b đề vào 10 hệ chuyên môn toán tin 22 23 tỉnh phú thọ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022-2023 Mơn: TỐN CHUN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) Cho phương trình x   m   x  2m   Tìm m để phương trình có hai nghiêm 1  3 x ; x x x2 phân biệt thỏa mãn b) Chứng minh P  2 10 3 10  2 9 số nguyên Câu (2,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình x  xy  x   y    2 b) Chứng minh m, n hai số tự nhiên thỏa mãn 2022m  m  2023n  n 2 2022  m  n   số phương Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình x  x  15  3x   b) Cho hai số thực a, b phân biệt Quanh đường tròn viết n số thực đôi khác  n  3 cho số tổng hai số đứng liền kề Tìm n số viết hai số viết a b Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nơi tiếp đường trịn   có đường cao AA1 , đường trung tuyến BB1 đường phân giác CC1 Goi D, E , F giao điểm O AA1 ; BB1 ; CC1 với  O  Biết A1 B1C1 tam giác a) Chứng minh tam giác ABC b) Gọi M trung điểm đoạn thẳng CE , N trung điểm đoạn thẳng CD I giao điểm AN FM Tính AIF c) Tia CI cắt AF (O) J K Chứng minh I trung điểm JA CK Tính tỉ số JF a 2b  ab   a  b  ab   a , b Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương thỏa mãn  a 3b  ab3     2ab   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2ab ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) c) Cho phương trình x   m   x  2m   Tìm m để phương trình có hai 1  3 x ; x x x2 nghiêm phân biệt thỏa mãn  '   m  3 Tính m   '     2m    m    Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2    x1  x2   m    Theo Vi-et ta có :  x1 x2  2m  1 x x 11      x1  x2  3x1 x2   m     2m    m  (tm) x1 x2 x1 x2 11 m Vậy d) Chứng minh Ta có : P3   P  2 10 3 10  2 9 số nguyên  10  10   10 10 10 3 10  3 2  2  3        9   9      300 P  P   P 81 P   P3  2P      P  P   0(vn) Vậy P  hay P số nguyên  P3   3  Câu (2,0 điểm) x  xy  x   y    c) Tìm nghiệm nguyên phương trình Phương trình  1  x   y   x   y      2 (1) Xem phương trình (2) phương trình bậc hai ẩn x, ta cần tìm điều kiện y để phương trình   có nghiệm   '    y     y    3  y     y   x  2 2 Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên     2 d) Chứng minh m, n hai số tự nhiên thỏa mãn 2022m  m  2023n  n x; y  2;0 2022  m  n   số phương 2022m  m  2023n  n  2022m2  2022n  m  n  n   m  n   2022m  2022n  1  n  1 2 Th1 : Với m  n   1  m  n   2022  m  n    số phương m  n; 2022m  2022n  1  d Th2: Với m  n  m  n  Gọi  m  n Md   n Md  nMd  mMd 2022 m  2022 n  M d   2022m  2022n Md  1Md  d    m  n; 2022m  2022n  1  2022m  2022n  hai số nguyên tố  Mặt khác  phương (đpcm) Câu (2,0 điểm) m  n 2022m  2022n  1  n hay m  n số phương nên suy 2022  m  n   số c) Giải phương trình x  x  15  x   (1) Phương trình 3 x   x  x  15  3x    2  x  3x  15   x  1 1   x  x     x2 3 4 x  x  15  x  x  5 x  3x  14   Vậy x  d) Cho hai số thực a, b phân biệt Quanh đường trịn viết n số thực đơi khác  n  3 n cho số tổng hai số đứng liền kề Tìm số viết hai số viết a b Đánh số số viết theo thứ tự a1 ; a2 ; ; a6 với a1  a; a2  b Ta có : a1  a; a2  b; a3  b  a; a4  a; a5  b; a6  a  b; a7  a  a1   Suy n  Mà Th1: n   a1  a; a2  b; a3  b  a Vì a3  a1  a2  b  a  b  a  a   a2  a3 (loại) n   n  3; 4;5;6 Th : n   a1  a; a2  b; a3  b  a; a4  a  a4  a1  a3   a  b  a2  a4 (ktm) Th3 : n   a1  a; a2  b; a3  b  a; a4  a; a5  b  a5  a1  a4   b   a2  a5 ( ktm) Th : n   a1  a; a2  b; a3  b  a; a4  a; a5  b; a6  a  b Dễ thấy a6  a1  a5 ln thỏa mãn  phân biệt   Để số i  Vậy n  số viết a1  a; a2  b; a3  b  a; a4  a; a5  b; a6  a  b a i  1, ab  0; a  b; a  2b; b  2a * O Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nơi tiếp đường trịn   có đường cao AA1 , đường trung tuyến BB1 đường phân giác CC1 Goi D, E , F giao O điểm AA1 ; BB1; CC1 với   Biết A1 B1C1 tam giác d) Chứng minh tam giác ABC A1 B1  AC AA C A B Xét tam giác vuông có trung điểm cạnh AC nên B1C1  AC  AC1C Suy vuông C1 , mà CC1 đường phân giác C nên C1 trung điểm cạnh AB AC Lại có nên A1C1 đường trung bình tam giác ABC , suy A1 trung điểm cạnh BC Vậy A1; B1; C1 trung điểm cạnh BC , CA, AB nên ABC (đpcm) A1C1  B1C1  e) Gọi M trung điểm đoạn thẳng CE , N trung điểm đoạn thẳng CD I giao điểm AN FM Tính AIF Vì ABC nên AFBDCE lục giác » » » » » » Do sd AF  sd FB  sd BD  sd DC  sdCE  sd EA  60 Xét FCM ADN có FC  AD, CM  CN , FCM  ADN  60 Suy FCM  ADN (c.g c)  DAN  CFM  OAI  OFI  OIAF tứ giác nội tiếp  AIF  AOF  60 f) Tia CI cắt AF (O) J K Chứng minh I trung điểm JA CK Tính tỉ số JF Ta có OCE OCD hai tam giác nên Lại có MN đường trung bình CED  MN  OM  ON  DE  OMN DE  MON  MIN  60  M , I , O, N thuộc đường trịn Lại có OMC  ONC  90  O, N , M , C thuộc đường trịn đường kính OC Vậy điểm O, I , M , C , N thuộc đường trịn đường kính OC Suy OIC  OMC  90  OI  CK  I trung điểm CK Từ O kẻ OG  FM , OH  AN Gọi L giao AN , CF Ta có AOH  FOG  OG  OH  OGI  OHI  GIO  HIO OL IL   OI phân giác OF IF OL IL ADC     IF  3IL  1 OF IF Mà L trọng tâm Gọi bán kính (O) R nên CE  R FIL  Xét ECF vuông E có EF  CE.tan ECF  R.tan 60  R R R 13  2 Mà tứ giác OIMC nội tiếp nên FI FM  FO.FC  R R 13R IF 13R  IF    IL   FM 13 39 OIAF Vì tứ giác nội tiếp nên :  FM  EF  EM  3R  13R R 13 13R R  AL   AI  IL   AI  3 13 NIC  NOC  30  NIM  IJ Dễ có đường phân giác góc I JA IA AIF    JF IF a 2b  ab   a  b  ab   a, b LO.LF  IL AL  Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương thỏa mãn  a 3b  ab     2ab   Tìm giá trị nhỏ biểu thức Ta có : P 2ab a 2b  ab   a  b  ab    ab  a  b    a  b   2ab  ab  Lại có 2  2    a  b   a  b    a  b  a b a b a 2b  ab   a  b  ab      a 3b  ab3     2ab   P 2ab   2ab  3 2 1     ab a  b ab a  b 2ab  a  b     2ab    2ab 2ab ab  2 1   a  b        a  b  ab  ab  a2  b2    a  b   64 64 127 64 64 127 71     33  a  b    ab ab ab ab ab 4 71 Min P  ab2 Vậy   a  b 