Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh hải phòng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2022-2023 ĐỀ THI MƠN : TỐN CHUN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài (2 điểm) A x  x x  x  x x  x  16  x      x  4 x x2 x xx x   1) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức A chứng minh A  2) Cho phương trình Chứng minh Bài (2 điểm) ax  bx  c   a    a  b   2a  c   2 a  a  b  c có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn  x1 , x2  1) Giải phương trình x  10 x  14  2 x  2   x  y  y  33  2 2) Giải hệ phương trình  x  y  3xy  x  y   ABC  AB  AC  BC  O nội tiếp đường tròn   Các Bài (3 điểm) Cho tam giác cân O đường phân giác BD, CE tam giác cắt I , BI cắt đường tròn   F  F  B Điểm H đối xứng với C qua D Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC cắt BI  K a) Chứng minh DC  DI DB D trung điểm đoạn thẳng IK KB   Chứng minh M điểm đối xứng với I qua AC b) Kẻ KM song song với c) Gọi N giao điểm FC AI ; gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBE Chứng minh bốn điểm M , N , J , D thuộc đường tròn Bài (1 điểm) AC M  AC 3x   y  yz  z  Xét x, y, z số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ P y2  z2  3x  20 xy  12 y x  20 xz  12 z  y  z biểu thức Bài (2 điểm) n 1) Chứng minh  10a  b với a, b, n số tự nhiên thỏa mãn  b  10 n  ab chia hết cho 2) Viết lên bảng 229 số tự nhiên liên tiếp : 1; 2;3; ; 229 Từ số viết xóa số 2 x; y; z; t viết lên bảng số 2 x y zt (các số lại bảng giữ nguyên) Tiếp tục thực thao tác trên bảng lại số; gọi số a Chứng minh a  2022 ĐÁP ÁN Bài (2 điểm) x  x x  x  x x  x  16  x       x x2 x xx x  x  4 A 3) Cho biểu thức Rút gọn biểu thức A chứng minh A  A x4  x   x.   x  2  x  x  4 x  2 x.  x    x  x  x  x   x  2   x 2 x2 x 4   x 2 x4 x2   x x Do x  0, x  nên  x 2  x x 0 x4 x  A8 4) Cho phương trình ax  bx  c   a   có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn  x1 , x2  Chứng minh  a  b   2a  c   2 a  a  b  c b c x1  x2   ; x1 x2  a a Có c  b   2    a  b a  c      a  a     x1  x2    x1x2  M  b c a  a  b  c  x1  x2  x1 x2 1  a a    x1  x2  x1 x2 b M 2  0 M 2 c  0;    1  x1  x2  x1 x2 a Đẳng thức xảy   x1  x2     x1  x2  x1 x2 5   x1  x2   15 x1 x2     x1  x2  x1 x2   0 4   x1  x2  x1 x2    x1  x2  x1 x2  M  Đẳng thức xảy a  c, b  2a M Bài (2 điểm) 3) Giải phương trình x  10 x  14  2 x  Điều kiện : x Đặt x   a  a  0 PT  x  10 x  14  2a   x  x  16    a  2a  1   x   a  x   x   x   2(tm) 2   x     a  1  x     a  1    x  a   x   x   x   3(tm) Vậy  S   2;6    x  y  y  33  1  x  y  3xy  x  y     4) Giải hệ phương trình  Pt     x  y   x  y    x  y    x  y     x  y  1  x  y  3   y  2  x  3 x  y     1   y  1  y  y  33    y  16  x  11 5   y  1  x  5 x  y     1   y    y  y  33   y  3 x  2  Vậy hệ phương trinh có nghiệm 11 16   ; ;  5; 1 ;  3;3  5 5   x; y    3; 2  ;  Bài (3 điểm) Cho tam giác cân  ABC  AB  AC  BC  O nội tiếp đường tròn   Các O đường phân giác BD, CE tam giác cắt I , BI cắt đường tròn   F  F  B Điểm H đối xứng với C qua D Đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC cắt BI K  B K  a) Chứng minh DC  DI DB D trung điểm đoạn thẳng IK Có DCI ∽ DBC ( g.g )  DC  DI DB Tứ giác BCKH nội tiếp nên DK DB  DC.DH  DC  DI DB  DK  DI AC  M  AC  b) Kẻ KM song song với Chứng minh M điểm đối xứng với I qua AC MCA  FCA  FBA  FBC  KBC  KHC  KHCM tứ giác nội tiếp hình thang cân  MC  KH  CI ; MCH  ICH  KHC CMI cân C, phân giác CD  M , I đối xứng qua AC c) Gọi N giao điểm FC AI ; gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IBE Chứng minh bốn điểm M , N , J , D thuộc đường tròn  180  EJI   M,I, J thẳng hàng JBI  JIB  DIM  DMI  D; M ; B; J thuộc đường tròn MIC  90  ACI  90  ABI  MDB  2CDB   180  DBC  DCB    180  ECA  DCB   2BCN  180  BNC  180  BNM  B; D; M ; N thuộc đường tròn (đpcm) Bài (1 điểm) Xét x, y, z số thực dương thỏa mãn P biểu thức y 3x  20 xy  12 y 2  3x   y  yz  z  z 3x  20 xz  12 z 2  Tìm giá trị nhỏ  y  z 2  y  yz  z    y  z   x   y  z   x  y  z 2 x  20 xy  12 y   x  y    x  y    x  y  2 2 Hoàn toàn tương tự : 3x  20 xz  12 z   x  z    x  z    x  z  P Suy 2 y2 z2 y2 z2      2  x  y   x  2z   y  z   y  z   3z  y   y  z   y  z  y  z  P  y  z  y2 z2   y  z 3z  y y  z  y  z Lại có : yz yz yz yz yz 3      33  P 2 16 16 16 16  y  z  4  y  z  y  z Pmin   x  4; y  z  Vậy Bài (2 điểm) n 3) Chứng minh  10a  b với a, b, n số tự nhiên thỏa mãn  b  10 n  ab chia hết cho n Ta có  10a  bM2  bM2 Đặt n  4k  r  k  ¥ ; r   0;1; 2;3  Th1: r  : n   16 k  1M5  n  6M5  n n  6M 10  b   ab M6 Th : r   1; 2;3  n  r  2r  16 k  1 M  2n  2r M 10   Mà (vì bM2) 4) Viết lên bảng 229 số tự nhiên liên tiếp : 1; 2;3; ; 229 Từ số viết xóa 2r   2; 4;8  b  r  10a  n  r  2r 16 k  M  aM  ab M6 x y  z t số x; y; z; t viết lên bảng số (các số lại bảng giữ nguyên) Tiếp tục thực thao tác trên bảng lại số; gọi số a Chứng minh a  2022 x ; x ; ; xn  P x ; x ; ; xn   x12  x22   xn2 Với tập hợp  Xét biểu thức  2  x y  z t  x  y  z t   :   Chú ý 2 2 Suy lần xóa số x; y; z; t ồi viết lên bảng số x y zt giá trị biểu thức P số bảng không tăng lên (1) 2 2 Biểu thức P ban đầu : P  1; 2; ; 229      229  2022   Từ (1) (2) suy P  a   a  P  1; 2; ; 229   20222  a  2022 ...  10a  b với a, b, n số tự nhiên thỏa mãn  b  10 n  ab chia hết cho n Ta có  10a  bM2  bM2 Đặt n  4k  r  k  ¥ ; r   0;1; 2;3  Th1: r  : n   16 k  1M5  n  6M5  n n  6M 10. .. (1) 2 2 Biểu thức P ban đầu : P  1; 2; ; 229      229  2022   Từ (1) (2) suy P  a   a  P  1; 2; ; 229   20222  a  2022 ... n  r  2r  16 k  1 M  2n  2r M 10   Mà (vì bM2) 4) Viết lên bảng 229 số tự nhiên liên tiếp : 1; 2;3; ; 229 Từ số viết xóa 2r   2; 4;8  b  r  10a  n  r  2r 16 k  M  aM  ab