Thông tin tài liệu
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2022 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI : TỐN (Vịng II) Thời gian làm : 150 phút (không kể giao đề) Câu I (3,5 điểm) 1) Với a , b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 1 + + ÷= a + bc b + ca c + ab : abc ( a + bc ) ( b + ca ) ( c + ab ) 1) Tìm tất cặp số nguyên dương ( x + y ) ( 5x + y ) 2) Với a , b, c Chứng minh x + xy + y = 3 x + y + = 2 x + y + 2) Giải hệ phương trình Câu II (2,5 điểm) 1 + + = a b c ( x; y ) thỏa mãn đẳng thức : + xy = ( x + y ) + x y + xy 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện sau c ≤ b < a ≤ 3; b + 2a ≤ 10; b2 + 2a + 2c ≤ 14 2 3 ( a + 1) ( b + 1) + 4ab ≤ 2a + 2b + 2a + 2b Tìm giá trị lớn biểu thức: P = 4a + b + 2b + 4c 4 Câu III (3 điểm) Cho tam giác tam giác CA, CB ABC ABC Gọi Giả sử tứ giác nhọn, không cân, nội tiếp đường trịn (O) Điểm E, F BCEF hình chiếu vng góc nội tiếp đường trịn 1) Chứng minh AP vng góc với 2) Chứng minh AP = 2OK BC ( K) P P nằm cạnh 3) Đường thẳng qua P vng góc với Chứng minh đường tròn tâm AP A ∆KQR cắt đường tròn hai điểm Q, R bán kính AP tiếp xúc với đường trịn ngoại tiếp Câu IV (1 điểm) Cho điểm Ak Ak +1 dài đoạn A1 A2 , , A29 A30 A1 , A2 , , A30 theo thứ tự nằm đường thẳng cho độ k (đơn vị dài), với k = 1, 2, , 29 Ta tô màu đoạn thẳng màu (mỗi đoạn tô màu) Chứng minh với cách tô màu,, ta chọn hai số nguyên dương Ai Ai +1 cho hai đoạn nguyên dương A j A j +1 tô màu i− j ≤ j ≤ i ≤ 29 bình phương số ĐÁP ÁN Câu I (3,5 điểm) 1) Với a , b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện 1 1 + + ÷= a + bc b + ca c + ab minh : Từ giả thiết suy ab + bc + ca = abc 1 + + = a b c abc ( a + bc ) ( b + ca ) ( c + ab ) Ta có : a a = = a + bc a + abc ( a + b ) ( a + c ) Tương tự, ta có: VT = b c = ; = b + ca ( b + c ) ( b + a ) c + ab ( c + a ) ( c + b ) a ( b + c) + b ( c + a) abc = ( 1) ( a + b) ( b + c) ( c + a ) ( a + b) ( b + c) ( c + a ) , Và : Từ suy Chứng ( abc ) 2 ( a + b) ( b + c ) ( c + a ) VP = = abc ( a, b, c > ) ( ) ( a + b) ( b + c) ( c + a) Từ (1), (2) suy điều phải chứng minh 2) Giải hệ phương trình Điều kiện : 2x + y + ≥ 2 2 x + xy + y = 3 x + y + = 2 x + y + Nhân vào phương trình thứ hệ ta có : ( x + xy + y ) − 24 = Phương trình thứ hai hệ tương đương với : 3 x + y + ≥ ( x + y + 1) − ( x + y + ) = Ta viết lại thành hệ : 3 x + y + ≥ ( 1) 2 ( x + 3xy + y ) − 24 = ( ) ( x + y + 1) − ( x + y + ) = ( ) Lấy phương trình (3) trừ phương trình (2), vế với vế, ta thu : ( x − 1) = ⇔ x =1 y =1 ⇒ x + xy + y = ⇔ y + y − = ⇔ y = −4( ktm) Vậy ( x; y ) = ( 1;1) Câu II (2,5 điểm) 1) Tìm tất cặp số nguyên dương ( x + y ) ( 5x + y ) + xy = ( x + y ) + x y + xy 3 Ta biến đổi sau : ( x + y ) ( x + y ) + xy = ( 5x + y ) + x y + xy ⇔ ( x + y − 1) ( x + y ) = xy ( x + y − 1) ( x; y ) 3 thỏa mãn đẳng thức : Vì x, y hai số nguyên dương nên x + y >1 Do đó, ta suy : ( 5x + y ) x Do đó, ta suy lập phương số nguyên dương.Đặt ( 5z Nếu + y ) = ( zy ) ⇔ z + y = zy ⇔ y ( z − 1) = z z =1 3 (ktm) Xét Từ ta tìm z ≠1 Khi đó, ta có z ∈ { 2;6} = xy x = z3 , ta có: z M( z − 1) Vì z ≡ ( mod z − 1) ⇒ 5Mz − Suy : ( z; y ) ∈ { ( 2;40 ) ; ( 6; 216 ) } ⇒ ( x; y ) ∈ { ( 8, 40 ) ; ( 216; 216 ) } 2) Với a , b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện sau c ≤ b < a ≤ 3; b + 2a ≤ 10; b2 + 2a + 2c ≤ 14 2 3 ( a + 1) ( b + 1) + 4ab ≤ 2a + 2b + 2a + 2b Tìm giá trị lớn biểu thức: Ta có : (a P = 4a + b4 + 2b + 4c + 1) ( b + 1) + 4ab − 2a ( a + 1) − 2b ( b + 1) ≤ ⇔ ( a + − 2b ) ( b + − 2a ) ≤ ⇔ b + ≤ 2a P = ( 2a ) + ( b + 1) + ( 2c ) − 2 Ta có : Do : P − 76 = ( 2a − ) ( 2a + ) + ( b − ) ( b + ) + ( 2c − ) ( 2c + ) 2 = ( 2a − b ) ( 2a − ) + ( b − 2c + ) ( 2a + b − 10 ) + ( 2c + ) ( 2a + 2c + b − 14 ) ≤ P ≤ 76 Do Vậy Câu III (3 điểm) Max P = 76 ⇔ ( a, b, c ) = ( 3, 2, ) Cho tam giác nằm tam giác cạnh CA, CB ABC ABC nhọn, khơng cân, nội tiếp đường trịn (O) Điểm Gọi E, F Giả sử tứ giác hình chiếu vng góc BCEF nội tiếp đường tròn ( K) P P 1) Chứng minh AP vng góc với Do tứ giác Để ý Ta có BFEC ∠OAC = 90° − ∠B Gọi FB, ta có OA ⊥ EF (do AP đường kính AP = 2OK cắt (O) điểm thứ hai J Gọi S,T trung điểm ∠JFB = 180° − ∠JFA = 180° − ∠JEA = ∠JEC Đồng thời, ( AEF ) ) ∠PAB + ∠B = 90° ⇒ AP ⊥ BC Chứng minh ( AEF ) ∠AEF = ∠ABC dẫn đến ∠OAC = 90° − ∠AEF = ∠PAF Do dẫn đến 2) nội tiếp dẫn đến BC ∠JBF = ∠JCE , : ∆JFB ∽ ∆JEC EC ⇒ ∆JTF ∽ ∆JES ( c.g c ) ⇒ ∠JTA = ∠JSA J , T , S , A, K Do Dẫn đến J , P, K thẳng hàng đường thẳng qua X đối xứng Do ý đến K 3) thuộc đường trịn PECX hình thang vng mà trung điểm PX hay AP = 2OK AP Đường thẳng qua P vng góc với Chứng minh đường trịn tâm A ∆KQR Ta có Ta có K AG = AP dẫn đến trung điểm PX qua O đường trung bình nên dẫn cắt đường trịn hai điểm Q, R bán kính AP tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp Gọi G đối xứng với P qua J ∠AJP = 90° SK A hay G thuộc ( A; AP ) PX PJ = PK PJ = PK PJ = PK PG = PQ.PR G ∈ ( KQR ) (do tứ giác JRXQ nội tiếp (O)) Suy Câu IV (1 điểm) Cho điểm độ dài đoạn A1 , A2 , , A30 Ak Ak +1 theo thứ tự nằm đường thẳng cho k (đơn vị dài), với k = 1, 2, , 29 Ta tô màu đoạn A1 A2 , , A29 A30 thẳng màu (mỗi đoạn tô màu) Chứng minh với cách tô màu,, ta chọn hai số nguyên ≤ j ≤ i ≤ 29 dương cho hai đoạn bình phương số nguyên dương Gọi di màu Phản chứng Ai Ai +1 Ai Ai +1 ; i = , 29, d i ∈ { 1; 2;3} di ≠ d j ∀ i − j số phương Aj Aj +1 tơ màu i− j di ≠ di +9 , di ≠ di +16 ≠ di + 25 ; di +9 ≠ di + 25 ; d i +16 ≠ d i + 25 Mà di ; di +9 , d i +16 ; di +25 có hai số nhau, nên d1 = 1, d = 2; Khơng tính tổng qt, giả sử • Nếu Có di +9 = d i +16 , ∀i ≥ d10 ≠ d1 = d10 = = d i +9 ⇒ d17 = d i +16 = d1+9 = d10 = d 26 ≠ d17 = 3; d 26 ≠ d1 ⇒ d 26 = d11 ≠ d10 = 3; d11 ≠ d = ⇒ d11 = d 27 ≠ d 26 = 2, d 27 ≠ d11 = ⇒ d 27 = ⇒ d 20 = d 26 = ⇒ d19 = 2, d 20 = ⇒ d13 = Suy • d3 = d17 Nếu (mâu thuẫn) d10 = ⇒ d 24 = d17 = d10 = d 26 ≠ d17 = 2, d 26 ≠ d1 = ⇒ d 26 = = d19 = d12 Suy d11 = d11 ≠ d12 = 3; d11 ≠ d10 = ⇒ d 25 = d18 = d11 = d3 ≠ d12 , d ≠ d ⇒ d3 = ⇒ d 28 ≠ d = 1, d 28 ≠ d 29 = ⇒ d 28 = ⇒ d 28 = d 29 = d17 = d10 = Vậy tồn i, j d10 = , ta có điều mâu thuẫn i− j cho di = d j số phương
Ngày đăng: 09/05/2023, 06:35
Xem thêm:
