Đang tải... (xem toàn văn)
UBND QUẬN ĐỐNG ĐA TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 MÔN TOÁN Ngày thi 17/01/2023 Thời gian làm bài 120 phút Bài I (5,0 điểm) 1) Cho là các số thực khác thỏa m[.]
111Equation Chapter Section 1UBND QUẬN ĐỐNG ĐA TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRƯỜNG TỘ ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC: 2022-2023 MƠN: TỐN Ngày thi: 17/01/2023 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I: (5,0 điểm) 1 3 1) Cho a, b, c số thực khác thỏa mãn a b c a b c abc Tính giá trị biểu thức P 1 a2 b2 c2 2) Tìm số thực a, b cho đa thức P( x) x x ax b chia hết cho đa thức x 3x Bài II: (5,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x x 2(3 xy y ) 2) Giải phương trình sau: 2 x 1 x x 1 2016 2017 a) 2015 b) x 1 ( x x 4) (5 x 4) Bài III: (3,0 điểm) 1) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P x 13 x 11 x2 x 1 2) Cho a, b, c số thực khác a b c 1 Chứng minh b2 a2 c2 6(ab bc ca ) 3 a c b Bài IV: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE , CF cắt H Gọi P trung điểm BC , đường vng góc với HP H cắt AB, AC R, S HD HE HF 1) Tính tổng AD BE CF 2) Chứng minh HR HS 3) Trên đoạn HB, HC lấy điểm M , N tùy ý cho HM CN Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định Bài V: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh 2cm Bên tam giác cho điểm Chứng minh điểm ln tìm điểm mà khoảng cách chúng nhỏ 1cm = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài I: (5,0 điểm) 1 3 a , b , c 1) Cho số thực khác thỏa mãn a b c a b c abc Tính giá trị biểu thức P 1 a2 b2 c2 Lời giải 1 1 9 Ta có: a b c 1 1 2 9 a b c ab bc ca 1 c a b 9 7 a b c abc Vậy: P 1 7 a b2 c 2) Tìm số thực a, b cho đa thức P( x) x x ax b chia hết cho đa thức x 3x Lời giải Theo cho: P (1) a b 0 P (2) 2a b 0 a b Giải hệ tìm được: 2 Vậy: a = -1 , b = Bài II: (5,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x x 2(3 xy y ) Lời giải Theo cho ta có: x x 6 xy y x x y ( x 1) x2 x 6 2y x x 1 x 1 * Khi x (loại) * Khi x để y Z x Z x 1 U Mà x Z x Vậy cặp số: ( x, y ) 2, ;( 3, 0); 4,1 ; 0,3 ; 1,1 ; 2, ; 5, ; 7,3 2) Giải phương trình sau: 2 x 1 x x 1 2016 2017 a) 2015 b) x 1 ( x x 4) (5 x 4) Lời giải 2 x 1 x x 1 2016 2017 a) 2015 2 x 1 x x 1 1 1 2015 2016 2017 2017 x 2017 x 2017 x 2015 2016 2017 1 (2017 x) 0 2015 2016 2017 2017 x 0 x 2017 Vậy: b) S 2017 x 1 ( x x 4) (5 x 4) x 10 x 40 x 80 x 80 x 32 0 x x 24 x x 32 x 16 0 x 0 x 2 Vậy: S 2 Bài III: (3,0 điểm) 1) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P x 13 x 11 x2 x 1 2) Cho a, b, c số thực khác a b c 1 Chứng minh b2 a2 c2 6(ab bc ca ) 3 a c b Lời giải 1) * Có P 1 x 13 x 11 3( x 2) 0 x2 x 1 x2 x 1 với x P 0 P dấu = xảy x 2 * Có P 27 x 13 x 11 25 x 40 x 16 (5 x 4) 27 0 x2 x 1 x2 x 1 với x P 27 0 P 27 dấu = xảy Vậy: MaxP 27 x x 5 MinP x 2 2 2 a2 b2 c2 a b4 c4 a b c 2 2) Ta có: c a b a c b a c b a c b a c b a b2 c2 2 2 Ta chứng minh a c b a c b 3( a 2b b a c 2b) (a b c ) 3(a 2b b a c 2b) (a b c)(a b c ) 3( a 2b b a c 2b) 0 a3 ba ac ba b3 bc ca cb c3 3a 2c 3b a 3c 2b 0 a (a c) b(b a) c(c b) 0 b2 a2 c2 6(ab bc ca ) 3 a c b Vậy a b c 1, a, b, c 1 1 c a b (a b) (b c) (a c ) a b c Dấu = xảy Bài IV: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE , CF cắt H Gọi P trung điểm BC , đường vng góc với HP H cắt AB, AC R, S HD HE HF 1) Tính tổng AD BE CF 2) Chứng minh HR HS 3) Trên đoạn HB, HC lấy điểm M , N tùy ý cho HM CN Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định Lời giải A E S F R R' N B H D M S' P C HD HE HF S HBC S HAC S HAB S ABC 1 AD BE CF S S S S ABC ABC ABC ABC 1) Ta có: 2) Lấy điểm R ', S ' trung điểm FB, EC cho PR ' PF , PS ' EC Vì FHB ∽ EHC (g.g) FHR ' ∽ EHS ' FR ' H ES ' H FR ' H SS ' H (1) Xét tứ giác HSS ' P có SHP SS ' P 90 Chứng minh SS ' H SPH (2) 1 SPH 2 SOH ' H 1 SOH SS O trung điểm SP ta có: Gọi 'H FR Chứng minh tương tự ta có RPH (3) Từ (1), (2) (3): RPH SPH Tam giác PRS có PH RS ; RPH SPH Suy ra: tam giác PRS cân P HR HS (đpcm) 3) * Khi M M ' N H Khi M H N C Gọi giao điểm hai đường trung trực đoạn HM ' CH cắt Q Q cố định Khi QM ' QH QC QHM ' QCH Khi hai điểm M , N thay đổi thỏa mãn đầu ta chứng minh QHM ' QCH (c.g.c) MQ NQ Đường trung trực đoạn MN qua điểm Q cố định Bài V: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh 2cm Bên tam giác cho điểm Chứng minh điểm tìm điểm mà khoảng cách chúng nhỏ 1cm Lời giải A D B E F C Gọi D, E , F trung điểm AB, AC , BC Khi tam giác ABC chia làm tam giác điểm chung cạnh 1cm Trong tam giác ABC có điểm theo nguyên lý Di-rich-le ln có tam giác chứa hai điểm Khi điểm có khoảng cách nhỏ Vây: Trong tam giác ABC có cạnh 2cm Bên tam giác cho điểm Trong điểm ln tìm điểm mà khoảng cách chúng nhỏ 1cm = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ... b 9 7 a b c abc Vậy: P 1 7 a b2 c 2) Tìm số thực a, b cho đa thức P( x) x x ax b chia hết cho đa thức x 3x Lời giải Theo cho: P (1) a b 0 P (2) 2a b 0 a... 2017 x 0 x 2017 Vậy: b) S 2017 x 1 ( x x 4) (5 x 4) x 10 x 40 x 80 x 80 x 32 0 x x 24 x x 32 x 16 0 x 0 x 2 Vậy: S 2 Bài