De thi da vao 10 chuyen toan nam 22 23 tp hcm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 MƠN THI: TỐN CHUN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (1,0 điểm) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy    x    y  1  Tính giá trị biểu thức M  x   y  y   x2  Câu (2,5 điểm) a) Giải phương trình: x   x x  x   x  y  z 2 x    y 3 y  b) Giải hệ phương trình :  z  x   z  x  y 5 z   Câu (1,5 điểm) Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC CD lấy điểm M , N cho MAN 45 a) Chứng minh MN tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB b) Kẻ MP / / AN  P  AB  kẻ NQ song song với AM  Q  AD  Chứng minh AP  AQ Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a  b  c 3 a) Chứng minh ab  bc  ca 3 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a b c   b 1 c  a 1 Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  có đường cao AD, BE, CF cắt H Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC I Đường thẳng qua A vng góc với IH K cắt BC M a) Chứng minh tứ giác IFKC nội tiếp BI CI  BD CD b) Chứng minh M trung điểm BC Câu (1,0 điểm) Số nguyên dương n gọi “số tốt” n  8n  số phương a) Hãy ví dụ ba “số tốt” có 1, 2,3 chữ số b) Tìm số nguyên k thỏa mãn k 10 4n  k hợp số với n “số tốt” ĐÁP ÁN Câu (1,0 điểm) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy    x    y  1  Tính giá trị biểu thức M  x   y  y   x2  Ta có : 2 2   x    y  1    x    y  1  xy   x    y  1  xy  x y 1  x  y  x   xy  2  1  xy 0 2   xy 1 y 1  xy  x y  x  y  0  x  y    xy 1  xy 1 Ta  M  x  1 y2   x   x2  y    x   x2    x   x   x 1 Câu (2,5 điểm) a) Giải phương trình: x   x x  x  Điều kiện : x  x   x x     x x4   x  x 4   x4  x  x  0   x 0 (ktm)  x  x  0    x      21  x  x  x  x   0   x  x  x   0       13  x     13  21 Vậy phương trình có nghiệm x  ;x  2     x  y  z 2 x    y 3 y  b) Giải hệ phương trình:  z  x   z  x  y 5 z   Từ giả thiết, suy x, y, z 0  x  y  z 2 x    y 3 y    z  x   z  x  y 5 z   x  2 x  y  z   y  1  3 y  z  x  z  5 z  x  y   xyz  2 x  y  z  xyz  3 y  zx  x yz  5 z  x  y   x  y  z  3 y  x  z  5 z  x  y  x  y  z  3a  3b 2a  2c  a 2c  3b Đặt xy a, yz b, xz c Ta có: 3a  3b 5b  5c  2c  3b  3b 5b  5c      6c  6b 5b  5c  c 11b  a 2.11b  3b 19b  z x   xy 19 yz  x 19 z  19     Nên:   xz 11 yz  x 11 y  y  x  11 1  1  x  y  z  x  y  z  x    x x  x  x 19 11  19 11   x 239 239 239 ;y  ;z  60 660 1140 Vậy x  239 239 239 ;y ;z  60 660 1140 Câu (1,5 điểm) Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC CD lấy điểm M , N cho MAN 45 A P B E M Q F H D N C a) Chứng minh MN tiếp xúc với đường trịn tâm A bán kính AB Kẻ AH  MN  H  MN  Gọi E F giao điểm BD với AM , AN Xét tứ giác ABMF có MAN FBM 45 MAN , FBM nhìn cạnh FM nên Xét tứ giác AEND có MAN EDN 45 MAN , EDN nhìn cạnh EN nên tứ giác AEND nội tiếp  AEN 90 (vì ADN 90 ) Ta có MEN MFN 90 nên tứ giác MEFN nội tiếp   F1 N1  sd EN  2 Mặt khác A2 N1 (cùng phụ AMN )  3   1 AFM 90 tứ giác ABMF nội tiếp  A1 F1  sd BM Từ (1), (2), (3) suy A1 A2  ABM AHM (ch  gn)  AB  AH Vậy MN tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB b) Kẻ MP / / AN  P  AB  kẻ NQ song song với AM  Q  AD  Chứng minh AP  AQ Ta có : AMP MAN ANQ 45 (so le trong) AMP EMP PBE 45 Nên tứ giác PBME nội tiếp  PEM 90  PE  AM mà NE  AM (cmt )  P, E , N thẳng hàng Chứng minh tương tự : Q, F , M thẳng hàng PNQ QMP 90 nên tứ giác PQNM nội tiếp  P1 M Lại có tứ giác FEMN nội tiếp  E1 M mà E1 E2 (đối đỉnh)  P1 E2 Ta có PQ / / BD  APQ ABD 45  APQ vuông cân A nên AP  AQ Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a  b  c 3 a) Chứng minh ab  bc  ca 3 Ta có: a  b  c 3 2   ab  bc  ca     a  b    b  c    c  a   0  2   a  b  c  3  ab  bc  ca   ab  bc  ca 3 (vì a  b  c 3)  a b  c Dấu xảy a b c 1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a b c   b 1 c 1 a 1 a ab Ta có: a   1 b 1 b 1 1 ab  ab ab  ab b  2b         2 b  2b b 1 2b b 1 a ab Từ (1) (2)  a   * b 1 Chứng minh tương tự : b bc c ac b  ; c   ** c 1 a 1 ab  bc  ca 3  P 3   P  Từ  * ,  **  P  a  b  c   2 Vậy GTNN P = 3/2 a b c 1 Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  có đường cao AD, BE , CF cắt H Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC I Đường thẳng qua A vng góc với IH K cắt BC M A E T F K H I B D O C M A1 a) Chứng minh tứ giác IFKC nội tiếp BI CI  BD CD Ta có: AFH AKH AEH 90  F , H , K , E , A thuộc đường trịn đường kính AH  FKH FEH hay FKI FEB  1 Cũng có BFC BEC 90  B, F , E , C thuộc đường trịn đường kính BC  FEB FCB   Từ (1), (2) suy FKI FCB hay FKI FCI  IFKC nội tiếp Ta có : Tứ giác BFEC nội tiếp nên FEB FCB (3) Ta có HDC HEC 90  Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn đường kính HC  HED HCD hay BED FCB (4) Từ (3) (4) suy FEB FCB  EB phân giác góc E IED Mà EC  EB  EC phân giác ngồi góc E IED  BI CI EI   (tính chất đường phân giác) BD CD ED b) Chứng minh M trung điểm BC Xét AIM có hai đường cao AD IK cắt H  H trực tâm  MH  AI hay MT  AI  HTA 90  T thuộc đường tròn đường kính AH Mà F , H , E , A thuộc đường trịn đường kính AH Nên điểm T , F , H , K , E thuộc đường trịn đường kính AH  IT IA IF IE  * Mặt khác, tứ giác BFEC nội tiếp (cmt)  IF IE IB.IC  ** Từ (*) (**)  IT IA IB.IC  TACB tứ giác nội tiếp  T thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp ABC Kẻ đường kính AA1 (O) Ta có ATA1 90  AT  AT  AT  IA mà MT  AI  A1 , T , H , M thẳng hàng Mà ta dễ chứng minh A1 BHC hình bình hành M giao điểm BC A1H nên M trung điểm BC Câu (1,0 điểm) Số nguyên dương n gọi “số tốt” n  8n  số phương a) Hãy ví dụ ba “số tốt” có 1, 2,3 chữ số Ta có n 3  n  4;8n  25 số phương n 15  n  16,8n  121 số phương n 120  n  121,8n  961 số phương Vậy n 3, n 15, n 120 ba số tốt b) Tìm số nguyên k thỏa mãn k 10 4n  k hợp số với n “số tốt” Ta có n  8n  hai số phương Nếu n 1 mod 3  n  2  mod 3 không thỏa mãn Nếu n 2  mod 3  8n  2  mod 3 không thỏa mãn Vậy n3 * Với k   1;  1;5;  5;7;  7;  9;  10 4k 1 số nguyên tố * Với k   0; 2; 3; 4; 6; 8;9;10 + Nếu k chẵn 4n+k chẵn 4n+k ≥ 4.3-8=4 nên 4n+k hợp số + Nếu k lẻ (tức k = -3; 3; 9) 4n + k chia hết cho 4n + k ≥ 4.3-3 = nên 4n+k hợp số Vậy k   0; 2; 3; 4; 6; 8;9;10