024 a đề vào 10 hệ chuyên toán 2022 2023 tỉnh hà nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: TỐN (Chun Tốn) Ngày thi : 20/6/2022 Thời gian làm : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (2,0 điểm) 1) 2) Giải phương trình Cho số thực x2 − 4x + 2x − + = a, b c thỏa mãn ab + bc + ca = Tính giá trị biểu thức a b c P= + + − 2 + a + b + c a + b + c − abc Bài II (2,0 điểm) n 1) Chứng minh số tự nhiên lẻ 2) Tìm tất cặp số nguyên dương ( x; y ) 32 n+1 − chia hết cho 20 cho y ( x + x + 1) = ( x + 1) ( y − 1) Bài III (2,0 điểm) 1) 2) Tìm hai số nguyên dương Với a, b, c , tiếp xúc với ba cạnh Gọi M số nguyên tố a + b + c = 3, tìm giá trị lớn P = ab + 2bc + 3ca − 3abc Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác 1) n cho n3 m+n số thực không âm thỏa mãn điều kiện biểu thức ABC m m3 m+n ABC BC , CA, AB nhọn với AI Đường tròn ba điểm giao điểm hai đường thẳng vng góc với đường thẳng AB < AC AI DF D, E ( I) nội tiếp tam giác F Chứng minh đường thẳng CM Gọi N giao điểm hai đường thẳng 2) thẳng BC Chứng minh tam giác KMN AI tam giác cân Các tiếp tuyến M N đường tròn 3) AS đường thẳng hợp gồm số có dạng 1) Chứng minh 2) Chứng minh ( K ; KM ) song song với đường thẳng Bài V (1,0 điểm) Cho tập hợp x+ y A DE Gọi K trung điểm đoạn cắt điểm S Chứng minh ID gồm 70 số nguyên dương không vượt với x∈ A y∈B 90 Gọi B (x,y không thiết phân biệt ) 68 ∈ B B chứa 91 số nguyên liên tiếp ĐÁP ÁN Bài I (2,0 điểm) Giải phương trình 3) x≥ Điều kiện : ( x − 1) = ( Phương trình cho viết lại thành : ) x −1 −1 Từ đây, ta có x2 − 4x + 2x − + = x −1 = 2x −1 −1 x −1 = − x −1 Giải phương trình đối chiếu ta có 4) Cho số thực a, b x =1 c thỏa mãn ab + bc + ca = a b c P= + + − 2 1+ a 1+ b 1+ c a + b + c − abc ab + bc + ca = ⇒ Do a a a = = a + a + ab + bc + ca ( a + b ) ( a + c ) Tính giá trị biểu thức tập b b c c = ; = b +1 ( b + c) ( b + a ) c +1 ( c + a ) ( c + b) Chứng minh tương tự, ta có : Ngồi có ab + bc + ca = nên : 2 = = a + b + c − abc ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) − abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) Từ kết ta suy : a P= b + + c ( a + b) ( a + c) ( b + c) ( b + a ) ( c + a ) ( c + b) ( ab + bc + ca − 1) = =0 ( a + b) ( b + c) ( c + a ) − ( a + b) ( b + c) ( c + a) P=0 Vậy Bài II (2,0 điểm) 3) Đặt n +1 n Chứng minh số tự nhiên lẻ n = 2k + k +3 −7 =3 4) Dễ thấy − = 81k.27 − ≡ 27 − ≡ 0(mod 20) ⇒ dfcm ( x; y ) cho y ( x + x + 1) = ( x + 1) ( y − 1) + x + 1; x + 1) = ( x ( x + 1) + 1, x + 1) = Từ phương trình, ta suy Đặt chia hết cho 20 với k tự nhiên, ta có : Tìm tất cặp số nguyên dương (x 32 n+1 − y = k ( x + 1) k y ( x + x + 1) chia hết cho x + Mà (x + x + 1, x + 1) = nên với nguyên dương Khi đó, từ phương trình cho, ta suy : y M( x + 1) k ( x + x + 1) = y − = k ( x + 1) − Do : = k ( x + 1) − k ( x + x + 1) > k ( x + 1) − k ( x + 1) = k ( k − 1) ( x + 1) ≥ 4k ( k − 1) 2 k = 1⇒ y = x +1 k Mà số nguyên dương nên x + x + = ( x + 1) − = x + x Từ Vậy phương trình có nghiệm Bài III (2,0 điểm) 3) Tìm hai số nguyên dương p= mMp Kết hợp với 2 Suy Thay trở lại phương trình cho, ta : x =1⇒ y = m≥n m n cho m≥n m3 m+n m = p ( m + n) n3 m+n Đặt số nguyên tố p với số nguyên tố Từ đây, ta , ta có : m m m p ≥ = ≥ m + n 2m 2 hay p≤2 mà p nguyên tố nên p=2 Như vậy, dấu đẳng thức dãy đánh giá phải xảy ra, tức phải có Thử lại, ta thấy thỏa mãn Vậy có nghiệm 4) Với a , b, c biểu thức a + b + c = 3, P = ab + 2bc + 3ca − 3abc AM − GM ta có : m=n= p=2 ( m, n ) = ( 2, ) số thực không âm thỏa mãn điều kiện Sử dụng bất đẳng thức k