Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh dak nông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DAK NÔNG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian làm : 150 phủt ĐỀ THI CHÍNH THỨC  x x 1 x x 1  2x P    : x 1 x 1    x  với x  0, x  Bài (1,5 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P với x   2 c) Tìm x để P  Bài (2,0 điểm) a) Giải phương trình :  x    x    x    x  1  56 2 x  y  xy  x    x  y  x2  y  1  b) Giải hệ phương trình  Bài (2,0 điểm) a) Cho phương trình bậc hai: x   3m  1 x   m2     * với m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 x  x  x1 x2  2 x; y b) Tìm tất nghiệm nguyên   phương trình : x  y  xy  x  y  13  Bài (0,5 điểm) Trên bảng có hai số Thực ghi thêm số lên bảng theo quy tắc sau : Mỗi lần viết lên bảng số c  ab  a  b với hai số a b có bảng Hỏi cách viết thêm số sau số lần hữu hạn viết số 2022 lên bảng không ? Bài 5.(3,0 điểm) Cho đường trịn (O) điểm M nằm ngồi đường (O) Từ M  .K kẻ tiếp tuyến MA, MB đến   (A, B tiếp điểm).Kẻ cát tuyến trung điểm NP a) Chứng minh điểm A, K , O, B thuộc đường trịn xác định tâm đường trịn b) BA cắt OK E MP cắt AB F Chứng minh KF phân giác AKB từ suy EA.FB  EB.FA c) Chứng minh cát tuyến MNP thay đổi trọng tâm tam giác ANP ln thuộc đường trịn cố định Bài (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ MNP MN  MP O P biểu thức x2 15 x  26 xy  y  y2 15 y  26 yz  z  z2 15 z  26 zx  x ĐÁP ÁN  x x 1 x x 1  2x P     : x  x  x    Bài (1,5 điểm) Cho biểu thức với x  0, x  d) Rút gọn biểu thức P  x x 1 x x   2x P    : x 1   x 1  x 1  x 1 x  x  x 1 x  x 1    x 1 x 1         x  x 1 x  x 1       x 1 2x  x  x x    2x 2x x 1 x e) Tính giá trị biểu thức P với x   2 x   2  x  1  P  f) Tìm x để P  x 1 3  x P 3 x 1 1    2 x 1 x 1 x   x 1  x  x Bài (2,0 điểm) x    x    x    x  1  56 c) Giải phương trình :   x    x    x    x  1  56   x    x  1  x    x    56   x  10 x    x  10 x  24   56   * Dat t  x  10 x    *  t (t  15)  56  x  t  7  x  10 x      t  15t  56     x  2 t  8  x  10 x    x   2  Vậy  x  2;8;5  2  2 x  y  xy  x    1  x  y  x2  y  1   2 d) Giải hệ phương trình   x  y    3  1   x  y  3  x  y  3    x  y     Ta có a  x  y  2, a  a2  x2  y   x2  y  a2  Đặt , Suy  a   x  y    5    a   a    a  2a      a  3( ktm)  x     y  1 x  y  x  y  Th1:      x  2 x  y   x  x        y  5     y  2x   y  2x   x  1; y  1 Th2 :     x  5; y  13 x  y 1  x  4x    5   S   1; 1 ;  2;  ;  5; 13  2    Vậy tập nghiệm hệ phương trình Bài (2,0 điểm) a) Cho phương trình bậc hai: x   3m  1 x   m     * với m tham 2 số Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2 x1  x2  x1 x2   '   3m  1  1.3  3m    6m  Ta có : Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt '   m   x1  x2  6m   Theo Vi-et ta có :  x1 x2  9m  x12  x22  x1 x2    x1  x2   x1 x2    6m     9m     m  1(tmdk ) Vậy m  b) Tìm tất nghiệm nguyên  x; y  phương trình : x  y  xy  x  y  13  x  y  xy  x  y  13    x  y    x  y  3  Ta có : Ta xét trường hợp x  y   x  th1:   2 x  y    y  2 x  y    x  11 th3 :    x  y    y  20  x  y   1  x  11 th :    x  y   7  y  12  x  y   7 x  th :    x  y   1  y  Vậy tập nghiệm nguyên phương trình cho S    1; 2  ;  11; 12  ;  11; 20  ;  1;6   Bài (0,5 điểm) Trên bảng có hai số Thực ghi thêm số lên bảng theo quy tắc sau : Mỗi lần viết lên bảng số c  ab  a  b với hai số a b có bảng Hỏi cách viết thêm số sau số lần hữu hạn viết số 2022 lên bảng khơng ? c n Gọi   số viết lên bảng sau lần thực thứ n Ta chứng minh c  n  chia dư với n Ta có số viết lên bảng : 5;11;17; 23; Giả sử bảng có số chia cho dư số Th1: Ta chọn a  1; b  3k  số viết lên ab  a  b  3k    3k   6k  chia dư Th2: Ta chọn a  3m  2, b  3k  số viết lên : ab  a  b   3m    3k    3m   3k    3mk  3k  3m    chia dư Vậy số viết lên bảng chia dư mà 2022M3 nên viết số 2022 lên bảng Bài 5.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) điểm M nằm đường (O) Từ M O kẻ tiếp tuyến MA, MB đến   (A, B tiếp điểm).Kẻ cát tuyến MNP  MN  MP  K trung điểm NP d) Chứng minh điểm A, K , O, B thuộc đường trịn xác định tâm đường trịn  MKO  90 (K trung điểm NP) Ta có MAO  90 (AM tiếp tuyến (O)), MBO  90 ( BM tiếp tuyến (O)) Suy A, B, K nhìn MO góc vng Suy A, B, K , O, M nằm đường trịn đường kính OM  OM  A, B, K , O   O;   có tâm trung điểm OM  Suy e) BA cắt OK E MP cắt AB F Chứng minh KF phân giác AKB từ suy EA.FB  EB.FA Ta có : AKM  AOM (tứ giác AKOM nội tiếp ) BKM  BOM (tứ giác BOKM nội tiếp ) Và BOM  AOM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Suy AKM  BKM  KF phân giác AKB Ta có KE  KF suy KE phân giác AKB Theo tính chất đường phân giác phân giac ngồi tam giác ta có :  EA  EB    FA   FB KA KB  EA  FA  EA.FB  EB.FA KA EB FB KB f) Chứng minh cát tuyến MNP thay đổi trọng tâm tam giác ANP ln thuộc đường tròn cố định Gọi J trung điểm OM , G trọng tâm ANP T thuộc AJ cho Ta có M , O, A cố định nên J , T cố định AT  AJ AG AT GT   GT / / KJ   KJ Ta có AK AJ Ta có KJ đường trung tuyến tam giác vuông OKM 1 KJ  OM  GT  OM Nên OM Suy G thuộc đường tròn cố định tâm T bán kính Bài (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x2 15 x  26 xy  y y2  15 y  26 yz  z  z2 15 z  26 zx  x Ta có : 15 x  26 xy  y   x2 15 x  26 xy  y y 15 y  26 yz  z   4x  y   x2 4x  y   x  y   4x  3y   4x  3y Chứng minh tương tự, ta có : y z2 z2 ;  y  3z 15 z  26 zx  x z  3x x2 y2 z2 P   x  y y  3z z  3x Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có : x2 4x  3y x2 4x  y 2x  2  4x  3y 49 4x  3y 49 Tương tự : y2 y  3z y z2 z  3x z   ;   y  3z 49 z  3x 49 Suy : x  y  z 2 x  y  z x yz P  P  7 Vậy Min P   x  y  z 1