SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THÁI NGUYÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi: TỐN (CHUN) Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể giao đề ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (1,5 điểm) Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 2022 2022 a 2022 b 2022 c Q 2 a b b c c a Tinh giá trị biểu thức Câu (1,5 điểm) Tìm tất giá trị nguyên dương tham số m để phương trình x m 3 x m 2 có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt, khác không thoả mãn giá x x A x2 x1 số nguyên trị biểu thức Câu 3, (1,0 điểm) Cho đa thức P ( x) có tất hệ số số nguyên Biết a, b, c ba số nguyên phân biệt thỏa mãn P a P b P c 2022 Hỏi phương trình P( x) 2023 có nghiệm ngun khơng? Vì sao? 4 Câu (1,0 điểm) Tìm số nguyên tố a,b,c cho: a b c 54 11abc Câu (1,0 điểm) Cho A tập tập số tự nhiên N Tập A có phần tử ln biểu nhỏ 1, phần tử lớn 100 phần tử x thuộc diễn dạng x a b a,b thuộc A (a b) Hãy tìm tập A có số phần tử nhỏ Giải thích cách tìm? Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ A , B, C tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC, P giao điểm hai đường thẳng EF BC Đường thẳng DF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF điểm thứ hai K a) Chứng minh PB.PC=PE.PF KE song song với BC; b) Đường thẳng PH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF điểm thứ hai Q Chúng minh tứ giác BIQF nội tiếp Câu (2,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C phân biệt theo thứ tự nằm đường thẳng Qua điểm B kẻ đường thẳng d vng góc với đường thẳng AC; D A x 1 điểm di động đường thẳng d D B Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt đường thẳng d điểm E khác D Gọi P, Q hình chiếu vng góc điểm B đường thẳng AD AE Gọi R giao điểm hai đường thẳng BQ CD, S giao điểm hai đường thẳng BP CE Chứng minh: a) Tứ giác PQSR nội tiếp; b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQSR thuộc đường thẳng cố định điểm D di động đường thẳng d ĐÁP ÁN Câu (1,5 điểm) Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn ab bc ca 2022 2022 a 2022 b 2022 c Q 2 a b b c c a Tinh giá trị biểu thức 2 2 Ta có : 2022 a a ab bc ca a b a c Tương tự : Thay vào Q ta Q=1 Câu (1,5 điểm) Tìm tất giá trị nguyên dương tham số m để 2022 b b a b c 2022 c c a c b x m 3 x m phương trình có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt, khác không 2 x x A x2 x1 số nguyên thoả mãn giá trị biểu thức m 3 m 1 m 2m m 1 m Ta có: Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt, khác m 1 x1 x2 m Áp dụng định lý Vi-et ta có : x1 x2 m 2 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 A 2 x1 x2 x2 x1 x2 x1 2 m 4m m 3 2 m 1 m 1 Với m nguyên dương, biểu thức A ¢ 4M m 1 m m 0(ktm) m m 1(tm) m m 3(tm) Vậy m 1, m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 3, (1,0 điểm) Cho đa thức P( x) có tất hệ số số nguyên Biết P a P b P c 2022 a, b, c ba số nguyên phân biệt thỏa mãn Hỏi phương trình P( x) 2023 có nghiệm ngun khơng? Vì sao? Ta có P a P b P c 2022 P a 2022 P b 2022 P c 2022 Khi đó: a, b, c nghiệm phân biệt đa thức Do đó, tồn đa thức Q(x) có hệ số số nguyên cho: P x 2022 P x 2022 x a x b x c Q x Giả sử, phương trình P( x) 2023 có nghiệm nguyên x d Khi đó, P d 2023 P d 2022 Ta lại có, P d 2023 d a d b d c Q d d a d b d c Q d 1.1 ( 1).( 1) * Vậy d a, d b, d c số nguyên phân biệt Q d số nguyên d a 1;1 ; d b 1;1 ; d c 1;1 Do đó, từ (*) suy Theo ngun lý Đi-rich-lê có ba số d a; d b; d c Điều mâu thuẫn với d a; d b; d c số nguyên phân biệt Vậy điều giả sử sai Tóm lại: Phương trình P( x) 2023 khơng có nghiệm ngun 4 Câu (1,0 điểm) Tìm số nguyên tố a,b,c cho: a b c 54 11abc Th1: a 3; b 3; c Vì a, b, c số nguyên tố nên a 1 mod 3 , b 1 mod , c 1 mod a b c mod a b c 54 mod 3 ;11abc mod 3 Ta có Vậy trường hợp khơng thỏa mãn 11abc mod 3 TH2: Trong số a, b, c có số Khơng tính tổng qt, giả sử a Ta có : 34 b c 54 33bc b c 135 33bc * 33bc mod 3 b c mod 135 mod 3 Vì b mod 3 b 1 mod 3 ; c mod 3 Mặt khác b, c số nguyên tố nên hoặc c 1 mod 3 b mod 3 b c mod 3 c mod 3 Vậy từ 4 Do b, c số nguyên tố nên b c Thay b c vào (*) ta thấy thỏa mãn Vậy a b c Câu (1,0 điểm) Cho A tập tập số tự nhiên N Tập A có phần ln tử nhỏ 1, phần tử lớn 100 phần tử x thuộc biểu diễn dạng x a b a,b thuộc A (a b) Hãy tìm tập A có số phần tử nhỏ Giải thích cách tìm? A x 1 x1 x2 xn 100 1 Giả sử A có số phần tử n, ta xếp chúng theo thứ tự Suy với k 1; 2;3; ; n 1 i, j k ta có xk 1 xi x j xk xk xk , với Áp dụng kết ta thu x2 2; x3 4; x4 8, x5 16, x6 32, x7 64 Suy tập A phải có phần tử Giả sử n x8 100 Vì x6 x7 32 64 96 100 x8 x7 50 Vi` x5 x6 16 32 48 50 x7 x6 x6 25 Vì x4 x5 16 24 25 x6 x5 x5 12,5 (mâu thuẫn) thỏa mãn yêu cầu toán Với n ta có tập Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ A , B, C tam giác ABC Gọi I trung điểm cạnh BC, P giao điểm hai đường thẳng EF BC Đường thẳng DF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF điểm thứ hai K A 1; 2;3;5;10; 20; 25;50;100 a) Chứng minh PB.PC=PE.PF KE song song với BC Ta có: BEC BFC 90 BFEC tứ giác nội tiếp PFB ∽ PCE ( g.g ) PB.PC PE.PF 1 Các tứ giác BFHD, HEKF nội tiếp nên : EBC HBD HFD HEK BEK KE / / BC b) Đường thẳng PH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF điểm thứ hai Q Chúng minh tứ giác BIQF nội tiếp Xét PHE PEQ có : HPE HPF ; PEH PQF PHE ∽ PFQ( g.g ) PH PQ PF PE Từ (1) (2) suy PB.PC PH PQ PB PQ PH PC PB PQ BPC HPC ; PBQ ∽ PHC (c.g.c) PBQ PH PC Xét PHC có : PQB PCH BHQC tứ giác nội tiếp Khi FQB FQH HQB FEH HCB 2FCB FIB Vậy tứ giác BIQF tứ giác nội tiếp Câu (2,0 điểm) Cho ba điểm A, B, C phân biệt theo thứ tự nằm đường thẳng Qua điểm B kẻ đường thẳng d vng góc với đường thẳng Đường tròn ngoại tiếp AC; D điểm di động đường thẳng d tam giác ACD cắt đường thẳng d điểm E khác D Gọi P, Q hình DB chiếu vng góc điểm B đường thẳng AD AE Gọi R giao điểm hai đường thẳng BQ CD, S giao điểm hai đường thẳng BP CE Chứng minh: a) Tứ giác PQSR nội tiếp Do tứ giác ADCE nội tiếp nên ADE ACE SBC ABP ACE SB SC tương tự , ta có SEB SBE SC SE nên S trung điểm CE Cmtt R trung điểm CD Do RB RC , SB SC SRB SRC c.c.c BSR CSR BEC BAP BQP PQSR tứ giác nội tiếp b) Tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác PQSR ln thuộc đường thẳng cố định điểm D di động đường thẳng d Gọi (I) đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQSR , gọi L trung điểm AD Ta có : RL / / AC , RS / / DE LRS 90 Suy LS đường kính đường trịn (I) Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng DE , AC Khi N điểm cố định Lại có ML / / AE, NS / / AE MNLS hình bình hành, suy I trung điểm MN Mà MBN 90 nên IN IB Vậy I thuộc đường trung trực đoạn thẳng BN cố định ML NS AE nên tứ giác ... P c 2022 P a 2022 P b 2022 P c 2022 Khi đó: a, b, c nghiệm phân biệt đa thức Do đó, tồn đa thức Q(x) có hệ số số nguyên cho: P x 2022 P x 2022 ... (1,0 điểm) Cho đa thức P( x) có tất hệ số số nguyên Biết P a P b P c 2022 a, b, c ba số nguyên phân biệt thỏa mãn Hỏi phương trình P( x) 2023 có nghiệm ngun khơng? Vì sao?... số thực dương thỏa mãn ab bc ca 2022 2022 a 2022 b 2022 c Q 2 a b b c c a Tinh giá trị biểu thức 2 2 Ta có : 2022 a a ab bc ca a b