Phan Hòa Đại Đáp án đề thi THCS Quang Trung SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021 2022 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Đề chính thức Môn thi Toán ( Chuyên toán t[.]
Phan Hòa Đại Đáp án đề thi SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH Đề thức THCS Quang Trung KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021-2022 TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN Mơn thi: Toán ( Chuyên toán-tin ) Ngày thi: 4/6/2021 Thời gian làm bài: 150’ Bài 1: (2đ) x− y x+ y 1 1 1.Cho biểu thức : A = − − Tính giá trị biểu thức A với : x − y x y x+ y x = 2021 + 505 ; y = = 2021 − 505 Cho số thực a,b,c ≠ a+b+c ≠ thỏa mãn Chứng minh a 2021 + b 2021 + c 2021 1 1 + + = a b c a+b+c = 2021 2021 a + b + c 2021 Bài 2: (2,5 đ) Cho tập hợp A gồm 21 số tự nhiên khác thỏa mãn tổng 11 số lớn tổng 10 số lại Biết số 101 102 thuộc tập hợp A Tìm số cịn lại tập hợp A Tìm số nguyên dương x cho x − x + 13 số phương Bài 3: (1,5 đ) 10 2 xy − y + x + y = Giải hệ phương trình: 3y + − y + + 2x −1 = Bài 4: (3 đ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, D điểm thuộc cạnh BC ( D khác B C) Gọi M,N trung điểm cạnh AB,AC Đường thảng MN cắt (O) P Q ( theo thứ tự P,M,N,Q) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt AB I (khác B) Các đường thẳng DI AC cắt K a)Chứng minh điểm A,I,P,K nằm đường tròn b) Chứng minh : QA PD = QB PK c) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP G ( khác P) Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC E CMR D di chuyển đoạn BC tỉ số CD khơng đổi CE Bài 5: Cho a, b hai số nguyên dương thỏa mãn a + 2b ≥ Tính GTNN biểu thức: 3a + a 2b + ab + ( + a ) b3 P= ab HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (2đ) 1.Vì= x 2021 + 505= ;y ( 2021 + 505 )( 2021 − 505=) xy + y ) − ( x + xy + y ) y − x xy = = = 2021 − 505 ⇒ = xy x− y x+ y 1 1 − Do đó: : A = − = x+ y − x y x y Ta có: (x − x− y xy xy 1 1 ab + bc + ca += + ⇔ = ⇔ ( ab + bc + ca )( a + b + c ) = − abc a b c a+b+c abc a+b+c ⇔ ab ( a + b ) + bc ( a + b ) + ca ( a + b ) + abc + bc + c a − abc = Trang xy Phan Hòa Đại Đáp án đề thi THCS Quang Trung ⇔ ab ( a + b ) + bc ( a + b ) + ca ( a + b ) + c ( a + b ) =0 ⇔ ( a + b ) ( ab + bc + ca + c ) =0 a = −b ⇔ ( a + b ) b ( a + c ) + c ( a + c ) =0 ⇔ ( a + b )( b + c )( c + a ) =0 ⇔ b =−c c = − a 1 1 1 Nếu a=-b thì: a 2021 + b 2021 = 0; 2021 + 2021 = ⇒ 2021 + 2021 + 2021 =2021 2021 2021 =2021 a b a b c a +b +c c 1 1 Tương tự b=-c c=-a , ta có : 2021 + 2021 + 2021 = 2021 2021 a b c a + b + c 2021 Bài 2: (2,5 đ) 1.Giả sử A = {a1 ;a ;a 3; ;a 21} với a1 ;a ;a 3; ;a 21 ∈ N a1 < a < a < < a 21 Theo giả thiết ta có a1 + a + a + + a11 > a12 + a13 + + a 21 ⇔ a1 > a12 − a + a13 − a + + a 21 − a11 (1) Mặt khác với x; y ∈ N x < y y ≥ x + = > a12 − a ≥ 10, a13 − a ≥ 10, , a 21 − a11 ≥ 10 (2) Nên từ (1) suy a1 > 10+10+ +10 = 100 => a1 =101 (vì 101 ∈ A) => 101 > a12 − a + a13 − a + + a 21 − a11 ≥ 100 = > a12 − a + a13 − a + + a 21 − a11 = 100 Kết hợp với (2) = > a12 − a = a13 − a == a 21 − a11 = 10 (3) ⇒ 10 = a12 − a = (a12 − a11 ) + (a11 − a10 ) + + (a − a ) ≥ 10 ⇒ a12 − a11 =a11 − a10 = =a − a =1 (4) Ta có a1 =101 mà 102 ∈ A => a =102 Kết hợp với (3) (4) suy A = {101;102;103; ;121} Tìm số nguyên dương x cho x − x + 13 số phương (k ∈ N ) ⇔ x − x + 52 =4k ⇔ ( x − 1) − 4k =−51 ⇔ ( x − + 2k )( x − − 2k ) =−51 4k nên x − − 2k < x − + 2k có tính Vì x, k ∈ N * ( x − + 2k ) − ( x − − 2k ) = Với x ∈ N * ta có: x − x + 13 số phương ⇔ x − x + 13 = k 2 2 chẵn lẻ Do ta có trường hợp sau 2x-1-2k -51 2x-1+2k x -12 (Loại) k 2 -1 51 13 13 -17 -3 (Loại) -3 17 Vậy số nguyên dương x cần tìm là: {4;13} Bài 3: (1,5 đ) 10 (1) 2 xy − y + x + y = Giải hệ phương trình: ( 2) 3y + − y + + 2x −1 = Đặt t = x − ≥ ta có: (1) ⇔ yt + t + y = ⇔ ( t+ y ( ĐK: x ≥ ) ;y ≥0 ) = ⇔ t + y = ⇔ t = 3− y Thế vào (2) , ta được: ( 2) ⇔ 3y + − y +1 + t = ⇔ 3y + − y +1 + − y = Trang Phan Hòa Đại ⇔ ( Đáp án đề thi ) ( ) 3y + − y + − y +1 = ⇔ THCS Quang Trung 4− y − 2y + =0 3y + + y + y +1 ⇔ (4 − y) + = y + + y + y + ⇔ 4− y + > 0 Vi 3y + + y + y +1 ⇔ y= (TM ) ⇒ x − = − y = ⇔ x − = ⇔ x = 1(TM ) Vậy HPT có nghiệm (x,y)=(1;4) Bài 4: (3 đ) a)Chứng minh điểm A,I,P,K nằm đường tròn = PBC (Cùng bù với CAP ) Vì tứ giác APBC nội tiếp đường tròn (O) nên: KAP = PBC (Cùng bù với PID ) Vì tứ giác APBC nội tiếp đường tròn (O) nên: KIP = KIP => tứ giác APBC nội tiếp Suy KAP b) Chứng minh : K QA PD = QB PK PD PB PK PA PB NQ > = ∆ PAB đồng dạng với ∆ NAQ (g-g) = PA NA PB NQ Mà NA=NC (gt) = > =( ) PA NC NQ QA > =( 3) ∆ ∆ NAQ đồng dạng với ∆ NPC (g-g) = NC PC PD QA Từ (1) ;(2) (3) suy = ( 4) PK PC A Ta có: ∆ PKD đồng dạng với ∆ PAB (g-g) = > =(1) I Q N P M O B C D Ta có MN đường trung bình tam giâc ABC =>PQ//BC Trong đường trịn (O) có PQ//BC => BCQP hình thang cân => PC= QB (5) Từ (4) (5) suy PD QA = PK QB c) Đường thẳng CP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP G ( khác P) Đường thẳng IG cắt đường thẳng BC E CMR D di chuyển đoạn BC tỉ số Ta có: ∆ PAB đồng dạng với ∆ NAQ (c.m.t) ∆ NAQ đồng dạng với ∆ NPC (c.m.t) CD không đổi CE = suy ∆ PAB đồng dạng với ∆ NPC ⇒ PCN PBA = PGI Tong đường tròn ngoại tiêp ∆ BDP có PBA KD = PGI => EI//KC ⇒ CD = Suy PCN (6) CE KI KI KP = Lấy điểm J cạnh AB cho: KPI > = (7) APJ => ∆ KPI đồng dạng với ∆ APJ (g.g) = AJ Trang AP Phan Hòa Đại Đáp án đề thi KP KD AP AB KI KD KD AB Từ (7) (8) suy = ⇒ = (9) AJ AB KI AJ CD AB Từ (6) (9) suy = CE AJ = BAC ( bù vơi KAP ) Vì: tứ giác AKPI nội tiếp nên KPI = không đổi , P mà KPI APJ ( cách dựng) suy APJ = BAC Mà ∆ PKD đồng dạng với ∆ PAB (c.m.t) = > =( ) THCS Quang Trung K A M CD AB không đổi = CE AJ Q O G B a ≥ − 2b Ta có: ≥ − b a Bài 5: (1,0 đ) Vì: a + 2b ≥ ⇒ 3a + a 2b + ab + ( + a ) b3 a b2 P= = + a + b + + b2 ab b a a a 2b 3− a = + a + b + 4b + b ≥ + a + b + 4b + b2 b a b a 2 a b b a = + a + b + 12 − 4b + b = + 12 + b + b + a b a a 2 b b b a a ≥ + 12 + b + b + − 2b = + + b − b + a a 2 b b a b 39 39 231 ≥ 3.2 .4 + b − + ≥ 12 + = b a 16 16 16 AM −GM N J mà A,B,P cố định nên J cố định => AB, AJ không đổi suy I b a b = a 2b a = a = Dấu “=” b − = ⇔ ⇔ b = b = a, b > 231 3 a = ;b Vậy GTNN P khi= 16 Trang D E C ...Phan Hòa Đại Đáp án đề thi THCS Quang Trung ⇔ ab ( a + b ) + bc ( a + b ) + ca ( a + b ) + c ( a + b ) =0 ⇔ ( a + b )... 2021 + 2021 = 2021 2021 a b c a + b + c 2021 Bài 2: (2,5 đ) 1.Giả sử A = {a1 ;a ;a 3; ;a 21} với a1 ;a ;a 3; ;a 21 ∈ N a1 < a < a < < a 21 Theo giả thi? ??t ta có a1 + a + a + + a11 > a12 + a13... -1 51 13 13 -17 -3 (Loại) -3 17 Vậy số nguyên dương x cần tìm là: {4;13} Bài 3: (1,5 đ) 10 (1) 2 xy − y + x + y = Giải hệ phương trình: ( 2) 3y + − y + + 2x −1 = Đặt t = x − ≥ ta có: