SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 MƠN THI: TỐN CHUN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (1,0 điểm) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy x y 1 Tính giá trị biểu thức M x y y x2 Câu (2,5 điểm) a) Giải phương trình: x x x x x y z 2 x y 3 y b) Giải hệ phương trình : z x z x y 5 z Câu (1,5 điểm) Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC CD lấy điểm M , N cho MAN 45 a) Chứng minh MN tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB b) Kẻ MP / / AN P AB kẻ NQ song song với AM Q AD Chứng minh AP AQ Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a b c 3 a) Chứng minh ab bc ca 3 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b c b 1 c a 1 Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn AB AC có đường cao AD, BE, CF cắt H Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC I Đường thẳng qua A vng góc với IH K cắt BC M a) Chứng minh tứ giác IFKC nội tiếp BI CI BD CD b) Chứng minh M trung điểm BC Câu (1,0 điểm) Số nguyên dương n gọi “số tốt” n 8n số phương a) Hãy ví dụ ba “số tốt” có 1, 2,3 chữ số b) Tìm số nguyên k thỏa mãn k 10 4n k hợp số với n “số tốt” ĐÁP ÁN Câu (1,0 điểm) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy x y 1 Tính giá trị biểu thức M x y y x2 Ta có : 2 2 x y 1 x y 1 xy x y 1 xy x y 1 x y x xy 2 1 xy 0 2 xy 1 y 1 xy x y x y 0 x y xy 1 xy 1 Ta M x 1 y2 x x2 y x x2 x x x 1 Câu (2,5 điểm) a) Giải phương trình: x x x x Điều kiện : x x x x x x4 x x 4 x4 x x 0 x 0 (ktm) x x 0 x 21 x x x x 0 x x x 0 13 x 13 21 Vậy phương trình có nghiệm x ;x 2 x y z 2 x y 3 y b) Giải hệ phương trình: z x z x y 5 z Từ giả thiết, suy x, y, z 0 x y z 2 x y 3 y z x z x y 5 z x 2 x y z y 1 3 y z x z 5 z x y xyz 2 x y z xyz 3 y zx x yz 5 z x y x y z 3 y x z 5 z x y x y z 3a 3b 2a 2c a 2c 3b Đặt xy a, yz b, xz c Ta có: 3a 3b 5b 5c 2c 3b 3b 5b 5c 6c 6b 5b 5c c 11b a 2.11b 3b 19b z x xy 19 yz x 19 z 19 Nên: xz 11 yz x 11 y y x 11 1 1 x y z x y z x x x x x 19 11 19 11 x 239 239 239 ;y ;z 60 660 1140 Vậy x 239 239 239 ;y ;z 60 660 1140 Câu (1,5 điểm) Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC CD lấy điểm M , N cho MAN 45 A P B E M Q F H D N C a) Chứng minh MN tiếp xúc với đường trịn tâm A bán kính AB Kẻ AH MN H MN Gọi E F giao điểm BD với AM , AN Xét tứ giác ABMF có MAN FBM 45 MAN , FBM nhìn cạnh FM nên Xét tứ giác AEND có MAN EDN 45 MAN , EDN nhìn cạnh EN nên tứ giác AEND nội tiếp AEN 90 (vì ADN 90 ) Ta có MEN MFN 90 nên tứ giác MEFN nội tiếp F1 N1 sd EN 2 Mặt khác A2 N1 (cùng phụ AMN ) 3 1 AFM 90 tứ giác ABMF nội tiếp A1 F1 sd BM Từ (1), (2), (3) suy A1 A2 ABM AHM (ch gn) AB AH Vậy MN tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB b) Kẻ MP / / AN P AB kẻ NQ song song với AM Q AD Chứng minh AP AQ Ta có : AMP MAN ANQ 45 (so le trong) AMP EMP PBE 45 Nên tứ giác PBME nội tiếp PEM 90 PE AM mà NE AM (cmt ) P, E , N thẳng hàng Chứng minh tương tự : Q, F , M thẳng hàng PNQ QMP 90 nên tứ giác PQNM nội tiếp P1 M Lại có tứ giác FEMN nội tiếp E1 M mà E1 E2 (đối đỉnh) P1 E2 Ta có PQ / / BD APQ ABD 45 APQ vuông cân A nên AP AQ Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a b c 3 a) Chứng minh ab bc ca 3 Ta có: a b c 3 2 ab bc ca a b b c c a 0 2 a b c 3 ab bc ca ab bc ca 3 (vì a b c 3) a b c Dấu xảy a b c 1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b c b 1 c 1 a 1 a ab Ta có: a 1 b 1 b 1 1 ab ab ab ab b 2b 2 b 2b b 1 2b b 1 a ab Từ (1) (2) a * b 1 Chứng minh tương tự : b bc c ac b ; c ** c 1 a 1 ab bc ca 3 P 3 P Từ * , ** P a b c 2 Vậy GTNN P = 3/2 a b c 1 Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn AB AC có đường cao AD, BE , CF cắt H Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC I Đường thẳng qua A vng góc với IH K cắt BC M A E T F K H I B D O C M A1 a) Chứng minh tứ giác IFKC nội tiếp BI CI BD CD Ta có: AFH AKH AEH 90 F , H , K , E , A thuộc đường trịn đường kính AH FKH FEH hay FKI FEB 1 Cũng có BFC BEC 90 B, F , E , C thuộc đường trịn đường kính BC FEB FCB Từ (1), (2) suy FKI FCB hay FKI FCI IFKC nội tiếp Ta có : Tứ giác BFEC nội tiếp nên FEB FCB (3) Ta có HDC HEC 90 Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn đường kính HC HED HCD hay BED FCB (4) Từ (3) (4) suy FEB FCB EB phân giác góc E IED Mà EC EB EC phân giác ngồi góc E IED BI CI EI (tính chất đường phân giác) BD CD ED b) Chứng minh M trung điểm BC Xét AIM có hai đường cao AD IK cắt H H trực tâm MH AI hay MT AI HTA 90 T thuộc đường tròn đường kính AH Mà F , H , E , A thuộc đường trịn đường kính AH Nên điểm T , F , H , K , E thuộc đường trịn đường kính AH IT IA IF IE * Mặt khác, tứ giác BFEC nội tiếp (cmt) IF IE IB.IC ** Từ (*) (**) IT IA IB.IC TACB tứ giác nội tiếp T thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp ABC Kẻ đường kính AA1 (O) Ta có ATA1 90 AT AT AT IA mà MT AI A1 , T , H , M thẳng hàng Mà ta dễ chứng minh A1 BHC hình bình hành M giao điểm BC A1H nên M trung điểm BC Câu (1,0 điểm) Số nguyên dương n gọi “số tốt” n 8n số phương a) Hãy ví dụ ba “số tốt” có 1, 2,3 chữ số Ta có n 3 n 4;8n 25 số phương n 15 n 16,8n 121 số phương n 120 n 121,8n 961 số phương Vậy n 3, n 15, n 120 ba số tốt b) Tìm số nguyên k thỏa mãn k 10 4n k hợp số với n “số tốt” Ta có n 8n hai số phương Nếu n 1 mod 3 n 2 mod 3 không thỏa mãn Nếu n 2 mod 3 8n 2 mod 3 không thỏa mãn Vậy n3 * Với k 1; 1;5; 5;7; 7; 9; 10 4k 1 số nguyên tố * Với k 0; 2; 3; 4; 6; 8;9;10 + Nếu k chẵn 4n+k chẵn 4n+k ≥ 4.3-8=4 nên 4n+k hợp số + Nếu k lẻ (tức k = -3; 3; 9) 4n + k chia hết cho 4n + k ≥ 4.3-3 = nên 4n+k hợp số Vậy k 0; 2; 3; 4; 6; 8;9;10