158 đề hsg toán 8 trung nguyên 22 23

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN MƠN: TỐN Năm học: 2022-2023 Thời gian: 120 phút Bài 1: (3,0 điểm)  x2  x   x2 A   1    2x  8  x  x  x   x x2   a) Cho biểu thức: Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị ngun b) Cho x, y, z đơi khác thỏa mãn x + y + z = Tính giá trị biểu thức: B ( xy  z )( yz  x )( zx  y ) (2 xy  yz  zx  3xyz ) Bài 2: (2,5 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x  xy  2014 x  2015 y  2016 0 b)Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn 2a + b, 2b + c, 2c + a số phương Biết ba số phương chia hết cho 3 3 Chứng minh rằng: P  a  b    b  c    c  a  chia hết cho 81 Bài 3: (1,0 điểm) 4 a  ,b  ,c  3 a + b + c = Cho ba số a, b, c thỏa mãn a b c Chứng minh rằng: + + ≥ a +1 b +1 c +1 Bài 4: (2,5 điểm) Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D AB CD  a) Chứng minh BD AB b) Kẻ OM vuông góc với CD M, từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH c) Tìm vị trí điểm C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài 5: (1,0 điểm) Năm vận động viên mang số 1; 2; 3; chia cách thành hai nhóm Chứng tỏ hai nhóm ta ln có hai vận động viên mà hiệu số họ mang trùng với số mà người nhóm mang = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Đáp án thang điểm Câ Phầ u n a Nội dung {x ≠ ĐK: x ≠ Than g điểm 0,25 Ta có:  x2  x   2x2 A   1     2x  8  4x  2x  x   x x   x2  2x   x2  x   x2     2 x2  2( x  4) 4(2  x)  x (2  x )     x2  2x   ( x  1)( x  2)   x( x  2)2  x   ( x  1)( x  2)  2x2        2 x2 x2   2( x  2)( x  4)     2( x  4) (4  x )(2  x)    x  x  x  x x  x( x  4)( x  1) x    2( x  4) x x ( x  4) 2x 0,25 0,25 0,5 Nhận xét: A nguyên x + chia hết cho 2x => 2x + chia hết cho 2x => 0,25 chia hết cho 2x => 2x ước TH1: 2x = => x = (loại) TH2: 2x = -1 => x =- (loại) 0,5 TH3: 2x = 2=> x = (thỏa mãn) TH4: 2x = -1 => x = -1 (thỏa mãn) KL: x = 1 A có giá trị nguyên Ta có x + y + z = => x + y = -z Do đó: xy + 2z2 = xy + z2 – z(x + y) = (z – x) (z – y) yz  x  x – y   x – z  0,5 Tương tự: zx  y ( y  z )( y  x) => Tử số B là: –(x – y)2(y – z)2(z – x)2 HS chứng minh được: 2xy2 + 2yz2 + 2zx2 + 3xyz = (x – y)(y – z)(z – x) 0,25 => Mẫu số B là: [(x – y)(y – z)(z – x)]2 Vậy B = -1 0,25 x2  xy  2014 2014x  2014 2015 y  2014 2016    x2  xy  x  2014 2015x  2014 2015 y  2014 2015   0,5  x(x  y  1)  2014 2013(x  y  1)    (x  2014 2015)( x  y  1)   a 0,25 +¿ x−2015=1 ⇔ x=2016 x+ y +1=1 y=−2016 +¿ x−2015=−1 ⇔ x=2014 x+ y +1=−1 y=−2016 { { { 0,25 { { x=2016 { x=2014 Vậy phương trình có nghiệm là: y=−2016 ; y=−2016 -Vì số 2a+b, 2b+c, 2c+a số phương nên số chia dư 3 - Chứng minh x+y+z=0 x +y +z =3xyz b Vì số có số chia hết cho (2a+b)+(2b+c) +(2c+a)=3(a+b+c)⋮ nên suy số chia hết cho 0,25 0,25 0,25 0,25 Mặt khác : 2a+b=3a-(a-b)  a-b⋮ Tương tự chứng minh b-c, c-a chia hết cho Suy ra: (a-b)(b-c)(c-a) ⋮ 27 0,25 Vì: (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 nên 0,25 3 P=(a-b) +(b-c) +(c-a) =3(a-b)(b-c)(c-a) ⋮ 3.27 ⋮ 81 Vì a  3 (3a  4)(a  2) 4)(a  4)(a  2) 2)2   3a3 16a  2014  28a  2014 16 0  25a  16a2 1616  2014 3a3  2014 3a 0,5  25a  (a2 161)(16  2014 3a) (*) a2 16  3a 25 Chia hai vế (*) cho 25( a  1) ta a  2  b 16  3b c 16  3c  ;  25 c  25 Tương tự ta có: b  a b c 48  3(a  b  c) 30      a 1 b 1 c 1 25 25 Do đó: 0,25 Dấu “=” xảy  a=b=c=2 Vậy a b c    a 1 b 1 c 1 0,25 D I M C A H O B Chứng minh: ΔOACOAC∽ΔOACDBO(g -g) a OA AC   OA.OB  AC.BD DB OB AB AB AB CD   AC.BD   (dpcm) 2 BD AB 0,5  0,25 0,25 OC AC  Theo câu a ta có: ΔOACOAC∽ΔOACDBO(g-g)  OD OB OC AC OC OD    AC OA Mà OA = OB => OD OA 0,25 +) Chứng minh: ΔOACOAC∽ΔOACDOC(c- g-c) ACOOCMACO  ACOOCMOCM +) Chứng minh: ΔOACOAC= ΔOACOMC(ch -gn) AC  MC b 0,25 Ta có ΔOACOAC= ΔOACOMCOA  OM; CA   CM OC trung trực AM  OC  AM, AM, Mặc khác OA = OM = OB ∆AMB vuông MAMB vng M OC // BM (vì vng góc AM) hay OC // BI +) Xét ∆AMB vng MABI có OM qua trung điểm AB, song song BI suy OM 0,25 qua trung điểm AI  IC = AC MK BK KH   +) MH // AI theo hệ định lý Ta-lét ta có:  IC BC AC 0,25 Mà IC = AC  MK = HK BC qua trung điểm MH (đpcm) Tứ giác ABDC hình thang vng S ABCD  ( AC  BD) AB Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cô-si ta có c AC  BD 2 AC.BD 2 0,25 AB  AB  S ABCD  AB AB OA Dấu “=” xảy AB = CD = 0,25 Vậy C thuộc tia Ax cách điểm A đoạn OA diện tích tứ giác ABDC nhỏ Ta chia số 1; 2; 3; 4; thành hai nhóm cho nhóm hiệu hai số khơng trùng với số nhóm Ta có hai số khơng thể nhóm 4-2=2 Số khơng thể nhóm với số 2-1=1 0,5 Như số phải nhóm với số Số 4-1=3 phải nhóm với số Ta có hai số nhóm; hai số nhóm cịn lại Nhưng cịn lại số 5, số nhóm 51=4 5-2=3(Mâu thuẫn).Từ suy điều phải chứng minh ========== 0,5