Khi t½nh giîi h¤n h m sè, chóng ta câ thº sû döng qui tc L'Hæpital... Chùng minh b¬ng qui n¤p.[r]
(1)CHUYN DY SÈ
Khi l m viằc vợi dÂy số, ngoi viằc tẳm hiu tẵnh chĐt cừa số hÔng (tờng quĂt) thẳ viằc tẳm giợi hÔn cừa dÂy số õ l quan trồng nhĐt Chẵnh vẳ i·u n y, t i li»u nhä n y tæi cè gng trẳnh by nhỳng kắ thuêt thữớng dũng nhĐt tẳm giợi hÔn cừa dÂy số Bản cÔnh õ l mởt lợp bi têp liản quan án cĂc dÂy số nguyản
1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n
Cho h m sè
u :N∗ −→R n 7−→ un
Th÷íng thẳ kẵ hiằu {un}n=1hoc gồn hỡn (un)hoc {un} é Ơy viằc xuĐt phĂt tứ u0 hay u1 khổng quan trồng
DÂy {un}n=1 ữủc gồi l cõ giợi hÔn l Rnáu vợi mồi > 0, tỗn tÔi n0 Nsao cho vợi
mồi n n0 thẳ |un l| < Kẵ hiằu lim
nun = l ho°c lim un = l D¢y {un}∞n=1 câ giợi hÔn l náu lim
1 un
= Sau Ơy tổi trẳnh by vi tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa dÂy số
(i) Náu lim un = l thẳ lim |un| = l
(ii) Náu lim un = l, lim = l0 th¼ lim un± = l ± l0, lim unvn = ll0
(iii) N¸u lim un = 0v (vn)bà ch°n (tùc tỗn tÔi M > cho |un| M, n) thẳ lim unvn =
(iv) Náu lim un = l, lim = l06= v 6= tø mët ch¿ sè n o â trð i thẳ lim un
= l l0 (v) Náu un ≤ wn ≤ tø mët ch¿ sè n o â trð i v lim un = lim th¼ lim wn = lim un
2 Mët sè ph÷ìng phĂp tẳm giợi hÔn dÂy số
2.1 Dũng tẵnh ỡn iằu cừa dÂy số
Mởt dÂy số ữủc gồi l tông (giÊm) náu un+ un(un+1 un) vợi mồi n N
Mởt dÂy số ữủc gồi l b chn trản (dữợi) náu tỗn tÔi M > cho un ≤ M (−un < M ) vỵi mồi n N
Náu (un) tông (giÊm) v b chn trản (dữợi) thẳ tỗn tÔi l cho lim un = l é Ơy ta cƯn ỵ |l| M
Ưu tiản ta i vo mởt vẵ dư kh¡ ìn gi£n Cho d¢y sè
an = n! (2n + 1)!!
(2)Gi£i Bơng viằc sỷ dửng mĂy tẵnh bọ túi ta dỹ oĂn ữủc an l dÂy giÊm Ta cõ an+1
an
= n + 2n + <
Do â (an)l d¢y gi£m v bà ch°n dữợi bi Gồi l l giợi hÔn cừa (an) M°t kh¡c ta câ an+1=
n +
2n + 3an, vẳ thá lim an+1 = lim n +
2n + 3an hay ta câ ph÷ìng tr¼nh l =
2l ⇔ l =
1 Cho d¢y sè
(
x0 =
xn+1 = sin xn n ≥ Tẳm lim xn
GiÊi Trữợc tiản ta s chựng minh dÂy b chn: xn (0; 1)vợi mồi n ≥ Thªt vªy, ta câ x1 = sin ∈ (0; 1) v n¸u xn ∈ (0; 1) th¼ xn+1 = sin xn ∈ (0; 1) Ngo i ta câ
xn+1= sin xn < xn (sû döng bĐt ng thực sin x < x vợi mồi x > 0)
Vêy dÂy xn l dÂy giÊm v b chn dữợi bi nản tỗn tÔi lim xn = l ∈ [0; 1] Tø ¥y ta câ
l = sin l
Phữỡng trẳnh ny cõ nghiằm l l =
Nhªn x²t: Trong b i ny ta thĐy trữợc tiản ta phÊi chựng minh dÂy b chn, tứ tẵnh b chn ta mợi i án tẵnh ỡn iằu cừa dÂy số CƯn lữu ỵ n¶n chùng minh bà ch°n c ng ch°t c ng tèt CĂc vẵ dử sau s cho ta thĐy ró viằc khõ khôn chựng minh tẵnh b chn cừa dÂy sè
2 Cho d¢y sè
an = q
2012 +p2012 + · · · +√2012( n l¦n côn) Chựng minh dÂy số cõ giợi hÔn hỳu hÔn v tẳm giợi hÔn õ
GiÊi Ta dng nhên thĐy an+1 =
2012 + an v an > vỵi måi n Khi â
an+1− an = √
2012 + an− an =
2012 √
2012 + an+ an >
án Ơy muốn chựng minh dÂy số hởi tử ta cƯn chựng minh an b chn trản Những viằc ta tẳm ữủc số M bi ny l tữỡng ối khâ Ta s³ gi£ sû an hëi tö v· l, â ta câ l = √2012 + l Gi£i phữỡng trẳnh ta tẳm ữủc l = +
8049
2 án Ơy ta s chựng minh an <
1 +√8049
(3)Thªt vªy, a1= √
2012 < + 8049
2 v n¸u an <
1 + 8049
2 th¼
an+1 = √
2012 + an < r
2012 +1 + √
8049
2 =
1 +√8049
2
Vêy (an) b chn trản bi
1 +8049
2 v lim an =
1 +√8049
2
Nhên xt: Ta thĐy vẵ dử ny  i tẳm giợi hÔn trữợc rỗi chựng minh giợi hÔn õ cụng l cên trản
1 Cho α > v d¢y sè
x1= α 2xn+1=
r
3x2n+ +
n n ≥ Chùng minh dÂy số cõ giợi hÔn hỳu hÔn v tẳm giợi hÔn õ
GiÊi Ta dng chựng minh xn > vợi mồi n bơng qui nÔp Ta cõ
4x2n+1 = 3x2n + + n ⇔ 4(x2n+1− x2n) = −x2n+ +
n ≤ −α
+ +
n < −3 + n ≤
Ta nhên thĐy (xn) l dÂy giÊm Vêy õ tỗn tÔi l cho lim xn = l hay
lim 2xn+1= lim r
3x2n+ + n ⇔ 2l =p3l2+ 1
Gi£i phữỡng trẳnh ny ta nhên ữủc l =
Nhên xt: Trong cĂch lm ny cõ l cƠu họi ữủc l tÔi lÔi ữợc lữủng ữủc xn Ôt ữủc iÃu ny, câ thº cho α = 3, 4, , sau â chóng ta sû dưng m¡y t½nh bä túi tẵnh toĂn cĂc số hÔng mội trữớng hủp rỗi ữa án nhên xt õ
Mởt số bi têp à ngh Cho dÂy số
u1 = 2012 un−1 = n2(un−1− un) Chùng minh d¢y số cõ giợi hÔn v tẳm giợi hÔn
2 Cho a, b > v d¢y
u1 ∈ (0; b) un+1 =
r
ab2+ a2n
(4)3 Cho d¢y sè (un) thäa m¢n i·u ki»n (
an ∈ (0; 1) an(1 − an) >
1
n ≥
Chùng minh d¢y sè câ giợi hÔn v tẳm giợi hÔn õ Cho a > 0, x²t d¢y sè sau
u1 > un+1 =
aun p
a2+ u2 n
n ≥
T¼m số hÔng u2012 v giợi hÔn cừa dÂy Cho (un) l dÂy số dữỡng v t
Sn = u1+ u2+ · · · + un Gi£ sû ta câ
un+1 ≤ Sn+1
((Sn− 1)un+ un−1) T¼m lim un
6 Cho c ≤ v d¢y sè
a1= c an+1=
1 2(c + a
2
n) n ≥ Chùng minh d¢y sè câ giợi hÔn
7 Cho dÂy số
an+1 = p
(p − 1) an+ a ap−1n
, n ≥ â p ∈N∗, a ≥ 0, a1> Chùng minh d¢y số cõ giợi hÔn Cho dÂy số
x1 = xn =
x1+ 2x2+ · · · + (n − 1)xn−1
n(n2 1) n Tẳm lim un vợi un = (n + 1)3xn
HD: (n + 2)3x n+1 =
n2(n + 2)2
(n + 1)4 (n + 1) 3x
n ⇔ un+1=
n2(n + 2)2 (n + 1)4 un Cho d¢y (un) thäa m¢n
u0 > un+1 =
un(u2n+ 12) 3u2
n+
n Tẳm giợi hÔn cừa dÂy số tr¶n
HD: °t f(x) = x(x2+ 12)
(5)2.2 Dòng h m co ho°c kh£o s¡t ë chảnh lằch
DÂy số (un) ữủc xĂc nh
(
u1 ∈ [a; b] un+1 = f (un)
trong â |f0(x)| ≤ q < 1 vỵi måi x ∈ (a; b) Trong ph÷ìng ph¡p n y th÷íng dịng ành lỵ Largrange: Náu f l hm số liản tửc trản [a; b] v khÊ vi trản (a; b) thẳ õ tỗn tÔi c (a; b) cho
f (b) − f (a) = f0(c)(b − a) Cho d¢y sè
(
u1 = α un+1 =
1
2ln(1 + u
n) − 2012 n ≥ Chùng minh d¢y sè câ giợi hÔn hỳu hÔn v tẳm giợi hÔn õ GiÊi X²t h m sè f(x) =
2ln(1 + x
2) − 2012, x ∈
R Ta câ
|f0(x)| = | x + x2| ≤
1
2, x R
Mt khĂc phữỡng trẳnh f(x) = x câ nghi»m nh§t x0 hay f(x0) = x0 Do â
|un+1− x0| = |f (un) f (x0)|
p dửng nh lỵ Largrange, õ tỗn tÔi c nơm giỳa un v x0 cho
|f (un) − f (x0)| = |f0(c)||un− x0| ≤
2|un− x0| ≤ · · · ≤
1
2
n
|u1− x0|
Tø ¥y ta câ lim |un+1 − x0| ≤ lim 1
2
n
|u1 − x0| = Vªy lim |un+1 − x0| = hay
lim un = x0
Nhên xt: Trong vẵ dử trản thĐy ró viằc dũng nh lỵ Largrange v h m co ¢ gióp chơng ta ¡nh gi¡ ÷đc ë l»ch |un− l| Trong nhi·u tr÷íng hđp chóng ta câ thº ¡nh gi¡ m khỉng c¦n dịng án viằc sỷ dửng hm co v nh lỵ Largrange
1 Cho d¢y sè
u0> un+1=
u2n+ 2(un+ 1)
n Tẳm giợi hÔn cừa dÂy số
GiÊi Ró rng un > vợi mồi n Náu (un)cõ giợi hÔn l l thẳ ta cõ
l = l 2+ 3 2(l + 1) ⇔ l = Khi â ta x²t
|un+1− 1| ≤
(un− 1)2 2(un+ 1)
= |un− 1| 2(un+ 1)
(6)m ta câ b§t ¯ng thùc |x − 1| 2(x + 1) ≤
1
2, ∀x ≥ Do â
|un+1− 1| ≤
2|un− 1| ≤ · · · ≤
2n|u1− 1|
Vªy lim |un+1− 1| = hay lim un =
Nhªn x²t: Qua vẵ dử ny v so sĂnh vợi vẵ dử trản, ta thĐy ró muốn dỷ dửng ữủc hm co ta phÊi tẳm ữủc [a; b] cng cht cng tốt cho un ∈ [a; b] v f l h m co
Mët sè b i tªp · nghà Cho d¢y sè
(
u1 = 2012 un+1 =
1
4cos 2un− π, n ≥ T¼m giợi hÔn cừa dÂy số
2 cho dÂy số ÷đc x¡c ành nh÷ sau
(
u1 =
xn+1(xn+ 2) = n ≥ (a) Tẳm cổng thực tờng quĂt cừa dÂy số
(b) Tẳm giợi hÔn cừa dÂy số Tẳm giợi hÔn cõa d¢y sè
u1= un+1=
2(2un+ 3) un+
n ≥
2.3 Dũng t dÂy phử
Trong phữỡng phĂp ny ta s vay mữủn giợi hÔn cừa mởt dÂy số khĂc tẳm giợi hÔn thổng qua cĂch °t d¢y phư
1 Cho d¢y sè
(
x1, x2 ∈ (0; 1) 3xn+2= 2xn+1+ xn
n
Chựng minh dÂy số cõ giợi hÔn hỳu hÔn v tẳm giợi hÔn õ GiÊi t
v1 = max{x1, x2} vn+1 =
2vn+ v
n
3 , n = 1, 2,
Trữợc tiản ta s tẳm dÂy giợi hÔn cừa dÂy (vn) Bơng qui nÔp chựng minh ữủc (0; 1) vợi mồi n Ta cõ bĐt ng thực sau
(7)p dưng b§t ¯ng thùc trản ta chựng minh ữủc vn+1 Khi õ tỗn tÔi giợi hÔn lim = L, L [0; 1] Bơng cĂch chuyn qua giợi hÔn ta cõ phữỡng trẳnh L =
2L+ L GiÊi phữỡng trẳnh ny ta ữủc L = Sau Ơy s chựng minh {xn}n=1 cụng cõ giợi hÔn l Ta câ v1 ≥ x1, x2, gi£ sû ≥ u2n, u2n+1 Khi â
x2(n+1)= x2n+2 =
2x2n+1+ x
2n
3 ≤
2vn+ v
n
3 = vn+1 v
x2(n+1)+1 = x2n+3 =
2x2n+2+ x
2n+1 ≤
vn+1+vn
3 ≤
vn+ v
n
3 = vn+1
Vªy < x2n, x2n+1 vn, chuyn qua giợi hÔn ta lim xn = Nhên xt: Trong dÔng un+2 = f (un+1, un) ny, ta cƯn ỵ cĂch t v1 Vi»c chån max hay s³ phö thuëc hởi tử và cên trản hay cên dữợi nhơm sỷ dửng nh lẵ kàp Tiáp theo tổi s trẳnh by viằc t dÂy phử bơng cĂch nhƠn mởt lữủng f(n) thẵch hủp
1 Cho dÂy số
(
u1= b >
(n + 2)2un+1 = n2un− n − n ≥ Chùng minh d¢y sè cõ giợi hÔn hỳu hÔn v tẳm giợi hÔn õ GiÊi NhƠn hai vá cho (n + 1)2, ta ữủc
(n + 2)2(n + 1)2un+1 = (n + 1)2n2un− (n + 1)3 °t = (n + 1)2n2un Khi â ta ÷đc
vn+1 = vn− (n + 1)3 Khi â
vn+1 = v1−
23+ 33+ · · · + (n + 1)3 = 8b −(n + 1)
2(n + 2)2
4 +
Vªy lim un = lim
8b − (n + 1)
2(n + 2)2
4 +
(n + 1)2n2 = −
4
Sau Ơy l mởt số bi têp tỹ rn luy»n Cho d¢y sè
(
x1, x2∈ (0; 1) xn+2 =
1 3x
2 n+1+
2
xn Tẳm giợi hÔn cừa dÂy số trản
2 Cho dÂy số
(
x1, x2 ∈ (0; 1) xn+2 =
1 2012.x
4 n+1+
2009 2010
4
(8)3 Cho d¢y
(
x1, x2 ∈ (0; 1) 3xn+2 = 2an+1+ an
∀n
Chựng minh dÂy số cõ giợi hÔn v tẳm giợi hÔn Cho dÂy
(
x1, x2 > xn+2 =
√
xn+1− + √
xn+ 4; n = 1; 2;
Chựng minh dÂy số cõ giợi hÔn v tẳm giợi hÔn Cho dÂy số
(
u0 = un+1 =
un
2012 + (−1)
n n ≥ 1. Chùng minh d¢y số cõ giợi hÔn hỳu hÔn v tẳm giợi hÔn â Cho k > l > D¢y (un) bà ch°n v thäa m¢n
un+2 ≤ k − l
k un+1+ l kun Chùng minh d¢y sè trản hởi tử
7 Cho dÂy số
Sn =
n + 2012n+1
n Σ k=1
2012k k Tẳm giợi hÔn cừa dÂy số
8 Tẳm giợi hÔn cừa dÂy số
u0, u1 >
un+2 = u4nun+1
5 n ≥
9 Cho c¡c sè thüc d÷ìng a, a0 thäa < a0 <
a Xt dÂy số ữủc xĂc ành bði
(
u1 = a0
un+1 = un(2 aun) n Tẳm giợi hÔn cừa dÂy trản
10 Cho d > HÂy tẳm u1 sap cho dÂy số sau cõ giợi hÔn
un+1=
u2n+ d 2un
(9)2.4 Dũng giợi hÔn hm số
Náu lim
x→+∞f (x) = l v un = f (n)th¼ lim un = l Khi tẵnh giợi hÔn hm số, câ thº sû dưng qui tc L'Hỉpital â l iÃu m giợi hÔn dÂy ta khổng lm ữủc
1 Tẵnh giợi hÔn:
(i) lim n(na 1), (a > 0)
(ii) limln n
nα , (α > 0) Gi£i
(i) Theo qui tc L'Hæpital ta câ:
lim x→+∞x(
x
√
a − 1) = lim t→0+
at−
t = limt→0+
atln a
1 = ln a Vªy lim n(√na − 1) = ln a.
(ii) T÷ìng tü ta câ
lim x→+∞
ln x
xα = limt→+∞ ln t1α
t =
1 αt→+∞lim
ln t t =
1 αt→+∞lim
1 t =
2.5 Dũng nh lỵ Cesaro v nh lẵ Stolz
Cho dÂy số (un), náu lim(un+1 un) = l thẳ lim un
n = l Cho d¢y sè
(
x1 =
xn+1 = xn− x2n n ≥ T¼m lim nxn
Gi£i Sû dưng ph÷ìng ph¡p ìn i»u chóng ta chùng minh ÷đc lim xn = M ta câ
xn+1 −
xn
= xn− xn+1 xn+1xn
= x
2 n (xn− x2n)xn
=
1 − xn →
Theo ành lỵ Cesaro ta cõ
lim nxn
= lim xn
n = lim( xn+1
− xn
) =
Vªy lim nxn =
1 Cho d¢y sè
(
x0 =
(10)Gi£i Trong phữỡng phĂp ỡn iằu  chựng minh ữủc rơng lim xn = Thay vẳ tẳm lim(nxn), chóng ta s³ t¼m lim
1 nx2
n
Do â ta x²t hi»u sau
1 x2n+1 −
1 x2 n
= x
n− sin2xn x2
nsin2xn
Sû döng qui tc L'Hæpital ta câ lim x→0
x2− sin2x x2sin2x =
1 Vªy
lim x2n+1 −
1 x2
n =
3
Sỷ dửng nh lỵ Cesaro ta cõ lim nx2
n =
3 Tø ¥y ta suy lim( √
nxn) = √
3
Nhên xt: Trong vẵ dử trản thay vẳ tẵnh lim nxn, lim(
nxn)chúng ta ta  chuyºn qua t½nh lim
nxn
, lim nx2
n
( i·u n y xu§t ph¡t tø nh lỵ Cesaro).Tứ Ơy ta cõ kát luên tẳm
lim cõa nαxβn ta câ thº chuyºn qua t½nh lim x−
β α
n
n v sỷ dửng nh lẵ Cesaro Những tứ iÃu ny ta lÔi thĐy phÊi nƠng mụ cừa xn iÃu ny mởt số bi toĂn s gp khổng ẵt khõ khôn, khưc phửc iÃu ny sau Ơy tổi xin giợi thi»u ành l½ Stolz: Cho (vn) v (un) l hai dÂy thọa mÂn: (vn) tông thêt sỹ án + v
limun+1− un vn+1−
= l
th¼ limun
= l
1 Cho d¢y sè thäa
Sn = + √
2+ √
3+ · · · + √
n T¼m lim Sn
√ n
Gi£i Ta chån un = Sn v = √
n Khi â ta câ
lim un+1− un vn+1−
= lim√
n + 1(√n + n) = Vêy theo nh lẵ Stolz ta câ lim Sn
√
n =
Bi têp à ngh Cho dÂy số
u0= 2012 un+1= un+
1 u2 n
n ≥
(11)2 °t
Sn = n X
k=1
k cos k Tẵnh giợi hÔn limSn
n2 Cho a > v d¢y sè
(
u1 = a un+1 =
√
u1+ u2+ · · · + un n ≥ °t yn =
un
n Chùng minh r¬ng dÂy số (yn) cõ giợi hÔn v tẳm giợi hÔn Cho d¢y sè
u1 = un+1 = un +
1 un
n ≥ Chùng minh lim un
√ n =
√
2.6 Dịng ph÷ìng ph¡p lữủng giĂc hõa
Trong phữỡng phĂp ny chừ yáu i tẳm cổng thực tờng quĂt cho dÂy số bơng cĂch lữủng giĂc hõa
1 Cho dÂy sè thäa
un = q
2 +p2 + Ã Ã Ã +2 (n lƯn dĐu côn) Tẳm giợi hÔn cừa dÂy số
GiÊi ThoÔt nhẳn ta thĐy bi toĂn ny giống bi toĂn  giÊi phƯn dũng tẵnh ỡn iằu Vêy bi ny cõ gẳ khĂc? Ta viát lÔi dÂy số
(
u1= √
2 un+1 =
√
2 + un n Chẵnh viằc nhẳn thĐy u1 =
2 Â giúp ta liản tững án viằc lữủng giĂc hõa Thêt vêy, u1 =
√
2 = cos π v
u2 = r
2 + cosπ =
r
4 cos2 π
8 = cos Tứ Ơy ta dỹ oĂn ữủc cæng thùc têng qu¡t cho un = cos
2n+1 iÃu ny dng ữủc
(12)5 Cho d¢y
(an) :
a1 = an+1 =
1 − (1 − a2n)12
2
12 ∀n ≥
T¼m lim an Chùng minh a1+ a2+ · · · + a2012 < 1.03 Gi£i Ta câ
a1 = 12 an+1 =
1 − (1 − a2n)12
2
12 n
Sau bián ời ta ữủc
a1=
q
1 − a2n+1=
r p
1 − a2 n+
∀n ≥
Ta th§yp
1 − a21 = cosπ
6 v ta chùng minh ÷đc
p
1 − a2 n = cos
π
3.2n Vªy an = sin π 3.2n hay lim an =
Ta câ sin π 3.2n <
π
3.2n, suy
Σai < π
1 − 2n
Dạ dng ta chựng minh ữủc
1 − 22012
< 1.03
Mët sè b i tªp · nghà Cho a ∈ (0; 1) v d¢y sè
x1= a xn+1=
r
1 + xn
2 n ≥ T¼m lim
n→+∞
2np1 − x2 n
2 Cho d¢y sè
u1= √
3 un+1=
un+ √
2 − 1 + −√2un
n ≥ T¼m u2012
3 Cho hai d¢y sè
x1 = y1 = √
3 xn+1 = xn
p
1 + x2 n yn+1 =
yn +p1 + y2
(13)2.7 DÔng tẳm giợi hÔn cừa dÂy yn = f (ui)
tẳm ữủc giợi hÔn cừa dÂy yn ny ta thữớng bián ời f(ui) = g(ui1) g(ui) Cho d¢y sè
u1 = un+1 = un+
u2n
2012 n ≥ T½nh lim(u1
u2 +u2
u3
+ · · · + un un+1
)
GiÊi Trữợc tiản ta thĐy un > vỵi måi n Ta câ
un+1 = un+ u2n 2012 ⇔ 2012
un
= 2012 un+1
+ un un+1 ⇔ un
un+1
= 2012 un
− 2012 un+1
Khi â
un−1 un
= 2012 un−1
− 2012 un
u1 u2
= 2012 u1
−2012 u2
Cëng v¸ theo vá ta ữủc u1 u2
+ u2 u3
+ · · · + un un+1
= 2012 u1
2012 un+1
Tr lÔi vợi d¢y (un) Ta câ un+1− un = u2n
2012 > 0, nản dÂy (un) l dÂy tông Náu (un) b chn trản thẳ õ tỗn tÔi l cho lim un = l Do â l = l +
l2
2012, suy l = MƠu thuăn vợi l Vêy dÂy (un) khỉng bà ch°n tr¶n hay lim un = +∞ Vẳ thá
lim(u1 u2
+ u2 u3
+ · · · + un un+1
) = lim2012 u1
− 2012 un+1
= 2012
Nhên xt: Tứ Ơy ta thĐy viằc bián êi f(ui) = g(ui−1) − g(ui)l m cho vi»c t¼m Σf(ui) tr nản ỡn giÊn hỡn
9 Cho dÂy số
u1 = un =
q
u2n−1+ 4un−1+ un−1
2 n ≥
Chùng minh dÂy (yn)vợi yn = n k=1
1
(14)GiÊi Ta dng thĐy un+1 un = p
u2
n+ 4un− un
2 > vẳ un > vợi mồi n Do â un ≥
1
2 Gi£ sû (un) b chn trản, hay tỗn tÔi l cho lim un = l Tø ¥y ta câ
l = √
l2+ 4l + l
2
Phữỡng trẳnh ny vổ nghiằm vẳ l
2 Vêy lim un = + Sau bẳnh ph÷ìng v rót gån ta câ
x2n+1− xn+1xn = xn
⇔ xn
−
xn+1
=
x2n+1 Tữỡng tỹ nhữ trản ta câ
n Σ k=1
1 u2k =
1 u21 +
1 u1
− un
= − un
Vªy lim yn =
Nhên xt: Ta thĐy phữỡng phĂp ny ngoi viằc bián ời f(ui) = g(ui1 g(ui)) thẳ cỏn chựng minh dÂy (un) tông án +
Mởt số bi têp à ngh Cho d¢y sè
(
u1=
un+1= 3u2n+ un n ≥ T¼m lim(u1
u2 +u2
u3
+ · · · + un un+1
) Cho d¢y sè thäa
u1= 2012 un+1=
x2n+ (1 − n)xn+ n2+ n +
n + n ≥
°t yn = n Σ k=1
1
xk + Chùng minh d¢y số (y
n) cõ giợi hÔn v tẳm giợi hÔn ny Cho dÂy số
(
u1 = un+1 =
p
xn(xn+ 5)(x2n+ 5xn+ 8) + 16 n ≥
°t yn = n Σ k=1
1
xk + Chùng minh d¢y sè (yn
(15)3 Mët số dÔng toĂn tờng hủp
3.1 CĂc bi toĂn liản quan án dÂy tuyán tẵnh cĐp 2
M Ưu cho mửc ny l mởt vẵ dử khĂ ỡn gi£n Cho d¢y sè
x1 = 1, x2 = xn+1 =
x2n− xn−1
n ≥ T¼m cỉng thùc têng qu¡t cõa d¢y sè
Gi£i Gi£ sû xn+2 = axn+1+ bxn vợi mồi n Sỷ dửng mĂy tẵnh bọ túi ta tẵnh ữủc (
x3= x4= Khi õ ta cõ hằ phữỡng trẳnh
(
3a + b = 5a + 3b =
Gi£i h» ta ÷đc a = v b = Ta dng chựng minh ữủc bơng qui nÔp xn+2 = 2xn+1 xn GiÊi phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh ny ta ữủc xn = 2n + Nhên xt: Trong trữớng hủp ny dÂy chữa cõ dÔng sai phƠn tuyán tẵnh nản ta  tuyán tẵnh hõa cĐp dÂy Viằc tuyán tẵnh hõa s cõ nhiÃu lủi ẵch viằc khÊo sĂt dÂy số Sau tuyán tẵnh hõa ữủc dÂy ta dng tẳm ữủc cổng thực tờng quĂt cho dÂy
9 Cho d¢y sè
(
a0= a1 =
an+2 = 98an+1− an n ≥ Chùng minh an+
6 l số chẵnh phữỡng
GiÊi Trữợc tiản ta cƯn phƠn tẵch yảu cƯu bi toĂn an+
6 l số chẵnh phữỡng thẳ tỗn tÔi A(n) N cho an = 6A2(n) Thay v o ành ngh¾a cõa (an) ta câ
(
A(0) = A(1) =
A2(n + 2) = 98A2(n + 1) − A2(n) − 16
thĐy ró hỡn dÂy A(n), ta cƯn tuyán tẵnh hõa nõ Sau tuyán tẵnh hõa ta ữủc
(
A(0) = A(1) =
A(n + 2) = 10A(n + 1) − A(n)
Ta th§y ró rng tỗn tÔi dÂy số trản v dÂy A(n) l dÂy số nguyản Vêy ta lĐy
(
u0 = u1=
un+2 = 10un+1− un
(16)Nhên xt: Tứ vẵ dử trản ta cõ phữỡng trẳnh c trững cừa dÂy un+2 = aun+1 un l X2 − aX ± = N¸u phữỡng trẳnh c cõ nghiằm thẳ tẵch cừa hai nghi»m â ±1 º th§y rã hìn vi»c sû dưng tẵch cừa hai nghiằm ny i án vẵ dö sau
1 Cho a ≥ v x1, x2 l hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh x2 ax + = °t Sn = xn1 + xn2, n = 1, 2,
1 Chùng minh d¢y { Sn Sn+1
}∞n=1 l d¢y gi£m
2 Tẳm tĐt cÊ giĂ tr a cho S1 S2
+ S2 S3
+ · · · + Sn Sn+1
> n −
vỵi måi n = 1, 2,
Gi£i Câ Sn = xn1 + xn2, â x1 ≤ x2 l hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh x2 ax + = vợi (a 2) Tứ Ơy ta th§y
x1 =
a −√a2− 4
2 ≤ ≤ x2 =
a +√a2− 4
2
Trữợc tiản ta s chựng minh
S1 = a S2 = a2−
Sn+2 = aSn+1− Sn n Chựng minh bơng qui nÔp Ta cõ
aSn+1− Sn = a(xn+11 + xn+12 ) − (xn1 + xn2) = xn1(ax1− 1) + xn2(ax2− 1) = xn+21 + xn+22
Ta nhên thĐy Sn > nản °t un = Sn+1
Sn , â ta câ
un+1= a − un
Do â un+1 − un = a − un − un
= −u
n− aun+
un Ta câ un = x
n+1 + x
n+1
xn1 + xn2 n¶n x1 ≤ un ≤ x2 K²o theo u2n− aun+ Vẳ thá un+1 un 0hay {un} l dÂy tông, iÃu ny ko theo { Sn
Sn+1
} l d¢y gi£m Gåi = Sn
Sn+1 Ta nhên thĐy vẳ un
x2 nản x1 Xt a = thẳ
v1+ v2+ v3+ + = n > n − X²t a > 2: â ta gi£ sỷ tỗn tÔi a thọa yảu cƯu bi toĂn
(17)vỵi måi n = 1, 2, Chia hai vá cho n ta ữủc v1+ v2+ +
n > − n Cho n → ∞ ta ÷đc x1 = lim
v1+ v2+ +
n > i·u n y m¥u thuăn vợi x1 = a a2 4
2 <
Bi têp à ngh Cho dÂy
(an) : (
a0 =
an+1 = 4an+ p
15a2 n− 60
∀n ≥
T¼m cỉng thùc têng qu¡t v chùng minh
5(a2n+1+ 8) câ thº biºu di¹n th nh têng bẳnh phữỡng cừa số nguyản liản tiáp
2 Tẳm tĐt cÊ hm f :R+ R+ cho
f (f (x)) + f (x) = 2012.2013x, ∀x ∈R+ HD: Vỵi méi x ∈R+, ta °t
(
u0= x, u1 = f (x)
un+1 = f (un) n
Tẳm ữủc cổng thực tờng quĂt cho dÂy trản v biằn luên ta ữủc un = A.2012n Cho a, b > Tẳm tĐt c£ h m f : (0; +∞) −→ (0; +∞) thäa m¢n
f (f (x)) + af (x) = b(a + b)x, x >
3.2 DÔng hằ dÂy
2 Cho hai d¢y sè
a1 = b1 =
an+1 = an+ 2bn bn+1 = an+ bn
T¼m cỉng thùc têng quĂt cho an, bn Tứ õ tẵnh giợi hÔn cừa (cn) â cn = an bn Gi£i Ta câ
an+1+ √
2bn+1 = (1 + √
2)an+ (2 + √
2)bn = (1 +√2)(an +
√ 2bn) Khi â an+1+
√
2bn+1= (1+ √
2)n(a1+ √
2b1) = (1+ √
2)n+2 T÷ìng tü ta câ an+1− √
2bn+1 = (1 2)n+2 Kát hủp vợi trản ta cõ
an+1 =
(1 +√2)n+2+ (1 −√2)n+2
bn+1=
(1 +√2)n+2− (1 −√2)n+2
(18)Tø ¥y ta câ lim cn = Nhªn x²t: Trong c¡ch gi£i ny cõ l cƠu họi ữủc t l lm biát nhƠn2cho bn+1 rỗi cởng vá cho vá tr£ líi cho c¥u häi n y ta s³ xem sau cởng vá vợi vá ta ữủc dÂy truy hỗi Vêy ban Ưu ta ch cƯn giÊ sỷ tỗn tÔi k cho an+1+ kbn+1= (1 + k)an+ (2 + k)bn v thäa
1 k =
1 + k + k Ngo i ta th§y
an+1 bn+1
= an+ 2bn an+ bn ⇔ cn+1 =
cn+ cn+
án Ơy ta cõ th sỷ dửng phữỡng phĂp hm co tẳm lim cn Mởt số bi têp kián ngh
1 Cho h¢i d¢y sè thäa
a1= b1 = −3
an+1 = 3an+ 2bn bn+1 = 4an + 3bn Tẳm nhỳng số tỹ nhiản n cho Qn
k=1
(b2k+ 9) l sè chẵnh phữỡng
2 Cho ba dÂy số (xn), (yn), (zn) thäa m¢n
x0 = y0 = z0
xn+1 = 4xn− yn− 5zn yn+1= 2xn− 2zn zn+1 = xn− 2zn T¼m x2012, y2012, z2012
3.3 DÔng toĂn khÊo sĂt dÂy
Ơy cõ l l dÔng toĂn khõ nhĐt lm viằc vợi dÂy Vẳ nõ ỏi họi ngoi kắ nông tẳm giợi hÔn cho dÂy cỏn phÊi biát khÊo sĂt sỹ bián thiản cõa d¢y phư thc v o tham sè
2 Kh£o s¡t sü hëi tư cõa d¢y sè
(
u0 ≥ un+1 =
1 6(u
2 n + 8)
Gi£i °t f(x) = 6(x
2+ 8) Khi â ta câ u
n+1 = f (un) Rã r ng l un ≥ 0vỵi måi n Ngoi náu dÂy số cõ giợi hÔn l th¼ l =
6(l
(19)Ta thĐy f(x) tông nản (un) l dÂy ỡn iằu, viằc dÂy (un) ỡn iằu tông hay giÊm lÔi phử thuëc v o hi»u u1− u0 Khi â
u1− u0 = f (u0) − u0 =
6(u0− 2)(u0− 4) Do â ta câ c¡c tr÷íng hđp sau:
Trữớng hủp 1: Náu u0 [0; 2] thẳ u1 > u0, k²o theo u2 = f (u1) > f (u0) = u1 Lẵ luên tữỡng tỹ ta cõ dÂy (un) l dÂy tông Mt khĂc u0 [0; 2] Tứ bÊng bián thiản ta cõ un [0; 2] Vêy (un) b chn, kát hủp vợi trản ta cõ (un) hởi tử và l v ta tẳm ữủc l =
Trữớng hủp 2: Náu u0 (2; 4) th¼ u0 > u1, k²o theo u2 = f (u1) < f (u0) = u1 Lẵ luên tữỡng tỹ ta cõ dÂy (un) giÊm v b chn dữợi nản cõ giợi hÔn l l =
Trữớng hủp 3: Náu u0= thẳ un = vợi mồi n Vêy lim un =
Trữớng hủp 4: Náu u0 > thẳ u1 > u0, ko theo u2 = f (u1) > f (u0) = u1 L½ luên tữỡng tỹ ta cõ (un) l dÂy tông GiÊ sû lim un = l th¼ l ≥ un > iÃu ny mƠu thuăn vẳ l =
ho°c l = Vªy lim un = +∞
Nhên xt:
2 Cho a bĐt kẳ, hÂy kh£o s¡t d¢y (un)cho bði
u1 ∈R; un+1 = u2n+ (1 − 2a)un+ a2
Gi£i Ta câ un+1= (una)2+u+n un Vêy (un)l dÂy tông t f(x) = x2+(12a)x+a2, ta thĐy f(x) khổng ỡn iằu
Náu (un)hởi tư v· l th¼ l = a M°t kh¡c ta câ f(x) = a ⇔ x = a ∨ x = a − (*) Tị ¥y ta câ b£ng bián thiản cừa f(x)
Trữớng hủp 1: Náu u1 > athẳ (un)l dÂy tông GiÊ sỷ (un)hởi tử và l, â l ≥ un > a i·u n y mƠu thuăn vợi () Vêy lim un = +
Trữớng hủp 2: Náu a u1 a Tứ bÊng bián thiản ta cõ a un a Bi têp kián ngh
1 Cho a > cè ành, x²t d¢y (un) x¡c ành nh÷ sau:
u1> 0; un+1= un
u2n+ 3a 3u2
n+ a