SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỊA BÌNH KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Môn : TOÁN (DÀNH CHO CHUYÊN TIN) Thời gian làm : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I (3,0 điểm) A= 1) Rút gọn biểu thức: 1 + 5− 5+ y= 2) Vẽ đồ thị hàm số x x − = 2x −1 3) Giải phương trình Câu II (3,0 điểm) 1) Cho đường thẳng ( d ) : y = ax + b A ( −1; ) Tìm a b để đường thẳng ( d ’) : y = 5x + ( d) qua điểm song song với đường thẳng 2) Để hưởng ứng ngày Tết trồng cây, tổ có 13 học sinh nam nữ tham gia trồng 80 Biết tổng số mà bạn nam trồng tổng số mà bạn nữ trồng được, số mà bạn học sinh nam trồng nhiều số bạn nữ trồng Tính số học sinh nam, học sinh nữ tổ (số bạn nam trồng số bạn nữ trồng nhau) x2 + 3) Cho số thực x dương thoả mãn điều kiện: A = x3 + x3 =7 x2 Tính giá trị biểu thức: Câu III (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm (O) điểm A cố định nằm ngồi đường trịn (O) Vẽ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C tiếp điểm), vẽ cát tuyến di động AMN (AM < AN) với (O) Gọi E trung điểm MN, CE cắt (O) điểm thứ hai I 1) Chứng minh rằng: Năm điểm A, B, O, E, C nằm đường tròn 2) Chứng minh rằng: BI song song với MN 3) Chứng minh rằng: EB = EI 4) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN đạt giá trị lớn Câu IV (1,0 điểm) < a, b < a − ab + b − ab ≤ 1) Cho , chứng minh rằng: x − + − x = x − x + 18 2) Giải phương trình: ĐÁP ÁN Câu I (3,0 điểm) A= 1) 1 5+ 3+ 5− + = 5− + ( − 3)( + 3) A= A= Rút gọn biểu thức: 1 + 5− 5+ = 5−3 y= 2) Vẽ đồ thị hàm số Hoc sinh tự vẽ x x − = 2x −1 + Nếu + Nếu x≥2 x 0) ữ ỗ ữ ỗ ố xứ x ổ 1ữ ửổ2 ữ ỉ3 ÷ ỉ 1ư ỉ3 ỗ ị 21 = ỗ x+ ữ x + 2ữ =ỗ x + 3ữ +ỗ x+ ữ =ỗ x + 3ữ ữ ữ+ ỗ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ố ố ứ x ứỗ x ứ ố x ứ ố xứ ỗ x ữ ị A = x3 + = 18 x3 Câu III (3,0 điểm) Cho đường tròn tâm (O) điểm A cố định nằm ngồi đường trịn (O) Vẽ tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C tiếp điểm), vẽ cát tuyến di động AMN (AM < AN) với (O) Gọi E trung điểm MN, CE cắt (O) điểm thứ hai I 1) Chứng minh rằng: Năm điểm A, B, O, E, C nằm đường trịn Ta có OB ⊥ AB Tương tự ta có ( Tính chất tiếp tuyến bán kính) ⇒ ·ABO = 900 ·ACO = 900 Suy tứ giác ABOC nội tiếp (Tổng hai góc đối Vì E trung điểm MN nên 1800 )(1) OE ⊥ MN ⇒ ·AEO = 900 Suy tứ giác AEOB nội tiếp (Tổng hai góc đối 1800 )(2) Từ (1) (2) suy điểm A, B, O, C, E thuộc đường trịn đường kính AO 2) Chứng minh rằng: BI song song với MN Trong đường trịn đường kính AO ta có: ·ABC = ·AEC Mà ·ABC = BIC · cung AC ) 3) ( góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn ⇒ ·AEC = · BIC ⇒ BI / / MN Chứng minh rằng: Ta có Mà (cùng chắn cung AC) · · IBE = BEA EB = EI (so le trong) · · · BEA = BCA = BIC suy · · IBE = BEA nên EB = EI 4) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN đạt giá trị lớn BI / / MN ⇒ BI / / AN ⇒ S AIN = S ABN ( có chung đáy AN chiều cao hạ từ đỉnh B đỉnh I nhau) ⇒ S AIN = S ABN = Kẻ NK vng góc với đường thẳng AB Ta có AB khơng đổi Mà ⇒ S AIN AB.NK đạt giá trị lớn NK đạt giá trị lớn NK ≤ NB ≤ R ⇒ NK max = R N đối xứng với B qua O Câu IV (1,0 điểm) < a, b < a − ab + b − ab ≤ 1) Cho , chứng minh rằng: a +1− b a − ab = a − b ≤ < a, b < Vì nên b − ab = b − a ≤ Tương tự ta có a − ab + b − ab ≤ Do ĐK: b +1− a a +1− b b +1− a + =1 2 2) Giải phương trình: 3≤ x≤5 (đpcm) x − + − x = x − x + 18 a + b ≤ 2(a + b ), ∀a, b∈ R Học sinh chứng minh được: x − + − x ≤ 2(x − + − x) = 2, ∀x : ≤ x ≤ Áp dụng ta x − x + 18 = (x − 4) + ≥ 2, ∀x ∈ R Ta có Do phương trình cho tương đương với KL … x − + − x = ⇔x=4 x − x + 18 =