160 đề hsg toán 8 đông kinh 22 23

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS ĐƠNG KINH ĐỀ THI HSG TOÁN – NĂM HỌC 2022-2023 Bài (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a ) x  26 x  24 b) x  x  3 c) x3  x  x  4 d ) x  2015 x  2014 x  2015 Bài (6 điểm) a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến : 7  4  x y P 2 x  y Biết x  y  xy  x  y 0; y 0  b) Tính giá trị biểu thức  x    x    x    x    2015  x    x  3   x  1  3x  c) Tìm số dư phép chia biểu thức thức x  10 x  21  2x  d) Tính tổng hệ số khai triển  cho đa 2021 e) Chứng minh : A n  4n  38, n số tự nhiên lẻ f) Tìm hệ số a để ax  x  9x  Bài (7 điểm) Cho hình vng ABCD Qua A vẽ hai đường vng góc với cắt BC P R, cắt CD Q S a) Chứng minh AQR APS tam giác cân b) QR cắt PS H, M , N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật c) Chứng minh P trực tâm tam giác SQR d) Chứng minh MN đường trung trực AC Bài (3 điểm) 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 13x  y  xy  y  16 x  2015 b) Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a  b 1 Chứng minh a  b3  ab  ĐÁP ÁN Bài (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a ) x  26 x  24 5 x  20 x  x  24 5 x  x     x    x    x   b) x  x   x  x  x   x  x     x    x    x  1 3 1  1  1  1  c ) x  x  x   x    x    x  12  13  x  1 2  2  2  2  d ) x  2015 x  2014 x  2015  x  x   2015 x  2015 x  2015  x  x  1  x  x  1  2015  x  x  1  x  x  1  x  x  2015  Bài (6 điểm) g) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến :  x    x  3   x  1  3x   7  77 2  12 x  18 x  14 x  21  12 x  x  x   4 4 Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x h) Tính giá trị biểu thức P x y 2 x  y Biết x  y xy  x  y 0; y 0  x  y xy  x  xy  y 0   x  y   x  y  0 Vì x  y 0  x  y 0  x 2 y  A  2y  y  2y  y i) Tìm số dư phép chia biểu thức đa thức x  10 x  21  x    x    x    x  8  2015 cho P ( x)  x    x    x    x    2015  x  10 x  16   x  10 x  24   2015 Đặt t  x  10 x  21 t  3; t   , biểu thức P(x) viết lại : P ( x)  t    t  3  2015 t  2t  2020 Do chia t  2t  2000 cho t ta có số dư 2000 2021  2x  j) Tính tổng hệ số khai triển  2020 2020 2020 f  x    x   f  1   2.1   1 1 Gọi Vậy tổng hệ số khai triểm k) Chứng minh : A n  4n  38, n số tự nhiên lẻ A  n  1  n  3 n 2k  1,  k  N   A  2k    2k   8 , n số lẻ, đặt l) Tìm hệ số a để ax  x  9x  Theo định lý Bơ zu ta có : dư f  x  ax5  x  chia cho x  f  1 a   a  Để có phép chia hết a  0  a 4 Bài (7 điểm) Cho hình vng ABCD Qua A vẽ hai đường vng góc với cắt BC P R, cắt CD Q S Q C P D N S H B M A R e) Chứng minh AQR APS tam giác cân ADQ ABR chúng hai tam giác vng (2 góc có cạnh tương ứng vng góc) DA BD (cạnh hình vng) Suy AQ  AR nên AQR tam giác vng cân Chứng minh tương tự ta có ABP ADS f) QR cắt PS H, M , N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật AM AN đường trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN  SP AM  RQ Mặt khác : PAN PAM 45  MAN 90 Vậy tứ giác AHMN có ba góc vng nên hình chữ nhật g) Chứng minh P trực tâm tam giác SQR Theo giả thiết : QA  RS , RC  SQ nên QA RC hai đường cao SQR Vậy P trực tâm SQR h) Chứng minh MN đường trung trực AC AM  QR  MA MC Trong tam giác vuong cân AQR MA trung tuyến nên , nghĩa M cách A C Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vng SCP , ta có NA  NC nghĩa N cách A C Hay MN trung trực AC Bài (3 điểm) 2 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 13x  y  xy  y  16 x  2015 A 13 x  y  xy  y  16 x  2015  y  xy  y 13x  16 x  2015  y  y  x  1   x  1  x  12 x  2015 2  y  x  1   x    2010 x  ; y  3 Chứng tỏ A 10 , dấu xảy Min A 2010  x  ; y  3 Vậy d) Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a  b 1 Chứng minh a  b3  ab  1  1  a  b3  ab  0 2 Ta có : 1   a  b   a  b  ab   ab  0  a  b  0  a  b 1 2 2 2  2a  2b  0  2a    a   0 b 1  a ) a  b3  ab  (vì 1 1    2a   4a  2a  0   a  a   0   a   0 a   4 2   2 Từ (1) (2) ta có đpcm