45 đề đa vào 10 CHUYÊN TOÁN 2019 2020

TUYỂN TẬP ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM HC 2019-2020 Ơăê êÔĐâêÔôê ôƯ TUYN TP THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƢỜNG CHUN MƠN TỐN NĂM HỌC 2019-2020 MƠN TỐN LỜI NĨI ĐẦU Để góp phần định hướng cho việc dạy - học trường việc ôn tập, rèn luyện kĩ cho học sinh sát với thực tiễn giáo dục, nhằm nâng cao chất lượng kì thi tuyển sinh, sachhoc.com gÉ ÉÇ ÊÈÉ Ë Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chun mơn tốn năm học 2019-2020 có đáp án chi tiết Về nội dung kiến thức, kĩ năng: Tài liệu biên soạn theo hướng bám Chuẩn kiến thức, kĩ Bộ GDĐT, tập trung vào kiến thức bản, trọng tâm kĩ vận dụng, viết theo hình thức Bộ đề ôn thi dựa đề thi năm 2019 trường chuyên nước Mỗi đề thi có hướng dẫn giải chi tiết! Hy vọng Bộ tài liệu ơn thi có chất lượng, góp phần quan trọng nâng cao chất lượng dạy - học trường THCS kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 20202021 năm Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ đội ngũ người biên soạn, song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong đóng góp thầy, giáo em học sinh toàn tỉnh để Bộ tài liệu hồn chỉnh Chúc thầy, giáo em học sinh thu kết cao kỳ thi tới! ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ MỤC LỤC Trang Đề thi Đáp án Đề vào 10 Chuyên toán Nghệ An năm học 2019 -2020 52 Đề v|o 10 Chuyên to{n Nam Định năm học 2019 -2020 55 Đề v|o 10 Chuyên to{n Thanh Hóa năm học 2019 -2020 60 Đề v|o 10 Chuyên tin Thanh Hóa năm học 2019 -2020 64 Đề v|o 10 Chuyên to{n Đ| Nẵng năm học 2019 -2020 68 Đề v|o 10 Chuyên to{n Điện Biên năm học 2019 -2020 73 Đề v|o 10 Chuyên to{n Tuyên Quang năm học 2019 -2020 10 78 Đề v|o 10 Chuyên to{n Hƣng Yên năm học 2019 -2020 11 82 Đề vào 10 Chuyên tốn Bình Thuận năm học 2019 -2020 12 85 10 Đề v|o 10 Chuyên to{n Phú Yên năm học 2019 -2020 13 88 11 Đề vào 10 Chuyên toán Hải Phòng năm học 2019 -2020 14 94 12 Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Ninh năm học 2019 -2020 15 98 13 Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Nam năm học 2019 -2020 16 100 14 Đề vào 10 Chuyên tốn Quảng Bình năm học 2019 -2020 17 107 15 Đề vào 10 Chuyên toán Phú Thọ năm học 2019 -2020 18 110 16 Đề vào 10 Chuyên toán Cần Thơ năm học 2019 -2020 19 113 17 Đề vào 10 Chuyên toán Thừa Thiên Huế năm học 2019 -2020 21 120 18 Đề v|o 10 Chuyên to{n Đăk Nông năm học 2019 -2020 22 125 19 Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Ngãi năm học 2019 -2020 23 128 20 Đề v|o 10 Chuyên to{n T}y Ninh năm học 2019 -2020 24 133 21 Đề v|o 10 Chuyên to{n Bình Định năm học 2019 -2020 25 136 22 Đề v|o 10 Chuyên to{n Bình Phƣớc năm học 2019 -2020 26 141 23 Đề vào 10 Chuyên toán Bắc Ninh năm học 2019 -2020 27 145 24 Đề v|o 10 Chuyên to{n Bình Dƣơng năm học 2019 -2020 29 150 25 Đề v|o 10 Chuyên to{n Sơn La năm học 2019 -2020 30 154 26 Đề vào 10 Chuyên toán Tiền giang năm học 2019 -2020 31 161 27 Đề v|o 10 Chuyên to{n Kh{nh Hòa năm học 2019 -2020 32 164 28 Đề vào 10 Chuyên toán TP Hồ Chí Minh năm học 2019 -2020 33 168 ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ 29 Đề vào 10 Chuyên toán Bạc Lƣu năm học 2019 -2020 34 172 30 Đề v|o 10 Chuyên to{n Gia Lai năm học 2019 -2020 36 177 31 Đề vào 10 Chuyên toán Bạc Lƣu năm học 2019 -2020 37 184 32 Đề vào 10 Chuyên toán Vũng T|u năm học 2019 -2020 38 185 33 Đề vào 10 Chuyên toán Kon Tum năm học 2019 -2020 39 189 34 Đề vào 10 Chun tốn Hà Nội (vịng 1) năm học 2019 -2020 40 194 35 Đề vào 10 Chuyên toán Hà Nội (vòng 2) năm học 2019 -2020 41 196 36 Đề vào 10 Chuyên toán An Giang năm học 2019 -2020 42 200 37 Đề vào 10 Chuyên toán Sƣ Phạm Hà Nội (vòng 1) 2019 -2020 43 204 38 Đề vào 10 Chun tốn Hƣng n (vịng 2) 2019 -2020 44 207 39 Đề vào 10 Toán chung Kon Tum năm học 2019 -2020 45 210 40 Đề v|o 10 to{n chung Hƣng Yên năm học 2019-2020 46 212 41 Đề vào 10 toán chung Nam Định năm học 2019-2020 47 217 42 Đề vào 10 PTNK Hồ Chí Minh (vòng 1) năm học 2019-2020 48 222 43 Đề vào 10 PTNK Hồ Chí Minh (vịng 2) năm học 2019-2020 49 226 44 Đề vào 10 Chuyên Quảng Trị năm học 2019-2020 50 230 45 Đề vào 10 Chuyên tốn Sƣ Phạm Hà Nội (vịng 2) 2019 -2020 51 232 ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƢỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU TRƢỜNG THPT CHUYÊN – TRƢỜNG ĐH VINH Năm học 2019-2020 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi chun: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số (Đề thi có trang) Câu (6,0 điểm) a) Giải phƣơng trình - + ì b) Giải hệ phƣơng trình í ỵ + = - + + = + + = Câu (3,0 điểm) a) Cho đa thức Chứng minh = + ( + ) ỴN ( )- ( ) = thỏa mãn ( ) - ( ) số lẻ b) Tìm cặp số nguyên dƣơng ( ) cho + + chia hết cho + + Câu (2,0 điểm) Cho số thực dƣơng Tìm giá trị lớn biểu thức thỏa mãn = Câu (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ( , đƣờng thẳng thẳng b) Chứng minh c) Gọi Trên cạnh ( ) lần lƣợt a) Chứng minh tam giác đƣờng thẳng ( lấy điểm khác đồng dạng với tam giác trực tâm tam giác trung điểm + ) nội tiếp đƣờng tròn ( ) Gọi cắt đƣờng tròn cắt cạnh + + < l| điểm nằm cung nhỏ = + + = + + + , tia cho ) C{c đƣờng cắt đƣờng tròn ( ) Chứng minh tiếp tuyến đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác Câu (2,0 điểm) Cho 12 điểm mặt phẳng cho điểm n|o l| đỉnh tam giác mà tam gi{c ln tồn cạnh có độ dài nhỏ 673 Chứng minh có hai tam giác mà chu vi tam giác nhỏ 2019 Ht -H v tờn ỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵỵS bỏo danh ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi chun: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số (Đề thi có trang) Câu 1: ( 2,0 điểm) a) Cho x = + + + - + Tính giá trị biểu thức P = x ( - x ) thỏa mãn ab + bc + ca = 2019 Chứng minh: b) Cho ba số a - bc b2 - ca c - ab + + =0 a + 2019 b2 + 2019 c + 2019 Câu 2: ( 2,0 điểm) Giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình sau: ì1 2 ï + = 3+x y y ïx a) x3 + ( x + 1) = 9x + b) í ï + + = x3 y ïỵ x y Câu 3: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( Với AB < AC ) nội tiếp đƣờng tròn tâm O cắt đƣờng tròn Đƣờng ph}n gi{c v| đƣờng phân giác ( ) lần lƣợt D E ( khác A ) Gọi G hình chiếu vng góc E lên cạnh AC, gọi M v| N tƣơng ứng l| trung điểm c{c đoạn thẳng BC BA Gọi K l| trung điểm đoạn thẳng GM, H l| giao điểm đƣờng thẳng AB v| đƣờng thẳng MG, F l| giao điểm đƣờng thẳng MN v| đƣờng thẳng AE a) Chứng minh hai đƣờng thẳng AD GM song song b) Chứng minh FH = MC c) Chứng minh KE + KN £ 2.EN n + 29n l| số nguyên 30 cho x2 + y2 - 3x + 2y - Câu 4: ( 1,5 điểm) a) Chứng minh n số nguyên b) Tìm tất cặp số tự nhiên ( ( ) ( ) ) x2 + y2 + 4x + 2y + số phƣơng Câu 5: ( 1,5 điểm ) ( (a - ab + b )( b thỏa mãn a + b4 a) Cho số thực 2 )( b + c4 - bc + c )(c )(c ) + a = Chứng minh ) - ca + a ³ b) Trƣớc ngày thi vào lớp 10 chuyên, thầy giáo dùng không 49 bút đem tặng cho tất 32 bạn học sinh lớp 9A cho nhận đƣợc bút thầy Chứng minh có số bạn lớp 9A nhận đƣợc bút tổng cộng 25 Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi chun: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề số (Đề thi có trang) Câu (2,0 điểm): 1/ Cho ba số thực dƣơng Chứng minh 2/ Cho số + + thõa mãn + + + + + + = khác thỏa mãn Hãy tính giá trị biểu thức = + + Câu (2,0 điểm): 1/ Giải phƣơng trình + + + - + = () ì ï + + + = ï 2/ Giải hệ phƣơng trình í ï + + + = ïỵ Câu (2,0 điểm): 1/ Tìm tất cặp số nguyên thõa mãn + = + + + 2/ Cho hai số nguyên dƣơng x, y với x > thỏa mãn điều kiện 2x2 – = y15 Chứng minh x chia hết cho 15 Câu (3,0 điểm): Cho tam giâc ABC nhọn nội tiếp đƣờng tròn (O) với AB < AC Gọi M trung điểm BC, AM cắt (O) D kh{c A Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác MDC cắt đƣờng thẳng AC E kh{c C Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác MDB cắt đƣờng thẳng AB F khác B 1/ Chứng minh hai tam gi{c BDF, CDE đồng dạng 2/ Chứng minh ba điểm E, M, F thẳng hàng ^ 3/ Đƣờng phân giác góc BAC cắt EF điểm N Đƣờng phân giác góc CEN cắt CN P, đƣờng phân giác góc BFN cắt BN Q Chứng minh PQ // BC Câu (1,0 điểm): Trong mặt phẳng, kẻ 2022 đƣờng thẳng cho khơng có hai đƣờng thẳng n|o song song v| khơng có ba đƣờng thẳng n|o đồng quy Tam giác tạo ba đƣờng thẳng số c{c đƣờng thẳng cho gọi l| tan gi{c đẹp khơng bị đƣờng thẳng số c{c đƣờng thẳng lại cắt Chứng minh số tam gi{c đẹp khơng 674 Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi chuyên: TOÁN (chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề số (Đề thi có trang) Câu 1: (2,0 điểm) Chứng minh rằng: + + Cho + + + số thực âm thỏa mãn + = = = + Tính giá trị biểu thức: + Câu 2: (2,0 điểm) Giải phƣơng trình: + + - = ìï + = Giải hệ phƣơng trình: í + = ïỵ( + ) Câu 3: (2,0 điểm) Tìm tất nghiệm nguyên phƣơng trình: Cho biểu thức: =( + dƣơng Chứng minh Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn tam giác lần lƣợt đƣờng cao cắt cạnh + )-( + + + + = ( ) có tâm ) với a,b,c số nguyên chia hết cho 30 ( < ) nội tiếp đƣờng tròn Các cắt Đƣờng phân giác Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác cắt đƣờng phân giác điểm khác cắt điểm Chứng minh tam giác cân Chứng minh hình bình hành Chứng minh giao điểm hai đƣờng thẳng Câu 5: (1,0 điểm) Với số thực không âm thức = ( + )( + )( + ) - thỏa mãn cắt điểm thuộc đƣờng tròn ( ) + + = , tìm giá trị nhỏ biểu Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÀ NẴNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề số ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 Mơn thi chun: TỐN (chun) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài ( 2,0 điểm) a) Tìm giá GTNN biểu thức A = x+6 x-9 + x -6 x-9 81 18 +1 x2 x , với x > b) Tìm x thỏa 9x - + 7x - + 5x - + 3x - + x = Bài ( 2,0 điểm) a) Cho ba số thực dƣơng ph}n biệt thỏa + + = Xét ba phƣơng trình bậc hai 4x2 + 4ax + b = 0, 4x + 4bx + c = 0, 4x + 4cx + a = Chứng minh ba phƣơng trình có phƣơng trình có nghiệm có phƣơng trình vơ nghiệm l| đƣờng thẳng qua A có hệ số b) Cho hàm số y = x có đồ thị ( P ) v| điểm A ( 2; ) Gọi cắt đồ thị ( ) hai điểm A v| B, đồng thời cắt trục góc m Tìm tất giá trị m để Ox điểm C cho AB = 3AC Bài ( 2,0 điểm) Giải phƣơng trình v| hệ phƣơng trình sau: ì ï8xy + 22y + 12x + 25 = x b) í a) x - ( x + ) x + + 14x + x + + 13 = ï y + 3y = ( x + ) x + ỵ ( ) đƣờng kính AB = 2r lấy điểm C khác A cho CA < CB Hai tiếp tuyến nửa đƣờng tròn ( ) B, C cắt M Tia AC cắt đƣờng tròn ngoại Bài 4: ( 1,5 điểm) Trên nửa đƣờng tròn tiếp tam giác MCB điểm thứ hai D Gọi K l| giao điểm thứ hai BD nửa đƣờng tròn ( ) , P l| giao điểm AK BC Biết diện tích hai tam giác CPK APB lần lƣợt r 123 r2 , tính diện tích tứ giác ABKC Bài ( 1,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn ( BA < BC) nội tiếp đƣờng tròn ( ) Vẽ đƣờng ( ) qua A v| C cho ( ) cắt c{c tia đối tia AB CB lần lƣợt c{c điểm thứ hai D E Gọi M l| giao điểm thứ hai đƣờng tròn ( ) v| đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác trịn BDE Chứng minh QM vng góc BM Bài ( 1,0 điểm ) Ba bạn A,B,C chơi trò chơi: Sau A chọn hai số tự nhiên từ đến ( giống ), A nói cho B tổng nói cho C tích hai số Sau đ}y l| c{c c}u đối thoại B C B nói : Tơi khơng biết hai số A chọn nhƣng chắn C C nói: Mới đầu tơi khơng biết nhƣng biết hai số A chọn Hơn , số m| A đọc cho lớn số bạn B nói: À, tơi biết hai số A chọn Xem B C nhà suy luận logic hoàn hảo, cho biết hai số A chọn hai số ? ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐIỆN BIÊN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi chun: TỐN (chun) Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề số (Đề thi có trang) ỉ 2x + ưỉ x x-4 ö Câu (2,5 điểm) Cho biểu thức P = ỗ ữ ỗ x ữ vi ỗ x x +1 x - x +1÷ è x -2ø è ø a) Rút gọn b) Tìm ³ ¹ để P - x < Chứng minh rằng: 3 3+2 +2 = -1 +1 Câu (1,5 điểm) Giải phƣơng trình: x - 4x + ( x - ) x2 - x + = -1 2 ïì4x + 4x - y = -1 Giải hệ phƣơng trình: í 2 ïỵ4x - 3xy + y = Câu (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ số) v| parabol ( ) = , cho đƣờng thẳng d : y = 2mx + m + ( Chứng minh với gi{ trị điểm ph}n biệt có ho|nh độ Tìm ln cắt tham ( ) hai cho x12 - 6x 22 - x1 x2 = l| c{c số thực không }m v| thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca > Cho Chứng minh a b c + + ³ b+c c+a a+b Câu (3,0 điểm) Cho tam gi{c nhọn ABC AB AC nội tiếp đƣờng trịn t}m I Gọi E l| hình chiếu vng góc B đƣờng thẳng AI T l| giao điểm BE đƣờng tròn t}m a) Chứng minh tam gi{c c}n Từ suy AC l| đƣờng ph}n gi{c góc BCT b) Gọi M l| trung điểm BC D l| giao điểm ME AC Chứng minh BD AC Cho tam giác ABC , đƣờng trung tuyến AD lấy điểm I cố định ( khác ) Đƣờng thẳng d qua I cắt c{c cạnh AB, AC lần lƣợt M , N X{c định vị trí đƣờng thẳng d để diện tích tam gi{c AMN đạt gi{ trị nhỏ Câu (1,0 điểm) Tìm tất c{c số nguyên dƣơng thỏa mãn x + y 2019 y + z 2019 l| số hữu tỷ v| x2 + y2 + z2 l| số nguyên tố Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ 221 Þ Þ FC l| tiếp tuyến (O) Þ º = Dễ chứng minh D ECI D EHC (g-g) Þ EC2 = EI.EH (3) Vì AC > BD Þ AC2 > BD2 Þ AC2 > 4OB2 (4) D ACE vng C Þ AE2 = EC2 + AC2 (5) Từ (3), (4), (5) Þ EI.EH + 4OB2 < EC2 + AC2 = AE2 (đpcm) Câu ì ï 1) Ta có: í ï ỵ ĐK: - - + + + - = + ³- Đặt + = ³ + = ( - = > )Þ ³ = - = + Phƣơng trình (1) trở th|nh: - - + = Û - - + - Û - - + + Û - Û - Û - + + + - - + - + - - = - + + - = = + = = Û = Þ + = Þ (3) - Þ = + - - + = (4) + Thay (3) v|o (4) đƣợc: + - Û + - Û - + = Û Û + - + - - + = Û - )( + - + - Þ + = = + + + - + + Þ + - - + - ( - + - + = - + - + )= + = + - = ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ 222 Û = Với ± (TMĐK) ± = Þ ± = Vậy nghiệm hệ phƣơng trình l| ỡổ + ữữ ứ + ) ẻ ùớỗỗ ( ù ợố ổ ỗỗ ố ửỹ ù ữữý ứù þ - 2) Ta có: + + = Þ Þ + + = + ổ + = ỗ ố ị + = + = + + ổ =ỗ ố + ửổ + ữỗ + ữ ứ ứố ửổ ổ + ữỗ + ữ Ê ỗ ứ ứố ố ổ + + ữ= + ỗ ứ ố + ữ ứ ổ + + + ỗ ố + ữ ứ= + + ổ ỗ ố + ÷ ø (theo BĐT Cơ-si) Þ + + + £ Tƣơng tự: Þ + + + + + + ỉ + ỗ + ữ ố ứ Ê + ổ Ê + + ỗ + ố ổ Ê + + + ỗ + ố + ữ ứ Chng minh c + + ổ ị ỗ + ố + ÷= ø + + = + + + + + = Ê ị Ê ữ ứ + + + + = + + + = Þ Đpcm ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ 223 Đề số 42 Bài Điều kiện: ( ) -( + - > ) =( ¹ Ta có: )-( + + )= + - ( + + )( + + - )=( + + )-( )= + Do đó, phƣơng trình cho đƣợc viết lại thành Phƣơng trình n|y tƣơng đƣơng với Nhƣ thế, ta có - = hay )-( ( + )( + - ) )= hay + = = - (thỏa mãn) = Vậy có giá trị ( - - thỏa mãn yêu cầu đề = Bài a) Điều kiện: Từ phƣơng trình cho, ta thấy có hai trƣờng hợp xảy ra: ³ Trƣờng hợp 1: · ( )( + )= - , tức = - = , vơ lý Vậy phƣơng trình cho có nghiệm b) Điều kiện: + + ³ - = , tức = = + ³ + Từ phƣơng trình thứ hệ, ta có + + = Từ đ}y v| c{c điều kiện , hay + = ³ - - = Trong trƣờng hợp này, ta có Trƣờng hợp 2: · + - = Trong trƣờng hợp này, ta có + + ³ + + , tức + = - + ³ , ta phải có - ³ - ³ , tức £ Bây giờ, thay ( )( - Do = - + )- ( - ( Bài Phƣơng trình biệt )+ = nên từ đ}y, ta có £ nghiệm = -( v|o phƣơng trình thứ hai hệ, ta đƣợc: + ) =- - )= (tƣơng ứng = hay =- ) = ( - ) ( ) l| phƣơng Do ( + )( ổ ợ ) Vậy hệ phƣơng trình cho có trình bậc hai ẩn có hệ số tƣơng ứng trái dấu nên phƣơng trình ì + = trái dấu Theo Viet, ta có: í =ỵ ịnh Bình sưu tầ + () = , ln có hai nghiệm phân Ệ Ọ 224 a) Do + - nên ta có = )( - )=( + - - )= , tức =- Ở trƣờng hợp thứ hai, + = b) Ta có - ta phải có ( )( + Từ đ}y, nên =- Vậy có ba giá trị , tức = = thỏa mãn yêu cầu Vậy có giá trị =( + + + ( ) Dó đó, để thỏa mãn yêu cầu - + nên ta có )( + )( )=- - = = ( , tức thỏa mãn yêu cầu = , - = + + )= = - - = Suy = =- =- Bài : Theo giả thiết, ta thấy giá bán lẻ lít xăng RON Ở trường hợp ông a) chiều ngày vào ngày RON vào ngày vào : Gọi số lít xăng RON ( = lít xăng RON đƣợc Do = )+ + = ¸ vào lít = + ( ), = = ợ nên ta có = Rõ ràng , ³ Theo đề ( ), + = lít = , hay = (thỏa mãn) Vậy số = nên = mua ng|y , từ suy = mua v|o ng|y nên ta có ổ mà ơng ì + = Hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với í ỵ + = + lý Pythagoras đảo, tam giác ịnh Bình sưu tầ lít xăng RON mua đƣợc mua ng|y = mà ông + = , ông mà ông Theo đề bài, ta có + giá niêm yết lúc số lít xăng RON ì + = bài, ta có: í + ỵ Do bỏ Ở trường hợp ơng b) lít xăng , suy số tiền ơng Do đó, với số tiền bỏ để mua chiều ngày xăng RON mua (đồng) Tƣơng tự nhƣ trên, gi{ xăng RON + (đồng) Khi ơng giá niêm yết ngày = Do )= + khoảng thời gian gian chƣa có điều chỉnh giá nên giá lít xăng RON ( từ + + ( ) = ( ) Suy vuông + = Từ đ}y, ta tính ( ) = + = = Từ đó, theo định Ệ Ọ 225 Do nên tam giác = cân Gọi vuông Áp dụng định lý Pythagoras tam giác = - = + = ta có ^ , ta có = - Từ đ}y, ta tính đƣợc: = trung điểm = ( + = + ) Bài a) Ð Theo tính chất góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp, ta có (cùng chắn cung =Ð hình chữ nhật) Ð Xét tam giác =Ð , ta có góc =Ð nên ta có Ð Theo tính chất góc nội tiếp, ta có Ð ( ) Lại có Ð Từ đ}y, ta có Ð +Ð =Ð (chứng minh =Ð , hay =Ð (tính chất =Ð =Ð chung Ð = Ð = +Ð = nội tiếp Từ suy tứ giác trịn =Ð (góc – góc) Từ suy ∽D Bây giờ, Ð b) (đồng vị) nên Ð =Ð tam giác trên) nên D ( ) ) Lại có đƣờng trịn nên Ð =Ð +Ð =Ð +Ð (cùng chắn cung =Ð =Ð =Ð đƣờng +Ð = Suy tứ giác nội tiếp ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ 226 Bây giờ, nên ta có Ð ^ tam gi{c cân Mặt khác, Ð Ð () c) ( ) Do =Ð ( ) đƣờng tròn nội tiếp nên Do tứ giác trung điểm ( ) ( ) Do =Ð nên ta có -Ð ( ) = l| t}m đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác đƣờng tròn ( ) , tức nên l| đƣờng kính ( ) thuộc đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác Ta lại có tâm đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác nên ta suy tứ giác hình bình hành Từ = = Đề số 43 Câu a) Có: nên > Suy D = > Vậy phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt - ì + + > < + Û- - < < + Ûí ỵ - + > Có Suy Và ( b) Có + ( ( - )( )( + )( - - )= -( + )= +( + )+ ỡ > ợ > ị Mõu thun vi gi thit Vậy ( )+ = - > Þ + + = = + + - + > > > Þ > > < + )( + )> ì > Þ > Þ > > >- ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Mà ^ ( ) (theo giả thiết) nên ^ Từ = Từ ta có Từ suy ta ^ =Ð l| trung điểm đoạn tiếp tuyến nên =Ð Ð -Ð cân l| trung điểm =Ð ( ) = , tức = -Ð = Ð ta suy Lại có ^ , suy , suy tam giác =Ð Từ = Ọ 227 Câu a) suy = Suy Nếu ( = )= + Vậy với b) Cách 1: Ta có - ( £ < Đặt = + Khi - = + £ - < mà cho Do ) Suy lẻ, + = ) ( + ) suy + không chia hết cho số tự nhiên số cần tìm =( - Từ )( + ) - ) - + ( - = )+ - - , suy chia hết cho - - , suy chia hết - = = Trường hợp 1: Nếu lẻ, suy - , suy hết cho ( + + º (- + = + , với = ) + + ta có = + º (- + = chia hết cho Trường hợp 2: Nếu chia hết cho chẵn + , suy = = + = + = - + chia - vô lý nên = nên - chẵn, , suy = chia hết cho + chia hết cho - , suy - , mà chia hết cho - - vơ lý > Cách 2: Ta có cho ( - ) - - , suy - , mà - - + - suy - + chia hết - Lý luận tƣơng tự ta có - Giả sử = Chọn nhƣ trên, ta có = + £ < + chia hết cho - chia hết cho + - Mà < nên + = - , giải (vô lý) = Câu a) Ta có ( - )( Mà ¹ có + - = )( + ( nên ( ) , mà - )= ( + )( + )( + )( + ) nên đẳng thức đƣợc viết lại thành ) )= Vì + > (do khơng thể đồng thời ) nên ta + > Ngồi ra, ta có đ{nh gi{ Nên =( - - > ( + ) Û( + ) + < + < b) Rõ ràng ¹ , ta chứng minh ổ ợ ( + ) (đẳng thức khơng xảy ¹ ) < Û + < Vậy ta đƣợc ịnh Bình sưu tầ > trái dấu Ta xét hai trƣờng hợp: Ệ Ọ 228 · Nếu > > - = ( - )> nên > Tƣơng tự > > Khi + > , mâu thuẫn với a) · Nếu < < + < , m}u thuẫn với a) trái dấu Do < Khơng tính tổng qt, giả sử + - = < - Û- = > Từ đ}y dễ thấy , ta viết lại ¹ Ta cần chứng minh Câu a) Tứ giác ANBM hình chữ nhật nên hai đƣờng chéo MN, AB cắt trung điểm đƣờng Suy MN l| trung điểm AB Chứng minh tƣơng tự ta có PQ qua trung điểm AC b) Do ANBM hình chữ nhật NQ phân giác Mà nên = = vị trí đồng vị nên MN // AC Ta có MN // AC v| MN qua trung điểm AB nên MN l| đƣờng trung bình ứng với cạnh AC tam gi{c ABC Suy MN qua trung điểm I BC Chứng minh tƣơng tự ta có PQ qua trung điểm I BC Vậy NM PQ cắt trung điểm I BC c) Ta có: ịnh Bình sưu tầ = ổ = ợ Ệ Ọ 229 = Tƣơng tự ta có: = Do đó: - Mà hai hóc vị trí so le trong, suy BE // FC, từ đ}y ta sử dụng định lý Thales tam gi{c JFC v| BE //FC (J l| giao điểm d1 BC), ta có: Mặt khác theo tính chất tia phân giác ta có: = + = = = Kết hợp hai kết lại ta đƣợc: d) Ta có: = + = Do tam gi{c BEJ c}n B Mà BM vng góc với EJ nên ta có M l| trung điểm EJ Lại có tam giác KAB cân A (có AN vừa phân giác vừa l| đƣờng cao) Suy N trung điểm KB Bây sử dụng định lý Thales tam giác IBN với MJ // BN, ta = có: = = = Hai tam giác IJE IBK có c) Suy = = (đồng vị) nên đồng dạng với (c-g- Từ ta có K, E, I thẳng hàng Vậy đƣờng thẳng KE qua trung điểm I BC Chứng minh tƣơng tự, ta có LF qua trung điểm I BC Do đó, KE v| LF cắt trung điểm I BC Câu a) Giả sử ngƣợc lại ³ + học sinh tham dự buổi gặp gỡ có ( - )= tập hợp quốc gia cịn lại Khi đó, quốc gia quốc gia nên chọn b) Theo câu a) ta có - < Do số học sinh tổng cộng nên học sinh có học sinh n|o đến từ cùng quốc gia Do học sinh n|o khơng thỏa mãn đề - £ Û £ , đề có nguyên lý Dirichlet, ta cần ổ ợ + học sinh đến từ quốc gia theo ³ - Ta chứng minh đ{nh gi{ với ịnh Bình sưu tầ , chọn học sinh - Các học sinh n|y có đặc điểm là: khơng có - ³ tập hợp quốc gia có học sinh Ta chọn tất học sinh + - ³ Gọi ( Û - £ ) Vì ta có £ + nên ta đƣa Ệ Ọ 230 æ + ỗ ữố ứ chng minh Ê Do đó, với khẳng định Tiếp theo, ³ ta xét hai trƣờng hợp: · Nếu = theo (*), ta phải có · Nếu = theo (*), loại trừ học sinh nƣớc cịn lại nên £ - = quốc gia Theo nguyên lý Dirichlet, tồn đến từ , £ học sinh, học sinh đến từ quốc gia Đề số 44 Câu = 1) - + + = + - = - - - + + £ Û - £ Û £ £ Đối chiếu điều kiện giá trị cần tìm 2) Vì Nên =- Û + = Û = + ì ï + = 1) í Câu =( + ï ỵ ì ï = ï Ûí ( ï = ïỵ Vậy nghiệm +( Đặt: = ) ) - )( Theo định lí Vi et ì = ù ù - ) ổ ù =ỗ + ù ố ợ + = - - ữ( ứ < < + ổ ỗố ữ ứ + = ( - + )- hệ phƣơng trình l|: ( - Û( ) +( - ) Û( + ) + - = - ) ) ) - = + Ta có phƣơng trình: Û ( + + ) é( + ë Û( + + = nên ì ï = Ûí ïỵ = ± ) ( - < nên PT có hai nghiệm phân biệt =- < - - £ < )( ịnh Bình sưu tầ ) -( + ổ + = + )+ ùû - - + ợ éë( + )+ ( = ùû = )= Ệ Ọ 231 - - + = Û( - + + - Þ = - = +) ) +( - ) +( ) - = Û = = (VN) + + = Þ )( - + = Û( - + Vậy phƣơng trình có nghiệm + + )= Û = = Câu 1) Ta có ( Vì mà ( 2) Ta có ( = )+( + - + )º ( ) , nên )= nên Û = + , mà ) + Û ( - ( - + ) ) + số ngun tố nên ³ Do ³ Þ ³ số nguyên tố lẻ Vì = - nên số chẵn, Nếu lẻ Nếu chẵn, y nguyên tố suy º Þ Vậy số cần tìm = = Khi + = vơ lý Þ = = = + số nguyên tố + = = Câu a) Vì nên = = tứ giác = nội tiếp, ta có: b) Từ tứ giác nội tiếp = = = = = Suy hai tia HD HF trùng Vậy H, D, F thẳng hàng c) Gọi l| giao điểm ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ 232 Ta có: (Định lý Ceva) = (Phân giác) = = (Talet) = Suy ra: Vậy l| trung điểm Câu Ta có: = Đặt Ta có + + + = = + = + + + = + + ( + + Û )( + + + + + + + = + + + = - = + + = £ = = Û + + ) + + = + ( + + )( + + + = ) + + ( )( + ) + = Đề số 45 Câu Nếu ta có = ta có Đặt = = suy + ¹ Do ¹ Chứng minh tƣơng tự, ¹ Từ giả thiết tốn đƣợc viết lại thành ta có = ¹ Sử dụng kết quen thuộc = = = , vơ lý - + = Mặt khác ta lại có + + + (- ) + + - + (- ) = ( - + )( + + + - )( + + - + + = é( + ë Nên từ kết trên, ta suy + = , tức ) = - - ) , ta đƣợc = =( + + + +( + ) - +( - + = Vậy =- + + ) ) ù> û = Câu Sử dụng định lý Vieta, ta có Ta có ( )- ( )= ( ổ + )+ ( ( )- ( ) = Tƣơng tự, ta có ịnh Bình sưu tầ - = ợ =- , = + ) =( - éë ( - )( - ) - ( + )+ , = ) ùû = + ( - =- )( - ) Ệ Ọ 233 ( ) - ( ) + ( ) - ( ) = Do nên từ hai biến đổi trên, ta suy ¹ ( - )+ ( - )= ( ) ( - )+ ( - )= ( ) ( - )+ ( - )= ( ) Chứng minh tƣơng tự ta có l| nhƣ Khơng tính tổng qt, ( ) , ( ) ( ) , thấy vai trị > ta giả sử { } Khi đó, ta có - ³ - ³ Lại có nên ( ) ³ Để xảy dấu đẳng thức nhƣ ( ) dấu c{c đ{nh gi{ phải xảy Từ ra, tứ ta phải có = Đ}y l| kết cần chứng minh = Câu ( a) Phƣơng trình cho đƣợc viết lại thành ( hay ( - ) Suy ( + + ) - )= - ) + - + = = + + = Giải ra, ta đƣợc = ± = Vậy có hai cặp số nguyên ) thỏa mãn yêu cầu đề ( ) ( - ) ( b) Do + + chia hết cho chẵn nên số () Giả sử ba số khơng có số chia hết cho khơng chia hết cho Do º± ( ), Suy + + º- - ba số º± ± º± ( ± ) , suy ( ), ( ) , tức º± ( + Ta thấy rằng, với º± ( nguyên ) ) không chia hết cho + , mâu thuẫn Vậy phải có số chia hết cho chia hết cho Từ suy tích Từ có số chẵn Từ suy tích ( ) ( ) với ý ( ( ) ) = , ta có chia hết cho Câu a) Ta có Ð =Ð =Ð = nên năm điểm nằm đƣờng tròn Lại có Ð Nên Ð trịn ( = Ð -Ð = -Ð = - Ð Đ}y l| góc nội tiếp chắn cung tƣơng ứng =Ð ) , ịnh Bình sưu tầ =Ð ổ = ợ Tứ giác nội tiếp có = = -Ð đƣờng nên hình thang cân Ệ Ọ 234 b) Gọi l| giao điểm Lại có Ð = Ð -Ð , tức ta có = c) Do tứ giác = Vậy = Lại có ^ nên // // Suy Ð Suy Suy tam giác =Ð cân -Ð (do tứ giác -Ð hình thang cân nên nội tiếp) nên Ð Mà nên ^ =Ð () =Ð ^ ( ) =Ð ( ) ( ) , ta suy DBEF DBCP (g-g) Lại có trung điểm suy D Từ nên Ð = = =Ð -Ð nội tiếp nên Ð = hình thang cân nên qua trung điểm Do Từ Do tứ giác cân Từ đó, ta có Ð tam giác Lại có Ð Từ đó, ta có D D ( ) , ta suy Do Ð Ð =Ð =Ð = l| trung điểm D Kết hợp với nên từ kết trên, ta ( ) ( ) , ta đƣợc = D ( ) # D Câu a) Xét tập hợp chung với có ba phần tử Mỗi tập hợp phần tử Ta chia tập hợp nhóm Nhóm thứ gồm tập hợp chứa phần tử chứa phần tử lại có với với = với tập hợp, phải có nhóm chứa chúng đƣợc tạo thành ba , nhóm thứ hai gồm tập hợp nhóm thứ ba gồm tập hợp chứa phần tử tạo thành = phải có Ba nhóm tổng hợp tập hợp tập hợp tập hợp có phần tử chung Chỉ cần lấy tập hợp tập hợp thỏa mãn yêu cầu tốn (Chú ý, giao bốn tập hợp khơng thể có q phần tử) ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ 235 b) Xét bốn tập hợp có chung phần tử lại có chung phần tử Ta chứng minh tất tập hợp Thật vậy, giả sử tồn tập hợp có chung với tập không chứa phần tử (khác Khi ) Vì có ba phần tử nên theo nguyên lý Dirichlet, có hai tập hợp chúng có chung phần tử chung với Chẳng hạn thuẫn phần tử khác có chung phần tử có chung hai phần tử với Nhƣng lúc n|y ta có điều mâu Vậy tất tập hợp có chung Do giao hai tập hợp có phần tử nên tất phần tử cịn lại đơi khác nhau, suy Từ suy số phần tử khơng È È È ³ + ´ = _Hết ịnh Bình sưu tầ ổ ợ Ệ Ọ ... Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Ninh năm học 2019 -2020 15 98 13 Đề vào 10 Chuyên toán Quảng Nam năm học 2019 -2020 16 100 14 Đề vào 10 Chun tốn Quảng Bình năm học 2019 -2020 17 107 15 Đề vào 10 Chuyên. .. 38 Đề vào 10 Chuyên toán Hƣng Yên (vòng 2) 2019 -2020 44 207 39 Đề vào 10 Toán chung Kon Tum năm học 2019 -2020 45 210 40 Đề v|o 10 to{n chung Hƣng Yên năm học 2019- 2020 46 212 41 Đề vào 10 toán. .. học 2019 -2020 37 184 32 Đề vào 10 Chuyên toán Vũng T|u năm học 2019 -2020 38 185 33 Đề vào 10 Chuyên toán Kon Tum năm học 2019 -2020 39 189 34 Đề vào 10 Chuyên toán Hà Nội (vòng 1) năm học 2019