SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2022-2023 Mơn: TỐN CHUN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) a) Cho phương trình x m x 2m Tìm m để phương trình có hai nghiêm 1 3 x ; x x x2 phân biệt thỏa mãn b) Chứng minh P 2 10 3 10 2 9 số nguyên Câu (2,0 điểm) a) Tìm nghiệm nguyên phương trình x xy x y 2 b) Chứng minh m, n hai số tự nhiên thỏa mãn 2022m m 2023n n 2 2022 m n số phương Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình x x 15 3x b) Cho hai số thực a, b phân biệt Quanh đường tròn viết n số thực đôi khác n 3 cho số tổng hai số đứng liền kề Tìm n số viết hai số viết a b Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nơi tiếp đường trịn có đường cao AA1 , đường trung tuyến BB1 đường phân giác CC1 Goi D, E , F giao điểm O AA1 ; BB1 ; CC1 với O Biết A1 B1C1 tam giác a) Chứng minh tam giác ABC b) Gọi M trung điểm đoạn thẳng CE , N trung điểm đoạn thẳng CD I giao điểm AN FM Tính AIF c) Tia CI cắt AF (O) J K Chứng minh I trung điểm JA CK Tính tỉ số JF a 2b ab a b ab a , b Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương thỏa mãn a 3b ab3 2ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2ab ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) c) Cho phương trình x m x 2m Tìm m để phương trình có hai 1 3 x ; x x x2 nghiêm phân biệt thỏa mãn ' m 3 Tính m ' 2m m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 x2 m Theo Vi-et ta có : x1 x2 2m 1 x x 11 x1 x2 3x1 x2 m 2m m (tm) x1 x2 x1 x2 11 m Vậy d) Chứng minh Ta có : P3 P 2 10 3 10 2 9 số nguyên 10 10 10 10 10 3 10 3 2 2 3 9 9 300 P P P 81 P P3 2P P P 0(vn) Vậy P hay P số nguyên P3 3 Câu (2,0 điểm) x xy x y c) Tìm nghiệm nguyên phương trình Phương trình 1 x y x y 2 (1) Xem phương trình (2) phương trình bậc hai ẩn x, ta cần tìm điều kiện y để phương trình có nghiệm ' y y 3 y y x 2 2 Vậy phương trình cho có nghiệm nguyên 2 d) Chứng minh m, n hai số tự nhiên thỏa mãn 2022m m 2023n n x; y 2;0 2022 m n số phương 2022m m 2023n n 2022m2 2022n m n n m n 2022m 2022n 1 n 1 2 Th1 : Với m n 1 m n 2022 m n số phương m n; 2022m 2022n 1 d Th2: Với m n m n Gọi m n Md n Md nMd mMd 2022 m 2022 n M d 2022m 2022n Md 1Md d m n; 2022m 2022n 1 2022m 2022n hai số nguyên tố Mặt khác phương (đpcm) Câu (2,0 điểm) m n 2022m 2022n 1 n hay m n số phương nên suy 2022 m n số c) Giải phương trình x x 15 x (1) Phương trình 3 x x x 15 3x 2 x 3x 15 x 1 1 x x x2 3 4 x x 15 x x 5 x 3x 14 Vậy x d) Cho hai số thực a, b phân biệt Quanh đường trịn viết n số thực đơi khác n 3 n cho số tổng hai số đứng liền kề Tìm số viết hai số viết a b Đánh số số viết theo thứ tự a1 ; a2 ; ; a6 với a1 a; a2 b Ta có : a1 a; a2 b; a3 b a; a4 a; a5 b; a6 a b; a7 a a1 Suy n Mà Th1: n a1 a; a2 b; a3 b a Vì a3 a1 a2 b a b a a a2 a3 (loại) n n 3; 4;5;6 Th : n a1 a; a2 b; a3 b a; a4 a a4 a1 a3 a b a2 a4 (ktm) Th3 : n a1 a; a2 b; a3 b a; a4 a; a5 b a5 a1 a4 b a2 a5 ( ktm) Th : n a1 a; a2 b; a3 b a; a4 a; a5 b; a6 a b Dễ thấy a6 a1 a5 ln thỏa mãn phân biệt Để số i Vậy n số viết a1 a; a2 b; a3 b a; a4 a; a5 b; a6 a b a i 1, ab 0; a b; a 2b; b 2a * O Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nơi tiếp đường trịn có đường cao AA1 , đường trung tuyến BB1 đường phân giác CC1 Goi D, E , F giao O điểm AA1 ; BB1; CC1 với Biết A1 B1C1 tam giác d) Chứng minh tam giác ABC A1 B1 AC AA C A B Xét tam giác vuông có trung điểm cạnh AC nên B1C1 AC AC1C Suy vuông C1 , mà CC1 đường phân giác C nên C1 trung điểm cạnh AB AC Lại có nên A1C1 đường trung bình tam giác ABC , suy A1 trung điểm cạnh BC Vậy A1; B1; C1 trung điểm cạnh BC , CA, AB nên ABC (đpcm) A1C1 B1C1 e) Gọi M trung điểm đoạn thẳng CE , N trung điểm đoạn thẳng CD I giao điểm AN FM Tính AIF Vì ABC nên AFBDCE lục giác » » » » » » Do sd AF sd FB sd BD sd DC sdCE sd EA 60 Xét FCM ADN có FC AD, CM CN , FCM ADN 60 Suy FCM ADN (c.g c) DAN CFM OAI OFI OIAF tứ giác nội tiếp AIF AOF 60 f) Tia CI cắt AF (O) J K Chứng minh I trung điểm JA CK Tính tỉ số JF Ta có OCE OCD hai tam giác nên Lại có MN đường trung bình CED MN OM ON DE OMN DE MON MIN 60 M , I , O, N thuộc đường trịn Lại có OMC ONC 90 O, N , M , C thuộc đường trịn đường kính OC Vậy điểm O, I , M , C , N thuộc đường trịn đường kính OC Suy OIC OMC 90 OI CK I trung điểm CK Từ O kẻ OG FM , OH AN Gọi L giao AN , CF Ta có AOH FOG OG OH OGI OHI GIO HIO OL IL OI phân giác OF IF OL IL ADC IF 3IL 1 OF IF Mà L trọng tâm Gọi bán kính (O) R nên CE R FIL Xét ECF vuông E có EF CE.tan ECF R.tan 60 R R R 13 2 Mà tứ giác OIMC nội tiếp nên FI FM FO.FC R R 13R IF 13R IF IL FM 13 39 OIAF Vì tứ giác nội tiếp nên : FM EF EM 3R 13R R 13 13R R AL AI IL AI 3 13 NIC NOC 30 NIM IJ Dễ có đường phân giác góc I JA IA AIF JF IF a 2b ab a b ab a, b LO.LF IL AL Câu (1,0 điểm) Cho số thực dương thỏa mãn a 3b ab 2ab Tìm giá trị nhỏ biểu thức Ta có : P 2ab a 2b ab a b ab ab a b a b 2ab ab Lại có 2 2 a b a b a b a b a b a 2b ab a b ab a 3b ab3 2ab P 2ab 2ab 3 2 1 ab a b ab a b 2ab a b 2ab 2ab 2ab ab 2 1 a b a b ab ab a2 b2 a b 64 64 127 64 64 127 71 33 a b ab ab ab ab ab 4 71 Min P ab2 Vậy a b