PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS ĐƠNG KINH ĐỀ THI HSG TOÁN – NĂM HỌC 2022-2023 Bài (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a ) x 26 x 24 b) x x 3 c) x3 x x 4 d ) x 2015 x 2014 x 2015 Bài (6 điểm) a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến : 7 4 x y P 2 x y Biết x y xy x y 0; y 0 b) Tính giá trị biểu thức x x x x 2015 x x 3 x 1 3x c) Tìm số dư phép chia biểu thức thức x 10 x 21 2x d) Tính tổng hệ số khai triển cho đa 2021 e) Chứng minh : A n 4n 38, n số tự nhiên lẻ f) Tìm hệ số a để ax x 9x Bài (7 điểm) Cho hình vng ABCD Qua A vẽ hai đường vng góc với cắt BC P R, cắt CD Q S a) Chứng minh AQR APS tam giác cân b) QR cắt PS H, M , N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật c) Chứng minh P trực tâm tam giác SQR d) Chứng minh MN đường trung trực AC Bài (3 điểm) 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 13x y xy y 16 x 2015 b) Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a b 1 Chứng minh a b3 ab ĐÁP ÁN Bài (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a ) x 26 x 24 5 x 20 x x 24 5 x x x x x b) x x x x x x x x x x 1 3 1 1 1 1 c ) x x x x x x 12 13 x 1 2 2 2 2 d ) x 2015 x 2014 x 2015 x x 2015 x 2015 x 2015 x x 1 x x 1 2015 x x 1 x x 1 x x 2015 Bài (6 điểm) g) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến : x x 3 x 1 3x 7 77 2 12 x 18 x 14 x 21 12 x x x 4 4 Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x h) Tính giá trị biểu thức P x y 2 x y Biết x y xy x y 0; y 0 x y xy x xy y 0 x y x y 0 Vì x y 0 x y 0 x 2 y A 2y y 2y y i) Tìm số dư phép chia biểu thức đa thức x 10 x 21 x x x x 8 2015 cho P ( x) x x x x 2015 x 10 x 16 x 10 x 24 2015 Đặt t x 10 x 21 t 3; t , biểu thức P(x) viết lại : P ( x) t t 3 2015 t 2t 2020 Do chia t 2t 2000 cho t ta có số dư 2000 2021 2x j) Tính tổng hệ số khai triển 2020 2020 2020 f x x f 1 2.1 1 1 Gọi Vậy tổng hệ số khai triểm k) Chứng minh : A n 4n 38, n số tự nhiên lẻ A n 1 n 3 n 2k 1, k N A 2k 2k 8 , n số lẻ, đặt l) Tìm hệ số a để ax x 9x Theo định lý Bơ zu ta có : dư f x ax5 x chia cho x f 1 a a Để có phép chia hết a 0 a 4 Bài (7 điểm) Cho hình vng ABCD Qua A vẽ hai đường vng góc với cắt BC P R, cắt CD Q S Q C P D N S H B M A R e) Chứng minh AQR APS tam giác cân ADQ ABR chúng hai tam giác vng (2 góc có cạnh tương ứng vng góc) DA BD (cạnh hình vng) Suy AQ AR nên AQR tam giác vng cân Chứng minh tương tự ta có ABP ADS f) QR cắt PS H, M , N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật AM AN đường trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN SP AM RQ Mặt khác : PAN PAM 45 MAN 90 Vậy tứ giác AHMN có ba góc vng nên hình chữ nhật g) Chứng minh P trực tâm tam giác SQR Theo giả thiết : QA RS , RC SQ nên QA RC hai đường cao SQR Vậy P trực tâm SQR h) Chứng minh MN đường trung trực AC AM QR MA MC Trong tam giác vuong cân AQR MA trung tuyến nên , nghĩa M cách A C Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vng SCP , ta có NA NC nghĩa N cách A C Hay MN trung trực AC Bài (3 điểm) 2 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 13x y xy y 16 x 2015 A 13 x y xy y 16 x 2015 y xy y 13x 16 x 2015 y y x 1 x 1 x 12 x 2015 2 y x 1 x 2010 x ; y 3 Chứng tỏ A 10 , dấu xảy Min A 2010 x ; y 3 Vậy d) Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện a b 1 Chứng minh a b3 ab 1 1 a b3 ab 0 2 Ta có : 1 a b a b ab ab 0 a b 0 a b 1 2 2 2 2a 2b 0 2a a 0 b 1 a ) a b3 ab (vì 1 1 2a 4a 2a 0 a a 0 a 0 a 4 2 2 Từ (1) (2) ta có đpcm