z đơi khác thỏa mãn x + y + z = Tính giá trị biểu thức: B ( xy z )( yz x )( zx y ) (2 xy yz zx 3xyz ) Bài 2: (2,5 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy 2014 x 2015 y 2016 0 b)Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn 2a + b, 2b + c, 2c + a số phương Biết ba số phương chia hết cho 3 3 Chứng minh rằng: P a b b c c a chia hết cho 81 Bài 3: (1,0 điểm) 4 a ,b ,c 3 a + b + c = Cho ba số a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: + + ≥ a +1 b +1 c +1 Bài 4: (2,5 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D AB CD a) Chứng minh BD AB b) Kẻ OM vuông góc với CD M, từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH c) Tìm vị trí điểm C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài 5: (1,0 điểm) Năm vận động viên mang số 1; 2; 3; chia cách thành hai nhóm Chứng tỏ hai nhóm ta ln có hai vận động viên mà hiệu số họ mang trùng với số mà người nhóm mang = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Đáp án thang điểm Câ Phầ u n a Nội dung {x ≠ ĐK: x ≠ Than g điểm 0,25 Ta có: x2 x 2x2 A 1 2x 8 4x 2x x x x x2 2x x2 x x2 2 x2 2( x 4) 4(2 x) x (2 x ) x2 2x ( x 1)( x 2) x( x 2)2 x ( x 1)( x 2) 2x2 2 x2 x2 2( x 2)( x 4) 2( x 4) (4 x )(2 x) x x x x x x( x 4)( x 1) x 2( x 4) x x ( x 4) 2x 0,25 0,25 0,5 Nhận xét: A nguyên x + chia hết cho 2x => 2x + chia hết cho 2x => 0,25 chia hết cho 2x => 2x ước TH1: 2x = => x = (loại) TH2: 2x = -1 => x =- (loại) 0,5 TH3: 2x = 2=> x = (thỏa mãn) TH4: 2x = -1 => x = -1 (thỏa mãn) KL: x = 1 A có giá trị nguyên Ta có x + y + z = => x + y = -z Do đó: xy + 2z2 = xy + z2 – z(x + y) = (z – x) (z – y) yz x x – y x – z 0,5 Tương tự: zx y ( y z )( y x) => Tử số B là: –(x – y)2(y – z)2(z – x)2 HS chứng minh được: 2xy2 + 2yz2 + 2zx2 + 3xyz = (x – y)(y – z)(z – x) 0,25 => Mẫu số B là: [(x – y)(y – z)(z – x)]2 Vậy B = -1 0,25 x2 xy 2014 2014x 2014 2015 y 2014 2016 x2 xy x 2014 2015x 2014 2015 y 2014 2015 0,5 x(x y 1) 2014 2013(x y 1) (x 2014 2015)( x y 1) a 0,25 +¿ x−2015=1 ⇔ x=2016 x+ y +1=1 y=−2016 +¿ x−2015=−1 ⇔ x=2014 x+ y +1=−1 y=−2016 { { { 0,25 { { x=2016 { x=2014 Vậy phương trình có nghiệm là: y=−2016 ; y=−2016 -Vì số 2a+b, 2b+c, 2c+a số phương nên số chia dư 3 - Chứng minh x+y+z=0 x +y +z =3xyz b Vì số có số chia hết cho (2a+b)+(2b+c) +(2c+a)=3(a+b+c)⋮ nên suy số chia hết cho 0,25 0,25 0,25 0,25 Mặt khác : 2a+b=3a-(a-b) a-b⋮ Tương tự chứng minh b-c, c-a chia hết cho Suy ra: (a-b)(b-c)(c-a) ⋮ 27 0,25 Vì: (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 nên 0,25 3 P=(a-b) +(b-c) +(c-a) =3(a-b)(b-c)(c-a) ⋮ 3.27 ⋮ 81 Vì a 3 (3a 4)(a 2) 4)(a 4)(a 2) 2)2 3a3 16a 2014 28a 2014 16 0 25a 16a2 1616 2014 3a3 2014 3a 0,5 25a (a2 161)(16 2014 3a) (*) a2 16 3a 25 Chia hai vế (*) cho 25( a 1) ta a 2 b 16 3b c 16 3c ; 25 c 25 Tương tự ta có: b a b c 48 3(a b c) 30 a 1 b 1 c 1 25 25 Do đó: 0,25 Dấu “=” xảy a=b=c=2 Vậy a b c a 1 b 1 c 1 0,25 D I M C A H O B Chứng minh: ΔOACOAC∽ΔOACDBO(g -g) a OA AC OA.OB AC.BD DB OB AB AB AB CD AC.BD (dpcm) 2 BD AB 0,5 0,25 0,25 OC AC Theo câu a ta có: ΔOACOAC∽ΔOACDBO(g-g) OD OB OC AC OC OD AC OA Mà OA = OB => OD OA 0,25 +) Chứng minh: ΔOACOAC∽ΔOACDOC(c- g-c) ACOOCMACO ACOOCMOCM +) Chứng minh: ΔOACOAC= ΔOACOMC(ch -gn) AC MC b 0,25 Ta có ΔOACOAC= ΔOACOMCOA OM; CA CM OC trung trực AM OC AM, AM, Mặc khác OA = OM = OB ∆AMB vuông MAMB vng M OC // BM (vì vng góc AM) hay OC // BI +) Xét ∆AMB vng MABI có OM qua trung điểm AB, song song BI suy OM 0,25 qua trung điểm AI IC = AC MK BK KH +) MH // AI theo hệ định lý Ta-lét ta có: IC BC AC 0,25 Mà IC = AC MK = HK BC qua trung điểm MH (đpcm) Tứ giác ABDC hình thang vng S ABCD ( AC BD) AB Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cô-si ta có c AC BD 2 AC.BD 2 0,25 AB AB S ABCD AB AB OA Dấu “=” xảy AB = CD = 0,25 Vậy C thuộc tia Ax cách điểm A đoạn OA diện tích tứ giác ABDC nhỏ Ta chia số 1; 2; 3; 4; thành hai nhóm cho nhóm hiệu hai số khơng trùng với số nhóm Ta có hai số khơng thể nhóm 4-2=2 Số khơng thể nhóm với số 2-1=1 0,5 Như số phải nhóm với số Số 4-1=3 phải nhóm với số Ta có hai số nhóm; hai số nhóm cịn lại Nhưng cịn lại số 5, số nhóm 51=4 5-2=3(Mâu thuẫn).Từ suy điều phải chứng minh ========== 0,5