002 đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh bà rịa vũng tàu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÀ RỊA – VŨNG TÀU ĐỀ THI VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN TỈNH VŨNG TÀU NĂM HỌC 2022-2023 Mơn : TỐN CHUN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (3,0 điểm)  P   a) Rút gọn biểu thức  x 2  x 1    x 1    x   x 1 : 2 x 1   1 x  với x  0, x   b) Giải phương trình : x  3x    x  1 x     x  xy  x    c) Giải phương trình 4 y  x  y   Câu (2,0 điểm) ac 2 a , b , c , d a) Cho số thực thỏa mãn b  d Chứng minh phương trình sau 2  x  ax  b   x  cx  d   có nghiệm b) Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn phương trình  x  y   2x  3y   2x  y   x2  y  z   y  x  z  Câu (1,0 điểm) Với số thực dương x, y, z thỏa mãn  Tìm giá trị lớn biểu thức P   x  y  z    x2  z  Câu 4.(3,0 điểm)  nội tiếp đường trịn tâm O có ba đường Cho tam giác ABC nhọn  cao AD, BE , CF cắt H Gọi I , J trung điểm AH BC AB  AC a) Chứng minh IJ vng góc với EF IJ song song với OA b) Gọi K, Qlần lượt giao điểm EF với BC AD Chứng minh QE KE  QF KF c) Đường thẳng chứa tia phân giác FHB cắt AB, AC M , N Tia phân giác CAB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN điểm P khác A Chứng minh ba điểm H , P, J thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC cố định có diện tích S Đường thẳng d thay đổi qua trọng tâm tam giác ABC cắt cạnh AB, AC M, N Gọi S1 , S2 diện tích tam giác ABN ACM Tìm giá trị nhỏ S1  S ĐÁP ÁN Câu (3,0 điểm)     x 2 x   x 1  P  : 2  x 1 x 1  1 x x      a) Rút gọn biểu thức với x  0, x    2 x  x  1 x 2 x   x 1  P  :   x 2 2  x 1  x x 1   x 1  x 1 x 1                    b) Giải phương trình : x  x    x  1 x   Điều kiện: x  x  1  x   Vậy x  Phương trình tương đương  x  1(ktm) 2x      x   x    x  3(tm)   x  xy  x    c) Giải phương trình 4 y  x  y   Cộng hai phương trình cho vế theo vế x  2y 1  2 x  2y      x  y  3 Trường hợp 1: x  y   x   y thay vào phương trình hệ ta :  x  2y y   x 1 y 1 y  y 1   y  y    y    x   x  y    x   y  Trường hợp 2: thay vào pt hệ ta : 2  1  17 5  17 x y  4 y2   y  y 1   y2  y      1  17 5  17 x y   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  1;  ,  2;     5  17 1  17   5  17 1  17  ; ;   ;  ;     4    Câu (2,0 điểm) ac 2 a) Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn b  d Chứng minh phương trình sau 2  x  ax  b   x  cx  d   ln có nghiệm  x  ax  b   1  x  cx  d      Phương trình cho Giả sử phương trình vơ nghiệm, hai phương trình (1), (2) vô nghiệm Tức :    1  4b  a   b  0, d   b  d    4d  c      ac   ac   b  d  Lúc theo giả thiết b  d  b  d    a  c   ac Tuy nhiên điều vô lý Vậy điều giả sử sai Ta có điều phải chứng minh x; y b) Tìm tất cặp số nguyên   thỏa mãn phương trình  x  y   2x  3y   2x  y   Đặt a  x  y; b  x  y từ giả thiết ta : ab  4a  b    a  b    b   a  Do x, y  ¢  a , b  ¢  b2 ¢ b2  b2 b2  x  y   x  2 b2a0  2 x  y   y  (thử lại đúng) Với 2   b   b  b  b   b   b   b2      2  b  b2     b  b   (vô lý) Với x; y  2;  Vậy    Câu (1,0 điểm) Với số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức Ta có : 3y  x  z   y   x  z Do : 2 mãn  x2  y2  z   y  x  z  P   x  y  z    x2  z    2y   x  z x, y, z thỏa 2  xz  xz xz  2  3      y  y   y  P   x  z   x  z  x  z  x2  z  x  z   x2  z 2  1  1    x    z     2  2 Max P   x  z  ; y  2 Vậy Câu 4.(3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn  AB  AC  nội tiếp đường tròn tâm O có ba đường cao AD, BE , CF cắt H Gọi I , J trung điểm AH BC a) Chứng minh IJ vng góc với EF IJ song song với OA 1 BC ; IE  IF  AH  IJ 2 đường trung trực EF  IJ  EF Kẻ đường kính AT (O)  BHCT hình bình hành  I trung điểm HT  IJ / / AT b) Gọi K, Qlần lượt giao điểm EF với BC AD Chứng minh QE KE  QF KF JE  JF  Các tứ giác BDHF , CDHE , BCEF tứ giác nội tiếp nên ta có : EDH  HCE  HBF  HDF HD  HK  DQ, DK phân giác phân giác DEF QE KE  DE     QF KF  DF  Theo tính chất đường phân giác c) Đường thẳng chứa tia phân giác FHB cắt AB, AC M , N Tia phân giác CAB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN điểm P khác A Chứng minh ba điểm H , P, J thẳng hàng Ta có AMH  MBH  MHB  NCH  NHC  HNA  AMN cân A  AP đường kính  AMN   PM / / HC , PN / / HB Gọi G giao điểm PM , HB L giao điểm PN , HC Khi tứ giác HGPL hình bình hành nên HP qua trung điểm R GL Áp dụng định lý Talet tính chất đường phân giác ta : GH MF HF LH NE HE   ;   GB MB HB LC NC HC HF HE GH LH HFB ∽ HEC      GL / / BC HB HC GB LC Mặt khác Giả sử HR cắt BC J’ RG AR RL    J ' B  J 'C  J '  J Áp dụng định lý Talet ta có : J ' B AJ ' J ' C Vậy ba điểm H , P, J thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC cố định có diện tích S Đường thẳng d thay đổi qua trọng tâm tam giác ABC cắt cạnh AB, AC M, N Gọi S1 , S2 diện tích tam giác ABN ACM Tìm giá trị nhỏ S1  S Gọi D trung điểm BC G trọng tâm ABC AM AN S AMN S AMG  S ANG S AMG S ANG     AB AC S S S S ACD ABD Ta có : AM AG AN AG  AM AN        AB AD AC AD  AB AC  S1  S2 S ABN  S ACM AN AM AB AC      3 S S AC AB AM AN ABC Mà S1  S2  AN AM   AB AC        S1  S2  S S  AC AB   AM AN  AM AN    d / / BC AB AC Đẳng thức xảy S, S  S Vậy giá trị nhỏ biểu thức đạt d / / BC 