029 đề vào 10 hệ chuyên môn toán 22 23 hồ chí minh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 MƠN THI: TỐN CHUN Thời gian làm : 150 phút ĐÈ THI CHÍNH THỨC x, y Câu (1,0 điểm) Cho xy + hai số thực thỏa mãn ( M = x + 1+ y2 Tính giá trị biểu thức )( y+ 1+ x2 ( 1+ x ) ( 1+ y ) = 2 ) Câu (2,5 điểm) x + + x = x2 − x − a) b) Giải phương trình : Giải hệ phương trình :  x  y + z = 2x −1   y = y −1  z + x  z  x + y = 5z −  Câu (1,5 điểm) Cho hình vng điểm M,N cho a) Chứng minh b) Kẻ ABCD MN tiếp xúc với đường trịn tâm A bán kính MP / / AN ( P ∈ AB ) AP = AQ kẻ NQ song song với Chứng minh a , b, c lấy thỏa a +b+c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a b c + + b +1 c +1 a +1 AB AM ( Q ∈ AD ) ab + bc + ca ≤ P= b) CD ∠MAN = 45° Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương a) Trên cạnh BC Chứng minh Câu (2,0 điểm) Cho tam giác cắt H Đường thẳng vng góc với IH EF ABC nhọn ( AB < AC ) cắt đường thẳng BC có đường cao I Đường thẳng qua IFKC Chứng minh tứ giác b) Chứng minh M trung điểm nội tiếp BI CI = BD CD BC n Câu (1,0 điểm) Số nguyên dương gọi “số tốt” số phương b) A K cắt BC M a) a) AD, BE , CF Hãy ví dụ ba “số tốt” có k Tìm số ngun thỏa mãn 1, 2,3 k ≤ 10 n +1 8n + chữ số 4n + k n hợp số với “số tốt” ĐÁP ÁN Câu (1,0 điểm) Cho x, y xy + hai số thực thỏa mãn ( M = x + 1+ y2 Tính giá trị biểu thức )( y+ 1+ x2 ( 1+ x ) ( 1+ y ) = ) Ta có : ( + x ) ( + y ) = ⇒ ( + x ) ( + y ) = − xy ( + x ) ( + y ) = − xy + x y 1 + x + y + x ⇔ ⇔ xy + 2 2 2  1 − xy ≥ 2 2   xy ≤ y = − xy + x y ( x + y ) = x = − y ⇔ ⇔  xy ≤  xy ≤ Ta ( M = x + 1+ y2 ( = x + + x2 )( y+ ) ( −x + + x2 ) ) + x2 = ( + x2 ) − x2 = Câu (2,5 điểm) x + + x = x2 − x − c) Giải phương trình : Điều kiện : ⇔ x+4 + x = x − ⇔ ⇔ ( ( x − x+4 x + x+4 x ≥ −4 ( ) x + 4) −( x+4 )( x+ ) )(  x = (ktm)  x + x+4 =0⇔  x = −     + 21 x − x + −1 = ⇔  x =    x − x + −1 = ⇔  −1 + 13  x =   x + x+4 =0 ) x= Vậy phương trình có nghiệm −1 + 13 + 21 ;x = 2 Giải hệ phương trình : d) Từ giả thiết, suy  x  y + z = 2x −1   y = y −1  z+ x  z  x + y = 5z −1  x, y , z ≠ x x+ y+z  x    y + z = x − 2 x = y + z + 2 x = y + z    y x+ y+z  y   = y − ⇔ 3 y = + ⇔ 3 y =  z+x z+x z + x   z x+ y+z  z    x + y = z − 5 z = x + y + 5 z = x + y    ⇒ x ( y + z ) = y ( x + z ) = 5z ( x + y ) = x + y + z Đặt xy = a, yz = b, xz = c Ta có: 3a + 3b = 2a + 2c ⇒ a = 2c − 3b  3a + 3b = 5b + 5c ⇒ ( 2c − 3b ) + 3b = 5b + 5c ⇒ 6c − 6b = 5b + 5c ⇒ c = 11b ⇒ a = 2.11b − 3b = 19b Nên :  z= x   xy = 19 yz  x = 19 z  19 ⇒ ⇒   xz = 11 yz  x = 11y  y = x  11 1 1 1 ⇒ x ( y + z ) = x + y + z ⇒ x  + ÷x = x + x + x 19 11  19 11  239 239 239 ⇒x= ;y= ;z = 60 60 1140 x= Vậy 239 239 239 ;y = ;z = 60 60 1140 Câu (1,5 điểm) Cho hình vng điểm M,N cho ∠MAN = 45° ABCD Trên cạnh BC CD lấy c) Kẻ MN Chứng minh AH ⊥ MN ( H ∈ MN ) Xét tứ giác tứ giác ABMF Xét tứ giác tứ giác Ta có ABMF Gọi E F giao điểm ∠MAN = ∠FBM = 45° có ⇒ ∠A1 = ∠F1 = nội tiếp AEND AEND tiếp xúc với đường trịn tâm A bán kính có ⇒ ∠AEN = 90° ∠MEN = ∠MFN = 90° (vì nên tứ giác Mặt khác (cùng phụ và MEFN ∠AMN ) ( 3) với AM , AN nhìn cạnh FM nên ∠AFM = 90° ∠MAN , ∠EDN ∠ADN = 90°) » ⇒ ∠F1 = ∠N1 = sd EN ( 2) ∠A2 = ∠N1 ∠MAN , ∠FBM ¼ sd BM ( 1) ∠MAN = ∠EDN = 45° nội tiếp BD AB nội tiếp nhìn cạnh EN nên Từ (1), (2), (3) suy Vậy d) MN ∠A1 = ∠A2 ⇒ ∆ABM = ∆AHM (ch − gn) ⇒ AB = AH tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính Kẻ MP / / AN ( P ∈ AB ) AP = AQ Ta có : AB kẻ NQ song song với ∠AMP = ∠MAN = ∠ANQ = 45° AM ( Q ∈ AD ) (so le trong) ∠AMP = ∠EMP = ∠PBE = 45° PBME Nên tứ giác ⇒ PE ⊥ AM mà nội tiếp NE ⊥ AM (cmt ) ⇒ P, E , N Chứng minh tương tự : ∠PNQ = ∠QMP = 90° Lại có tứ giác ⇒ ∠P1 = ∠E2 ⇒ ∆APQ ⇒ ∠PEM = 90° thẳng hàng nên tứ giác FEMN Ta có Q, F , M nội tiếp thẳng hàng PQNM nội tiếp ⇒ ∠E1 = ∠M mà vng cân A nên Chứng minh Ta có : ∠E1 = ∠E2 (đối đỉnh) PQ / / BD ⇒ ∠APQ = ∠ABD = 45° AP = AQ Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương c) ⇒ ∠P1 = ∠M a , b, c thỏa a+b+c = ab + bc + ca ≤ a+b+c = ( a + b + c) − ( ab + bc + ca ) = 1 2 ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  ≥ ⇔ ( a + b + c ) ≥ ( ab + bc + ca ) ⇔ ab + bc + ca ≤ Dấu xảy a = b = c =1 (vì a + b + c = 3) Chứng minh P= d) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Ta có : a b c + + b +1 c +1 a +1 a ab =a− ( 1) b2 + b +1 1 ab −ab ab −ab b + ≥ 2b ⇒ ≤ ⇒− ≥ ⇔− ≥ ( 2) b + 2b b +1 2b b +1 2 ⇒ Từ (1) (2) a ab ≥ a − ( *) b +1 2 Chứng minh tương tự : b bc c ac ≥b− ; ≥ c − ( **) c +1 a +1 2 ( *) , ( **) ⇒ P ≥ ( a + b + c ) − Từ ab + bc + ca 3 ⇒ P ≥ 3− ⇒ P ≥ 2 Dấu xảy a = b = c =1 Câu (2,0 điểm) Cho tam giác AD, BE , CF thẳng qua c) kính nhọn cắt H Đường thẳng A vng góc với Chứng minh tứ giác Ta có : ABC IH ( AB < AC ) EF cắt đường thẳng IFKC Cũng có hay nội tiếp ∠FKI = ∠FEB ( 1) ∠BFC = ∠BEC = 90° ⇒ B, F , E , C ⇒ ∠FEB = ∠FCB ( ) Từ (1), (2) suy ∠FKI = ∠FCB BC I Đường K cắt BC M BI CI = BD CD ∠AFH = ∠AKH = ∠AEH = 90° ⇒ F , H , K , E , A AH ⇒ ∠FKH = ∠FEH có đường cao hay thuộc đường tròn đường thuộc đường tròn đường kính ∠FKI = ∠FCI ⇒ IFKC nội tiếp BC BFEC Ta có : Tứ giác Ta có ∠HDC = ∠HEC = 90° ⇒ ⇒ ∠HED = ∠HCD hay Từ (3) (4) suy Mà ⇒ EC ⊥ EB ⇒ EC BI CI EI = = BD CD ED d) Xét ∠FEB = ∠FCB HDCE Tứ giác ∠BED = ∠FCB ∆AIM F , H , E, A Nên điểm nội tiếp đường trịn đường kính phân giác góc E phân giác ngồi góc E HC ∆IED ∆IED (tính chất đường phân giác) có hai đường cao hay (3) (4) ∠FEB = ∠FCB ⇒ EB BC Chứng minh M trung điểm ⇒ MH ⊥ AI Mà nội tiếp nên AD IK cắt H MT ⊥ AI ⇒ ∠HTA = 90° ⇒ T ⇒H trực tâm thuộc đường tròn đường kính AH thuộc đường trịn đường kính AH T , F, H , K, E thuộc đường tròn đường kính AH ⇒ IT IA = IF IE ( *) Mặt khác, tứ giác Từ (*) (**) ⇒T BFEC nội tiếp (cmt) ⇒ IT IA = IB.IC ⇒ TACB thuộc đường trịn (O) ngoại tiếp Kẻ đường kính Ta có AA1 ⇒ IF IE = IB.IC ( **) tứ giác nội tiếp ∆ABC (O) ∠ATA1 = 90° ⇒ AT ⊥ AT ⇒ AT ⊥ IA ⇒ A1 , T , H , M mà MT ⊥ AI thẳng hàng Mà ta dễ chứng minh A1 BHC nên M trung điểm BC hình bình hành M giao điểm BC A1 H n Câu (1,0 điểm) Số nguyên dương gọi “số tốt” số phương Hãy ví dụ ba “số tốt” có c) Ta có n = ⇒ n + = 4;8n + = 25 n = 15 ⇒ n + = 16,8n + = 121 Ta có Nếu Vậy Với Với Vậy 8n + chữ số số phương ba số tốt k ≤ 10 Tìm số nguyên thỏa mãn tốt” n +1 8n + số phương k d) Nếu n = 3, n = 15, n = 120 số phương n = 120 ⇒ n + = 121,8n + = 961 Vậy 1, 2,3 n +1 4n + k n hợp số với “số hai số phương n ≡ 1( mod 3) ⇒ n + ≡ ( mod 3) ⇒ ktm n ≡ ( mod 3) ⇒ 8n + ≡ ( mod 3) ⇒ ktm nM k ∈ { 1; −1;5; −5; 7; −7; −9; −10} k ∈ { 0; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8;9;10} k ∈ { 0; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8;9;10} 4k + dê thấy số nguyên tố 4n + k khác nên 4n + k hợp số