Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh hà giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ GIANG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM 2022-2023 MƠN THI TỐN HỌC Ngày thi: 15/06/2022 Thowiff gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC   x ≥ 0 x +2 x −2 B =  − x+ x  ÷ ÷ ÷ x ≠1  x + x +1 x −1  ( Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức ) a) Rút gọn biểu thức B x b) Tìm giá trị nguyên để B nhận giá trị nguyên Câu (3,0 điểm) a) Tìm m để phương trình x + 2mx − 2m − = (m tham số) có hai nghiệm x1 , x2 x +x cho 2 đạt giá trị nhỏ b) Giải phương trình ( x2 − x ) + x2 − 2x − − = Câu (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình ( x + y ) ( x − y ) + x + y = 22 Câu (3,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính BO với (điểm H không trùng với hai điểm BC , B Chứng minh MNBA BC H điểm nằm đoạn thẳng O) Qua H vẽ đường thẳng vng góc cắt đường trịn (O) A D Gọi vẽ đường thẳng vng góc với a) BC M giao điểm AC BD, qua N tứ giác nội tiếp b) Chứng minh BH BO = AB , từ tính giá trị  BO  OH P = 2 ÷ −  AB  BH M Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt hai đường thẳng c) K E Chứng minh đường thẳng AH đoạn thẳng EC AC , AN qua trung điểm I điểm H di động đoạn thẳng BO Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c a + b + c = Chứng minh ab bc ca + + ≤2 a + 2b b + 2c c + 2a ĐÁP ÁN   x ≥ 0 x +2 x −2 B =  − x+ x  ÷ ÷ ÷ x ≠1  x + x + x −1  ( Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức B   x ≥ 0 x +2 x −2 B =  − x+ x  ÷ ÷ ÷  x ≠1  x + x +1 x −1  ( = = ( x +2 )( ( ) ( x + 1) ( x −1 − x −2 )( x +1 ) x −1 ) )( ) = x +1 x −1 x+ x −2− x+ x +2 ( ) x= x ( ) x +1 2x x −1 x b) Tìm giá trị nguyên để B nhận giá trị nguyên B= 2x 2x − + 2 = = 2+ x −1 x −1 x −1 B ∈ ¢ ⇔ 2M( x + 1) ⇔ ( x + 1) ∈ { ±1; ±2} ⇒ x ∈ { 3; −1; 2;0} ) Đối chiếu điều kiện suy x ∈ { 3;0; 2} Câu (3,0 điểm) a) Tìm cho m để phương trình x12 + x22 x + 2mx − 2m − = (m tham số) có hai nghiệm đạt giá trị nhỏ x + 2mx − 2m − = ∆ ' = m − ( −2m − ) = m + 2m + = ( m + 1) + > có Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Áp dụng định lý Viet :  x1 + x2 = −2m   x1 x = −2m − x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 4m − ( −2m − ) = 4m + 4m + 12 4m + 4m + 12 = ( 2m + 1) + 11 ≥ 11 Min ( x12 + x22 ) = 11 ⇔ m = − Vậy b) Giải phương trình Đặt x1 , x2 2 ( x2 − x ) + x2 − x − − = t = x2 − x − ( t ≥ ) ⇒ x2 − x = t + Phương trình thành : (với m) ( t + 3) + t − = ⇔ 2t + t − = t = 1(tm) ⇒ x − x − = ⇔ x = ± ⇔ t = − (ktm)  Vậy x = 1± Câu (1,0 điểm) ( x + y ) ( x − y ) + x + y = 22 Tìm nghiệm nguyên phương trình ( x + y ) ( x − y ) + x + y = 22 ⇔ x − xy − y + x + y − 15 = ⇔ ( x − xy + x ) + ( xy − y + y ) − ( x − y + 15 ) = ⇔ x ( x − y + 3) + y ( x − y + ) − ( x − y + 3) = ⇔ ( x − y + 3) ( x + y − ) = = 1.7 = 7.1 = −1 − = −7 − x − y + = 10  * ⇔  x = (ktm)  2 x + y − =  x − y + = −1  x = −2 * ⇔  x + y − = −7 y = Vậy phương trình có nghiệm ngun x − y + = * ⇔ y = − (ktm) 2 x + y − =  x − y + = −7  x = −2 * ⇔ (tm) 2 x + y − = −1  y = ( x; y ) ∈ { ( −2; ) ; ( −2;8 ) } Câu (3,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính thẳng BO M BC , H (điểm H khơng trùng với hai điểm vng góc với BD, qua BC B điểm nằm đoạn O) Qua H vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) A D Gọi vẽ đường thẳng vng góc với BC N M giao điểm AC Chứng minh a) Ta có ∠BAC = 90° Mặt khác MNBA tứ giác nội tiếp (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇒ ∠BAM = 90° ∠MNB = 90° Suy tứ giác MNBA có Nên tứ giác MNBA ∠BAM + ∠MNB = 90° + 90° = 180° tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MB Chứng minh b) Ta có ∆ABC BH BO = AB BH = vuông A nên AB AB = BC BO AB 2 BO − AB OH = BO − BH = BO − = BC BO OH BO − AB  BO  = = 2 ÷ −1 BH AB  AB  Vậy P =1 , từ tính giá trị  BO  OH P = 2 ÷ −  AB  BH c) Từ B vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt hai đường thẳng lượt K E Chứng minh đường thẳng điểm I đoạn thẳng Ta thấy ∠MBN = ∠DBC ∠DBC = ∠DAC Suy MNBA Tam giác OAC Từ (1), (2), (3) qua trung điểm H di động đoạn thẳng BO (đối đỉnh) (tứ giác DBAC nội tiếp) ∠NMB = ∠NAB ( ) nội tiếp nên ta có cân O nên ∠BCA = ∠OAC ( 3) ⇒ ∠NAB = ∠OAC ⇒ ∠OAC + ∠BAO = ∠NAB + ∠BAO ⇔ ∠BAC = ∠NAO ∠BAC = 90° ⇔ ∠NAO = 90° ⇒ NA Theo tính chất tiếp tuyến ta có : Trong tam giác vng nhau) Mặt khác AI / / KE ⇒ Mà lần ∠MBN = ∠DAC = ∠NMB = ∠BCA ( 1) Tứ giác Mà AH EC AC , AN ⇒ ∆KEA AH / / BK KAB, EA = EB; ∠EAB = ∠EBA ta có cân tai E tiếp tuyến (O) ∠EAB = ∠EBA ⇒ ∠BKA = ∠EAK (phụ với hai góc ⇒ AE = KE ⇒ EB = KE (cùng vng góc với AB) CI AI CI HI AI HI = [ Ta − let ] , HI / / EB ⇒ = [ Ta − let ] ⇒ = CE KE CE BE KE BE KE = EB ⇒ AI = HI → I trung điểm đoạn thẳng AH Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c a + b + c = Chứng minh ab bc ca + + ≤2 a + 2b b + 2c c + 2a ab bc ca 1 + + ≤2⇔ + + ≤ 2( a, b, c > 0) a + b b + c c + 2a a + 2b b + 2c c + 2a ab bc ca 1 ⇔ + + ≤2 2 + + + b a c b a c 1 ⇔ + + ≤2 1 1 1 1 + + + + + + b a a c b b a c c Vì 1 1 1 + + ≥ ; + + ≥ ; + + ≥ b a a b+a+a c b b c+b+b a c c a+c+c VT ≤ Nên 1 1 + + = ( b + 2a + c + 2b + a + 2c ) = ( a + b + c ) = 9 9 b + 2a c + 2b a + 2c Dấu xảy a=b=c=2