SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DAK NÔNG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: Toán (chuyên) Thời gian làm : 150 phủt ĐỀ THI CHÍNH THỨC x x 1 x x 1 2x P : x 1 x 1 x với x 0, x Bài (1,5 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P với x 2 c) Tìm x để P Bài (2,0 điểm) a) Giải phương trình : x x x x 1 56 2 x y xy x x y x2 y 1 b) Giải hệ phương trình Bài (2,0 điểm) a) Cho phương trình bậc hai: x 3m 1 x m2 * với m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 x x x1 x2 2 x; y b) Tìm tất nghiệm nguyên phương trình : x y xy x y 13 Bài (0,5 điểm) Trên bảng có hai số Thực ghi thêm số lên bảng theo quy tắc sau : Mỗi lần viết lên bảng số c ab a b với hai số a b có bảng Hỏi cách viết thêm số sau số lần hữu hạn viết số 2022 lên bảng không ? Bài 5.(3,0 điểm) Cho đường trịn (O) điểm M nằm ngồi đường (O) Từ M .K kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (A, B tiếp điểm).Kẻ cát tuyến trung điểm NP a) Chứng minh điểm A, K , O, B thuộc đường trịn xác định tâm đường trịn b) BA cắt OK E MP cắt AB F Chứng minh KF phân giác AKB từ suy EA.FB EB.FA c) Chứng minh cát tuyến MNP thay đổi trọng tâm tam giác ANP ln thuộc đường trịn cố định Bài (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ MNP MN MP O P biểu thức x2 15 x 26 xy y y2 15 y 26 yz z z2 15 z 26 zx x ĐÁP ÁN x x 1 x x 1 2x P : x x x Bài (1,5 điểm) Cho biểu thức với x 0, x d) Rút gọn biểu thức P x x 1 x x 2x P : x 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 2x x x x 2x 2x x 1 x e) Tính giá trị biểu thức P với x 2 x 2 x 1 P f) Tìm x để P x 1 3 x P 3 x 1 1 2 x 1 x 1 x x 1 x x Bài (2,0 điểm) x x x x 1 56 c) Giải phương trình : x x x x 1 56 x x 1 x x 56 x 10 x x 10 x 24 56 * Dat t x 10 x * t (t 15) 56 x t 7 x 10 x t 15t 56 x 2 t 8 x 10 x x 2 Vậy x 2;8;5 2 2 x y xy x 1 x y x2 y 1 2 d) Giải hệ phương trình x y 3 1 x y 3 x y 3 x y Ta có a x y 2, a a2 x2 y x2 y a2 Đặt , Suy a x y 5 a a a 2a a 3( ktm) x y 1 x y x y Th1: x 2 x y x x y 5 y 2x y 2x x 1; y 1 Th2 : x 5; y 13 x y 1 x 4x 5 S 1; 1 ; 2; ; 5; 13 2 Vậy tập nghiệm hệ phương trình Bài (2,0 điểm) a) Cho phương trình bậc hai: x 3m 1 x m * với m tham 2 số Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2 x1 x2 x1 x2 ' 3m 1 1.3 3m 6m Ta có : Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ' m x1 x2 6m Theo Vi-et ta có : x1 x2 9m x12 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 6m 9m m 1(tmdk ) Vậy m b) Tìm tất nghiệm nguyên x; y phương trình : x y xy x y 13 x y xy x y 13 x y x y 3 Ta có : Ta xét trường hợp x y x th1: 2 x y y 2 x y x 11 th3 : x y y 20 x y 1 x 11 th : x y 7 y 12 x y 7 x th : x y 1 y Vậy tập nghiệm nguyên phương trình cho S 1; 2 ; 11; 12 ; 11; 20 ; 1;6 Bài (0,5 điểm) Trên bảng có hai số Thực ghi thêm số lên bảng theo quy tắc sau : Mỗi lần viết lên bảng số c ab a b với hai số a b có bảng Hỏi cách viết thêm số sau số lần hữu hạn viết số 2022 lên bảng khơng ? c n Gọi số viết lên bảng sau lần thực thứ n Ta chứng minh c n chia dư với n Ta có số viết lên bảng : 5;11;17; 23; Giả sử bảng có số chia cho dư số Th1: Ta chọn a 1; b 3k số viết lên ab a b 3k 3k 6k chia dư Th2: Ta chọn a 3m 2, b 3k số viết lên : ab a b 3m 3k 3m 3k 3mk 3k 3m chia dư Vậy số viết lên bảng chia dư mà 2022M3 nên viết số 2022 lên bảng Bài 5.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) điểm M nằm đường (O) Từ M O kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (A, B tiếp điểm).Kẻ cát tuyến MNP MN MP K trung điểm NP d) Chứng minh điểm A, K , O, B thuộc đường trịn xác định tâm đường trịn MKO 90 (K trung điểm NP) Ta có MAO 90 (AM tiếp tuyến (O)), MBO 90 ( BM tiếp tuyến (O)) Suy A, B, K nhìn MO góc vng Suy A, B, K , O, M nằm đường trịn đường kính OM OM A, B, K , O O; có tâm trung điểm OM Suy e) BA cắt OK E MP cắt AB F Chứng minh KF phân giác AKB từ suy EA.FB EB.FA Ta có : AKM AOM (tứ giác AKOM nội tiếp ) BKM BOM (tứ giác BOKM nội tiếp ) Và BOM AOM (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Suy AKM BKM KF phân giác AKB Ta có KE KF suy KE phân giác AKB Theo tính chất đường phân giác phân giac ngồi tam giác ta có : EA EB FA FB KA KB EA FA EA.FB EB.FA KA EB FB KB f) Chứng minh cát tuyến MNP thay đổi trọng tâm tam giác ANP ln thuộc đường tròn cố định Gọi J trung điểm OM , G trọng tâm ANP T thuộc AJ cho Ta có M , O, A cố định nên J , T cố định AT AJ AG AT GT GT / / KJ KJ Ta có AK AJ Ta có KJ đường trung tuyến tam giác vuông OKM 1 KJ OM GT OM Nên OM Suy G thuộc đường tròn cố định tâm T bán kính Bài (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x2 15 x 26 xy y y2 15 y 26 yz z z2 15 z 26 zx x Ta có : 15 x 26 xy y x2 15 x 26 xy y y 15 y 26 yz z 4x y x2 4x y x y 4x 3y 4x 3y Chứng minh tương tự, ta có : y z2 z2 ; y 3z 15 z 26 zx x z 3x x2 y2 z2 P x y y 3z z 3x Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có : x2 4x 3y x2 4x y 2x 2 4x 3y 49 4x 3y 49 Tương tự : y2 y 3z y z2 z 3x z ; y 3z 49 z 3x 49 Suy : x y z 2 x y z x yz P P 7 Vậy Min P x y z 1