SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH TIỀN GIANG KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi: TỐN (CHUN TỐN) Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài (3,0 điểm) Rút gọn biểu thức 1 1 + + + + + 1+ 2+ 3+ 14 + 15 15 + 16 M= N= ( ( ) −1 + 10 10 − ) 3+ Giải phương trình ( + 3x Giải hệ phương trình Bài (3,0 điểm) x2 + )( ) x + − 3x = 2 x + xy + = x x + x y + y = 3x Oxy , Trong mặt phẳng tọa độ thẳng ( d) : y = − x+m ( P) , cho parabol ( P ) : y = ax 2 Gọi x1 , x2 A ( x A ; y A ) , B ( xB ; y B ) hai nghiệm phương trình x + nx + = 0, phương trình minh m 3;3 ) đường ( d) để đường thẳng x + mx + = x3 ; x4 y A yB 25 + = xB x A 16 hai nghiệm m ≥ 2, n ≥ m, n với ( P) cắt parabol khác gốc tọa độ, cho tham số thỏa mãn ( x1 − x3 ) ( x2 − x3 ) ( x1 + x4 ) ( x2 + x4 ) = n x, y Cho hai số qua ( (với m tham số) Xác định phương trình parabol từ tìm tất giá trị tham số hai điểm phân biệt M liên hệ với đẳng thức x + y − xy + 10 ( x − y ) + 21 = giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài (1,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) −m Chứng S = x− y+2 y= thỏa mãn 2x −1 x − x +1 Tìm Bài (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) AD, BE , CF ( D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB ) P, Q gọi hình chiếu DH 1) tia phân giác M nội tiếp đường tròn tâm O, có ba đường cao cắt H Tia AO cắt BC M cắt AB, AC Chứng minh : ∠EDF HE NB = HF NC 2) HE.MQ.HB = HF MP.NC 3) ĐÁP ÁN Bài (3,0 điểm) Rút gọn biểu thức M= + 1+ 2+ + 3+ + + 14 + 15 + 15 + 16 M = − + − + + 16 − 15 = 16 − = N= ( ( ) −1 + 10 10 − ) 3+ Giải phương trình + 3x x2 + x + + 3x ⇔ ( x − 1) Vậy ( = ( ( ) ( + 1) − 1) + −1 ( + 3x x2 + )( = )( ( − 1) ( 3 x − = x= 9x +1 −1 = ⇔ ⇔ 9 x + = x = ) 1 S = ;0 3 Giải hệ phương trình −1 ) x + − 3x = = ⇔ + 3x x2 + = x + + 3x ( 2 x + xy + = x x + x y + y = 3x ) = =1 +1 ) +1 ( O) N, Ta có ( 0; y ) không nghiệm hệ nên : 1 x + y ) + x + ÷= ( x + y + = x + y = x x = x ⇔ ⇔ ⇔ y =1 x + xy + y = ( x + y ) x + = x + x = ÷ x x Vậy hệ có tập nghiệm (x;y)= Bài (3,0 điểm) ( 1;1) Trong mặt phẳng tọa độ x+m ( d) : y = − đường thẳng parabol thẳng M ( ( d) ( P) , Oxy, cho parabol gốc tọa độ, cho ) ( P) ) hai điểm phân biệt m để đường A ( x A ; y A ) , B ( xB ; y B ) ( 3) ⇔ a =1 khác Vậy parabol ( P) ( d ) : x2 = − ( P ) : y = x2 x+m ∆ = + 16m Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt ⇔m>− khác gốc tọa độ 3;3 (với m tham số) Xác định phương trình Phương trình hồnh độ giao điểm có qua ( y A y B 25 + = xB x A 16 3;3 ∈ ( P ) : y = ax ⇔ = a ⇔ x + x − 2m = M từ tìm tất giá trị tham số cắt parabol ( P ) : y = ax ,m ≠ 16 A ( xA ; y A ) Theo định lý Vi-et, ta có : x A + xB = − ; x A x B = − m y A yB 25 x x 25 x + x2 25 + = ⇔ A+ B = ⇔ A B = xB xA 16 xB x A 16 x A xB 16 B ( xB ; y B ) (x +x ) ⇔ A B Gọi − x A xB ( x A + xB ) x A xB x1 , x2 1 1 − ÷ − ( −m ) − ÷ 25 2 = 25 ⇔ m = 2(tm) = ⇔ 16 −m 16 x + mx + = hai nghiệm phương trình x + nx + = 0, nghiệm phương trình m ≥ 2, n ≥ Chứng minh Theo định lý Vi-et , ta có x1 + x2 = −m x1 x2 = với m, n x3 ; x4 hai tham số thỏa mãn ( x1 − x3 ) ( x2 − x3 ) ( x1 + x4 ) ( x2 + x4 ) = n − m2 x3 + x4 = − n x3 x4 = VT = ( x1 − x3 ) ( x2 − x3 ) ( x1 + x4 ) ( x2 + x4 ) = n − m Ta có : = x1 x2 − x3 ( x1 + x2 ) + x23 x1 x2 + x4 ( x1 + x2 ) + x42 = ( + mx3 + x32 ) ( − mx4 + x42 ) = ( mx3 − nx3 ) ( − mx4 − nx4 ) = ( n − m ) x3 ( m + n ) x4 = n − m = VP x, y Cho hai số liên hệ với đẳng thức x + y − xy + 10 ( x − y ) + 21 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Viết lại biểu thức cho thành x Như với Suy y ( x − y + 2) ta ln có ( S + 5) ( S + 1) ≤ ⇔ −5 ≤ S ≤ −1 S = x− y+2 + ( x − y + 2) + = − y2 S + 6S + ≤ (với S = x − y + 2) Do : x = −7 x = −3 Min S = −5 ⇔ ; Max S = −1 ⇔ y = y = Bài (1,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên y= Ta có : y =0⇒ x= 2x −1 ⇔ yx − ( y + ) x + y + = x − x +1 ( ktm ) ( x; y ) y= thỏa mãn 2x −1 x − x +1 ⇔ ∆ = ( y + ) − y ( y + 1) ≥ ⇔ − y ≠ 0, Vì phương trình có nghiệm 2 ≤ y≤ 3 x = y =1⇒ x = y ∈ ¢, y ≠ ⇒ x = −1 y = −1 ⇒ x = Vậy có cặp số cần tìm Bài (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn đường cao M cắt minh : ( 1;1) , ( 2;1) , ( −1; −1) , ( 0; −1) ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường trịn tâm O, có ba AD, BE , CF ( D ∈ BC , E ∈ AC , F ∈ AB ) ( O) N, gọi P, Q cắt H Tia hình chiếu M AO cắt BC AB, AC Chứng 4) DH tia phân giác ∠EDF Chứng minh hai tứ giác Suy Mà Vậy 5) BFHD, CEHD ∠HDF = ∠HBF , ∠HDE = ∠HCE ∠HBF = ∠HCE DH (cùng phụ tia phân giác nội tiếp ∠A) ⇒ ∠HDF = ∠HDE ∠EDF HE NB = HF NC Ta có : NC ⊥ AC ⇒ NC / / BH hành , tứ giác BCEF ∠FEH = ∠BCH , tương tự, ta có NB / /CH nên BHCN nội tiếp, suy : ∠FBH = ∠ECH ⇒ ∆HFE ∽ ∆HBC ∆HFE ∽ ∆NCB ⇒ Do đó, HE NB = HF NC HE.MQ.HB = HF MP.NC 6) MQ / / NC ( ⊥ AC ) ⇒ MQ AM MP AM = ; MP / / NB ( ⊥ AB ) ⇒ = NC AN NB AN MQ MP NB MP = ⇒ = NC NB NC MQ Lại có : Vậy HB = NC (do , ,mà HBNC HE NB HE MP = → = ⇒ HE.MQ = HF MP HF NC HF MQ hình bình hành) HE.MQ.HB = HF MP.NC hình bình ... biểu thức M= + 1+ 2+ + 3+ + + 14 + 15 + 15 + 16 M = − + − + + 16 − 15 = 16 − = N= ( ( ) −1 + 10 10 − ) 3+ Giải phương trình + 3x x2 + x + + 3x ⇔ ( x − 1) Vậy ( = ( ( ) ( + 1) − 1) + −1 ( + 3x... S = ;0 3 Giải hệ phương trình −1 ) x + − 3x = = ⇔ + 3x x2 + = x + + 3x ( 2 x + xy + = x x + x y + y = 3x ) = =1 +1 ) +1 ( O) N, Ta có ( 0; y ) khơng nghiệm hệ nên : 1 x +... ) ( − mx4 − nx4 ) = ( n − m ) x3 ( m + n ) x4 = n − m = VP x, y Cho hai số liên hệ với đẳng thức x + y − xy + 10 ( x − y ) + 21 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Viết lại biểu thức cho