PHỊNG GD&ĐT HẠ HỒ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022- 2023 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đề thi có trang) Ghi chú: - Thí sinh lựa chọn đáp án phần trắc nghiệm khách quan có lựa chọn - Thí sinh làm thi (cả phần trắc nghiệm tự luận) tờ giấy thi (không làm đề thi) I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu Cho số thức x, y thỏa mãn x x 2022 biểu thức A x y A B y C 2021 y 2022 2022 Giá trị D 2022 x 5 số nguyên? x 1 A B C D Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : y mx 2m 1, Câu Có giá trị x để biểu thức P d : y x (với m tham số m 0 ) Biết tham số m thay đổi giao điểm m hai đường thẳng cách điểm cố định khoảng cách khơng đổi Khoảng cách A 13 ñv B 13 ñv C 11 ñv D 11 ñv Câu Giá trị m để ba đường thẳng d1 : y x 2; d : y 2 x 7; d : y 2mx đồng qui 11 A B 10 11 C D m4 11 mx y 3 Có giá trị nguyên m để hệ phương Câu Cho hệ phương trình: 3 x my 4 trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x > y < ? A B C D Câu Cho đường thẳng (d) : y mx parabol (P): y x cắt hai điểm phân biệt A B Tất giá trị m để AB = 10 A B C Trang 1/3 D Câu Giá trị m để phương trình (m 1) x 2(m 1) x m 0 có nghiệm phân biệt âm 1 A m B m C m m D m 2 2 Câu Tìm m để phương trình x m x m 0 có hai nghiệm x1 , x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền 26 D m 8 m A m m 2 B m 2 C m Câu Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi M , N trung điểm BO, AO Lấy điểm F cạnh AB cho tia FM cắt cạnh BC E Tính BA BC BF BE A B C D Câu 10 Cho hình thoi ABCD Gọi R1 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, R2 bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Độ dài cạnh hình thoi ABCD theo R1 R2 A R1R 2 R R 2 B 2R1R 2 R R 2 C 2R1R 2 R R 2 D R1R R12 R 22 Câu 11 Một hình hộp chữ nhật có chiều cao 3m, đáy hình vng cạnh 2m Một hình chóp tứ giác có chiều cao 3m, diện tích xung quanh diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật Độ dài cạnh đáy hình chóp A m B 3 m C m D m Câu 12 Cho hình vng ABCD cạnh a tam giác BCE ngồi hình vng AE cắt BC I Độ dài BI a A a B a C D a Câu 13 Cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB,CD , đường chéo AC vng góc với sin B cos B sin B cos B A B C D 5 600 Bán kính r đường trịn Câu 14 Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC = a B cạnh bên BC Biết AD = 6a, AC = 8a Tỉ số nội tiếp tam giác ABC A r a 3 B r a 3 C r a 3 D r a 3 4 Câu 15 Cho O; R hai dây AB, CD Biết AB 2CD khoảng cách từ O đến dây CD gấp đôi khoảng cách từ O đến dây AB Độ dài dây AB A R B 2R C 4R Trang 2/3 D R Câu 16 Một sinh viên gia đình gửi tiết kiệm vào ngân hàng 100000000 đồng với lãi suất 0,5% tháng Nếu tháng sinh viên rút số tiền vào ngày ngân hàng tính lãi hàng tháng rút tiền (làm tròn đến đồng) để năm sau số tiền vừa hết A 2348500 B 2348501 C 2348502 D 2348503 B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy y y 3 b) Cho a, b, c thỏa mãn: 2a b;2b c 2c a số phương Chứng minh rằng: Nếu 2a b 2b c 2c a 9 a b b c c a 27 Câu (4,0 điểm) a) Cho đa thức P( x) x ax bx cx d Biết P(1) 3, P(2) 6, P(3) 11 Tính giá trị biểu thức Q 4.P(4) P( 1) b) Giải phương trình: x2 +10x + 21 = x + + x + - x x y y c) Giải hệ phương trình: 2 x 3( y 1) Câu (4,0 điểm) Từ điểm P nằm ngồi đường trịn O; R kẻ hai tiếp tuyến PA PB (với A B tiếp điểm) Gọi H chân đường vng góc hạ từ A đến đường kính BC đường trịn (O; R) a) Chứng minh rằng: PC qua trung điểm AH b) Cho OP m Tính độ dài AH theo R m c) Đường thẳng d qua P cho khoảng cách từ O đến đường thẳng d R , đường thẳng vng góc với PO O cắt tia PB M Xác định vị trí điểm P đường thẳng d để diện tích tam giác POM đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ theo R ? Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3abc a2 b2 c2 1 Chứng minh rằng: ca 2c2 ab2 2a2 bc2 2b2 HẾT Họ tên thí sinh: …………………………………………… Số báo danh: ……… Cán coi thị khơng giải thích thêm PHỊNG GD&ĐT HẠ HỒ ĐÁP ÁN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Trang 3/3 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022- 2023 Mơn: Tốn (Đáp án chấm thi có trang) ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC I PHẦN TRẮC NGHIỆM Mỗi câu cho 0,5 điểm 1-A 2-C 9-D 10-B II PHẦN TỰ LUẬN CẤU 1-a 3-A 11-C 4-B 12-B 5-C 13-D 6-A 14-B 7-B 15-C ĐÁP ÁN SƠ LƯỢC Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy y y 3 8-B 16-D THANG ĐIỂM 1,5 2 2 Ta có x xy y y 3 x y y y 3 0 2 y 1 y 3 x y mà x y 0 nên y 1 y 3 0 0,5 y 1 Mà y nên y = -3; -2; -1; 0; - Với y = -3, thay vào phương trình ban đầu ta tìm x = - Với y = -2, thay vào phương trình ban đầu ta tìm x = (loại) - Với y = -1, thay vào phương trình ban đầu ta tìm x = 3; x = -1 - Với y = 0, thay vào phương trình ban đầu ta tìm x = (loại) - Với y = 1, thay vào phương trình ban đầu ta tìm x = - Vậy x; y 3; 3 , 3; 1 , 1; 1 , 1;1 1-b 0,75 0,25 Cho a, b, c thỏa mãn: 2a b;2b c 2c a số phương Chứng minh rằng: Nếu 2a b 2b c 2c a 9 1,5 a b b c c a 27 2a b3 Từ 2a b 2b c 2c a 9 2b c 3 2c a 3 Giả sử 2a b3 Ta có 2a b 2b c 2c a 3 a b c 3 2b c 2c a 3 mà 2b c 2c a số phương 2b c3 a b3 Nên 2c a 3 b c3 a b b c c a 27 2a b3 c a 3 2-a Cho đa thức P( x) x ax bx cx d Biết P(1) 3, P(2) 6, P(3) 11 Tính giá trị biểu thức Q 4.P(4) P( 1) Đặt R( x) P( x) x R(1) 0; R(2) 0; R(3) 0 Trang 4/3 0,5 0,5 0,5 1,0 0,25 Vì bậc P x hệ số cao nên R x có bậc hệ số cao Do 0,5 R( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x m) P( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x m) x 2-b Vậy Q 4[3.2 1(4 m) 18] ( 2)( 3)( 4)( m) 195 Giải phương trình: x2 +10x + 21 = x + + x + - 0,25 1,5 x2 +10x + 21 = x + + x + - (*) ìï x2 + 10x + 21 ³ ïï Û x ³ - Điều kiện: ïíï x + ³ ïï x + ³ ïỵ ( *) Û ( x + 3) ( x + 7) Û Û x+3 ( ( )( é x +7 = ê Û ê Û ê x+3=2 ë 2-c x +3- x +7 +6= 0,25 ) ( 0,25 ) x +7- - x +7- 0,25 x+7- = ) x +3- = 0,25 éx = ê êx = ê ë 0,25 So với điều kiện, nghiệm phương trình x = ; x = x x y y Giải hệ phương trình: 2 x 3( y 1) x x y y x y 8 x y 2 x 3( y 1) x y 6 6( x y ) (8 x y )( x y ) x y 6 2 x3 24 xy x y 0 x y 6 Nếu x 0 y (loại) 6( x y ) 8 x 24 xy x y y 2 x y 6 0,25 1,5 0,5 2 x( x 12 y xy ) 0 2 x y 6 x 12k x kx 0 x (1 12k k ) 0 Nếu x 0 , đặt y kx 2 2 x 3k x 6 x (1 3k ) 6 k 12k k 0 k x (1 3k ) 6 Trang 5/3 0,25 0,25 x 3 + Với k y 1 78 x 13 + Với k y 78 13 78 78 78 78 ; ; Vậy ( x, y ) 3;1 ; 3; 1 ; ; 13 13 13 13 Từ điểm P nằm ngồi đường trịn O; R kẻ hai tiếp tuyến PA PB (với A B tiếp điểm) Gọi H chân đường vng góc hạ từ A đến đường kính BC đường tròn (O; R) a) Chứng minh rằng: PC qua trung điểm AH b) Cho OP m Tính độ dài AH theo R m c) Đường thẳng d qua P cho khoảng cách từ O đến đường thẳng d R , đường thẳng vng góc với PO O cắt tia PB M Xác định vị trí điểm P đường thẳng d để diện tích tam giác POM đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ theo R ? 0,25 0,25 d 4,0 L A C N H P K O B M 3-a a) Chứng minh rằng: PC qua trung điểm AH Chứng minh PC cắt AH trung điểm AH Gọi N giao AH PC OA=OB=R; AP=BP OP đường trung trực AB hay OP AB K Xét hai tam giác vng AHC POB có AH CH AHC POB ( 900 ABC ) AHC # POB ( g g ) PB OB Xét CPB có AH / / BP NH CH NH CH AH 2 NH AN NH PB CB PB OB Trang 6/3 1,5 0,5 0,5 0,5 3-b b) Cho OP m Tính độ dài AH theo R m Xét tam giác ABC vng A có đường cao AH ta có: NH OB AH HB.HC R CH CH ; CH 2 ; AH 2 NH PB AH OB AH OB AH R PB PB AH PB R.PB AH OB AH OB 2 R PB AH AH R 1,5 0,5 0,5 2R2 m2 R2 m c) Đường thẳng d qua P cho khoảng cách từ O đến đường thẳng d R , đường thẳng vng góc với PO O cắt tia PB M Xác định vị trí điểm P đường thẳng d để diện tích tam giác POM đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ theo R ? 1 Ta có S MOP MP.OB PB BM R R PB.BM 2 Mà PB.BM R suy S MOP R AH m R R 2 R m R AH 3-c 0,5 1,0 0,25 0,25 Dấu “=” xảy PB BM R PBO vuông cân B OP R Vậy diện tích tam giác OPM nhỏ R OP R Khi P chân đường vng góc hạ từ O đến đường thẳng d Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3abc 0,25 a2 b2 c2 1 Chứng minh rằng: ca 2c2 ab2 2a2 bc2 2b2 1 Từ giả thiết ab bc ca 3abc ta a b c 1 Đặt x ; y ; z Khi ta x y z a b c 1,0 0,25 0,25 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x2 y2 z2 1 x 2y2 y 2z2 z 2x2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x2 x2 2xy2 2xy2 2xy2 2xy2 23 x2y2 x x x x 2y2 x 2y2 x y2 y2 23 xy4 Áp dụng tương tự ta 0,25 y2 22 y2z2 z2 22 z2x2 y ; z 3 y 2z2 z 2x2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta x2 y2 z2 xyz 2 x 2y y 2z z 2x x2y2 y2z2 z2x2 Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có Trang 7/3 0,25 xy xy 2xy 3 yz yz 2yz 1 2 yz 3 zx zx 2zx 2 zx 3 x2y2 Suy x2y2 y2z2 z2x2 Do ta xy yz zx 2 x y z 3 x2 y2 z2 2.3 3 1 2 x 2y y 2z z 2x Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a b c 1 HẾT Trang 8/3 0,25