SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ GIANG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2022-2023 MƠN THI TỐN HỌC Ngày thi: 15/06/2022 Thowiff gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC x ≥ 0 x +2 x −2 B = − x+ x ÷ ÷ ÷ x ≠1 x + x +1 x −1 ( Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức ) a) Rút gọn biểu thức B x b) Tìm giá trị nguyên để B nhận giá trị nguyên Câu (3,0 điểm) a) Tìm m để phương trình x + 2mx − 2m − = (m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 x +x cho 2 đạt giá trị nhỏ b) Giải phương trình ( x2 − x ) + x2 − 2x − − = Câu (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình ( x + y ) ( x − y ) + x + y = 22 Câu (3,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính BO với (điểm H không trùng với hai điểm BC , B Chứng minh MNBA BC H điểm nằm đoạn thẳng O) Qua H vẽ đường thẳng vng góc cắt đường trịn (O) A D Gọi vẽ đường thẳng vng góc với a) BC M giao điểm AC BD, qua N tứ giác nội tiếp b) Chứng minh BH BO = AB , từ tính giá trị BO OH P = 2 ÷ − AB BH M Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt hai đường thẳng c) K E Chứng minh đường thẳng AH đoạn thẳng EC AC , AN qua trung điểm I điểm H di động đoạn thẳng BO Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c a + b + c = Chứng minh ab bc ca + + ≤2 a + 2b b + 2c c + 2a ĐÁP ÁN x ≥ 0 x +2 x −2 B = − x+ x ÷ ÷ ÷ x ≠1 x + x + x −1 ( Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức B x ≥ 0 x +2 x −2 B = − x+ x ÷ ÷ ÷ x ≠1 x + x +1 x −1 ( = = ( x +2 )( ( ) ( x + 1) ( x −1 − x −2 )( x +1 ) x −1 ) )( ) = x +1 x −1 x+ x −2− x+ x +2 ( ) x= x ( ) x +1 2x x −1 x b) Tìm giá trị nguyên để B nhận giá trị nguyên B= 2x 2x − + 2 = = 2+ x −1 x −1 x −1 B ∈ ¢ ⇔ 2M( x + 1) ⇔ ( x + 1) ∈ { ±1; ±2} ⇒ x ∈ { 3; −1; 2;0} ) Đối chiếu điều kiện suy x ∈ { 3;0; 2} Câu (3,0 điểm) a) Tìm cho m để phương trình x12 + x22 x + 2mx − 2m − = (m tham số) có hai nghiệm đạt giá trị nhỏ x + 2mx − 2m − = ∆ ' = m − ( −2m − ) = m + 2m + = ( m + 1) + > có Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Áp dụng định lý Viet : x1 + x2 = −2m x1 x = −2m − x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 4m − ( −2m − ) = 4m + 4m + 12 4m + 4m + 12 = ( 2m + 1) + 11 ≥ 11 Min ( x12 + x22 ) = 11 ⇔ m = − Vậy b) Giải phương trình Đặt x1 , x2 2 ( x2 − x ) + x2 − x − − = t = x2 − x − ( t ≥ ) ⇒ x2 − x = t + Phương trình thành : (với m) ( t + 3) + t − = ⇔ 2t + t − = t = 1(tm) ⇒ x − x − = ⇔ x = ± ⇔ t = − (ktm) Vậy x = 1± Câu (1,0 điểm) ( x + y ) ( x − y ) + x + y = 22 Tìm nghiệm nguyên phương trình ( x + y ) ( x − y ) + x + y = 22 ⇔ x − xy − y + x + y − 15 = ⇔ ( x − xy + x ) + ( xy − y + y ) − ( x − y + 15 ) = ⇔ x ( x − y + 3) + y ( x − y + ) − ( x − y + 3) = ⇔ ( x − y + 3) ( x + y − ) = = 1.7 = 7.1 = −1 − = −7 − x − y + = 10 * ⇔ x = (ktm) 2 x + y − = x − y + = −1 x = −2 * ⇔ x + y − = −7 y = Vậy phương trình có nghiệm ngun x − y + = * ⇔ y = − (ktm) 2 x + y − = x − y + = −7 x = −2 * ⇔ (tm) 2 x + y − = −1 y = ( x; y ) ∈ { ( −2; ) ; ( −2;8 ) } Câu (3,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính thẳng BO M BC , H (điểm H khơng trùng với hai điểm vng góc với BD, qua BC B điểm nằm đoạn O) Qua H vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) A D Gọi vẽ đường thẳng vng góc với BC N M giao điểm AC Chứng minh a) Ta có ∠BAC = 90° Mặt khác MNBA tứ giác nội tiếp (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ ∠BAM = 90° ∠MNB = 90° Suy tứ giác MNBA có Nên tứ giác MNBA ∠BAM + ∠MNB = 90° + 90° = 180° tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MB Chứng minh b) Ta có ∆ABC BH BO = AB BH = vuông A nên AB AB = BC BO AB 2 BO − AB OH = BO − BH = BO − = BC BO OH BO − AB BO = = 2 ÷ −1 BH AB AB Vậy P =1 , từ tính giá trị BO OH P = 2 ÷ − AB BH c) Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt hai đường thẳng lượt K E Chứng minh đường thẳng điểm I đoạn thẳng Ta thấy ∠MBN = ∠DBC ∠DBC = ∠DAC Suy MNBA Tam giác OAC Từ (1), (2), (3) qua trung điểm H di động đoạn thẳng BO (đối đỉnh) (tứ giác DBAC nội tiếp) ∠NMB = ∠NAB ( ) nội tiếp nên ta có cân O nên ∠BCA = ∠OAC ( 3) ⇒ ∠NAB = ∠OAC ⇒ ∠OAC + ∠BAO = ∠NAB + ∠BAO ⇔ ∠BAC = ∠NAO ∠BAC = 90° ⇔ ∠NAO = 90° ⇒ NA Theo tính chất tiếp tuyến ta có : Trong tam giác vng nhau) Mặt khác AI / / KE ⇒ Mà lần ∠MBN = ∠DAC = ∠NMB = ∠BCA ( 1) Tứ giác Mà AH EC AC , AN ⇒ ∆KEA AH / / BK KAB, EA = EB; ∠EAB = ∠EBA ta có cân tai E tiếp tuyến (O) ∠EAB = ∠EBA ⇒ ∠BKA = ∠EAK (phụ với hai góc ⇒ AE = KE ⇒ EB = KE (cùng vng góc với AB) CI AI CI HI AI HI = [ Ta − let ] , HI / / EB ⇒ = [ Ta − let ] ⇒ = CE KE CE BE KE BE KE = EB ⇒ AI = HI → I trung điểm đoạn thẳng AH Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c a + b + c = Chứng minh ab bc ca + + ≤2 a + 2b b + 2c c + 2a ab bc ca 1 + + ≤2⇔ + + ≤ 2( a, b, c > 0) a + b b + c c + 2a a + 2b b + 2c c + 2a ab bc ca 1 ⇔ + + ≤2 2 + + + b a c b a c 1 ⇔ + + ≤2 1 1 1 1 + + + + + + b a a c b b a c c Vì 1 1 1 + + ≥ ; + + ≥ ; + + ≥ b a a b+a+a c b b c+b+b a c c a+c+c VT ≤ Nên 1 1 + + = ( b + 2a + c + 2b + a + 2c ) = ( a + b + c ) = 9 9 b + 2a c + 2b a + 2c Dấu xảy a=b=c=2