010 đề vào 10 hệ chuyên toán 22 23 tỉnh bình phước

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ THI MƠN: TỐN (CHUN) Thời gian : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC P 2x  x x 1 x2  x   x x  x x x  x (với x  0; x  1) Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P Câu (1,5 điểm) Cho phương trình  x  1  x  x  m    1 với m tham số Tìm tất giá trị tham số m để phương trình   có ba nghiệm phân biệt thỏa 1 1    x mãn x2 x3 Câu (2,0 điểm) x  1  x  3   x  x  a) Giải phương trình :   x  xy  10 x  12 y  12 y     x5  xy  y   3y    b) Giải hệ phương trình Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Gọi H trực tâm tam giác ABC , M điểm cung nhỏ BC Gọi I , J hình chiếu M lên đường thẳng BC , CA Đường thẳng IJ cắt đường thẳng AB K a) Chứng minh bốn điểm B, K , M , I thuộc đường trịn Từ suy MK  AB M1, M , M b) Gọi điểm đối xứng M qua đường thẳng BC , CA, AB Chứng minh bốn điểm M , M , M , H thẳng hàng c) Chứng minh điểm M di động cung nhỏ BC ta có M M  R.sin BAC Xác định vị trí điểm M dấu xảy Câu (1,0 điểm) 2 a) Giải phương trình nghiệm nguyên x  y  xy  y  x   2 b) Cho x, y số nguyên thỏa mãn x  2021y  2022 chia hết cho xy Chứng minh x, y số lẻ nguyên tố Câu (1,0 điểm) a2 b2  1 a) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a  b  Chứng minh b  a  b) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  a  b   c  2a  2b  2c  P   a 1 b 1 c  Tìm giá trị lớn biểu thức ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức c) Rút gọn biểu thức P P 2x  x x 1 x2  x 2x  P     x x x x x x x 2x  x x 1 x2  x   x x  x x x  x (với x  0; x  1)   x   x x 1 x  x 1  x 1   x 1 x  x 1 x   x 1 2x  x  x  x  x  2x  x     x x x x  d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 2x  x  3 2 x   2 x 2  2 x x x Min P    x  (tmdk ) Vậy P Câu (1,5 điểm) Cho phương trình  x  1  x  x  m    1 với m tham số Tìm tất giá trị tham số m để phương trình   có ba nghiệm phân biệt 1 1    x x2 x3 thỏa mãn Ta có : x   x  1  x  x  m      x  x  m   * Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt  * có hai nghiệm phân biệt khác  '   m  m     m 1  f  1  m  Do vai trò nghiệm nhau, gọi x3  phương trình (*) có nghiệm phân biệt thỏa hệ thức Vi-et :  x1  x2    x1 x2  m Ta có : 1 1 x x 2           m  3(tmdk ) x1 x2 x3 x1 x2 m Câu (2,0 điểm) c) Giải phương trình :  x  1  x  3   x  x  2 Phương trình cho  x  x   x  x    Đặt t  x  x   Phương trình trở thành : t   x  x   1(vo nghiem) t  4t     t   x  x    x   Vậy x    x  xy  10 x  12 y  12 y    1   x5  xy  y     3y    d) Giải hệ phương trình  1  x    y  x  12 y  12 y   Ta có :  x  y 1  x '  16  y  1    x  6 y  9(ktm) Với x  y    2  y   y   y2  y    y  2 3y   y    y    y  1   y    y  2; x      y    ktm y   y   y   2  3 Vậy     Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Gọi H trực tâm tam giác ABC , M điểm cung nhỏ BC Gọi I , J hình chiếu M lên đường thẳng BC , CA Đường thẳng IJ cắt đường thẳng AB K x; y  3; d) Chứng minh bốn điểm B, K , M , I thuộc đường trịn Từ suy MK  AB   Ta có tứ giác nội tiếp  KIM   JCM Do (góc góc đỉnh đối diện) Tứ giác ABMC nội tiếp nên KBM  ACM  JCM Từ suy KIM  KBM  BIMK tứ giác nội tiếp Vậy bốn điểm B, K , M , I thuộc đường tròn e) Gọi M , M , M điểm đối xứng M qua đường thẳng BC , CA, AB Chứng minh bốn điểm M , M , M , H thẳng hàng Ta có : IJ / / M 1M , JK / / M M Và theo giả thiết I , J , K thẳng hàng nên ta có điểm M , M , M thẳng hàng MIC  MJC  90 gt  IJCM   Ta có Mà ta có AMB  ACB , nên AM B  AHB  180 nên tứ giác AHBM nội tiếp Từ ta có AHM  ABM  ABM Hoàn toàn tương tự, ta có AHCM nội tiếp Từ ta có AHM  ACM  ACM Mà ta có ACM  ABM  180 , tứ giác ABMC nội tiếp AM B  AHB  AMB  180  ACB  AHM  AHM  180 Từ suy M , H , M thẳng hàng f) Chứng minh điểm M di động cung nhỏ BC ta ln có M M  R.sin BAC Xác định vị trí điểm M dấu xảy Vì M ; M điểm đối xứng M qua AC , AB nên ta có : AM  AM  AM  AM M cân A Kẻ đường cao AD tam giác AM M  AD phân giác M AM Mặt khác ta có M AM  M AM  MAM  2MAB  2MAC  2BAC  M AD  BAC Trong tam giác vng M AD có M D  AM sin M AD  AM sin BAC Mà M M  2M D  M M  AM sin BAC Vậy M M  R sin BAC Câu (1,0 điểm) 2 c) Giải phương trình nghiệm nguyên x  y  xy  y  x   Phương trình cho :   x  y  x  3y  y  x     x  y   x  y  1    7  (1)  (1).(7)  1.7  7.1  x  y  7 *  y  ( ktm)  x  y   1 x  y  *  y  (ktm) x  3y 1   x  y  1  x  3 *  (tm)  x  y   7  y  1 x  y  x  *   x  y    y  1    Vậy cặp số nguyên cần tìm :    2 d) Cho x, y số nguyên thỏa mãn x  2021 y  2022 chia hết cho xy Chứng minh x, y số lẻ nguyên tố 2 Nếu x, y hai số chẵn x  2021y  2022 khơng chia hết cho xy chia hết cho (vô lý) 2 Nếu x, y có số chẵn , số lẻ x  2021y  2022 số lẻ xy số chẵn (vô lý) x; y  3;1 ; 5; 1 x, y  d  x  2021y & xy Md Giả sử   2022Md ma` 2022  2.3.337  d   1; 2;3;337 Từ gt suy Câu (1,0 điểm) a2 b2  1 c) Cho a, b số thực dương thỏa mãn a  b  Chứng minh b  a  a b2  a  b  BDT   x y x  y với x, y  Biến đổi tương đương: Xét a y  b x  2abxy   ay  bx   (luôn đúng)  a  b   dfcm a2 b2     Khi b  a  a  b  d) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức Ta có : P 6 1   a 1 b 1 c  1   a 1 b 1 Theo BĐT Cô si ta có : P ab  a  b   c  2a  2b  2c    a 1 b 1 c  2  a  1  b  1  6c 2   c c  Ta có : Khi 1     c c   c  c  2 (do  c  6)  P  P  6 a   b   a  b   6  c  c  c   a  b   c     Dấu xảy  Vậy Max P   a  b  3, c 