SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: TỐN (Chun Tốn) Ngày thi : 20/6/2022 Thời gian làm : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x x 2 x 2) Cho số thực a, b c thỏa mãn ab bc ca Tính giá trị biểu thức P a b c 2 a b c a b c abc Bài II (2,0 điểm) n1 1) Chứng minh n số tự nhiên lẻ chia hết cho 20 y x x 1 x 1 y 1 x; y 2) Tìm tất cặp số nguyên dương cho Bài III (2,0 điểm) m3 n3 1) Tìm hai số nguyên dương m n cho m n m n số nguyên tố 2) Với a, b, c số thực không âm thỏa mãn điều kiện a b c 3, tìm giá trị lớn biểu thức P ab 2bc 3ca 3abc I Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với AB AC Đường tròn nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với ba cạnh BC , CA, AB ba điểm D, E F 1) Gọi M giao điểm hai đường thẳng AI DF Chứng minh đường thẳng CM vng góc với đường thẳng AI 2) Gọi N giao điểm hai đường thẳng AI DE Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh tam giác KMN tam giác cân 3) Các tiếp tuyến M N đường tròn đường thẳng AS song song với đường thẳng ID K ; KM cắt điểm S Chứng minh Bài V (1,0 điểm) Cho tập hợp A gồm 70 số nguyên dương không vượt 90 Gọi B tập hợp gồm số có dạng x y với x A y B (x,y không thiết phân biệt ) 1) Chứng minh 68 B 2) Chứng minh B chứa 91 số nguyên liên tiếp ĐÁP ÁN Bài I (2,0 điểm) 3) Giải phương trình x x 2 x Điều kiện : x 1 x Phương trình cho viết lại thành : x 1 1 Từ đây, ta có x x x x Giải phương trình đối chiếu ta có x 4) Cho số thực a, b c thỏa mãn ab bc ca Tính giá trị biểu thức P a b c 2 1 a 1 b 1 c a b c abc ab bc ca Do a a a a a ab bc ca a b a c Chứng minh tương tự, ta có : b b c c ; b 1 b c b a c 1 c a c b Ngồi có ab bc ca nên : 2 a b c abc a b c ab bc ca abc a b b c c a Từ kết ta suy : P a b c a b a c b c b a c a c b ab bc ca 1 0 a b b c c a a b b c c a Vậy P Bài II (2,0 điểm) n1 3) Chứng minh n số tự nhiên lẻ chia hết cho 20 Đặt n 2k với k tự nhiên, ta có : 32 n 1 34 k 3 81k.27 27 0(mod 20) dfcm y x x 1 x 1 y 1 x; y 4) Tìm tất cặp số nguyên dương cho Dễ thấy x x 1; x 1 x x 1 1, x 1 Từ phương trình, ta suy Đặt y k x 1 y x x 1 x x 1, x 1 y Mx 1 chia hết cho x Mà nên với k nguyên dương Khi đó, từ phương trình cho, ta suy : k x x 1 y k x 1 Do : k x 1 k x x 1 k x 1 k x 1 k k 1 x 1 4k k 1 2 2 Suy k Mà k số nguyên dương nên k y x Thay trở lại phương trình cho, ta : x x x 1 x x Từ x y x; y 1; Vậy phương trình có nghiệm Bài III (2,0 điểm) m3 n3 3) Tìm hai số nguyên dương m n cho m n m n số nguyên tố m3 p m n Khơng tính tổng qt, giả sử m n Đặt với p số nguyên tố Từ đây, ta suy mMp Kết hợp với m n , ta có : p m3 m3 m p m n 2m 2 hay p mà p nguyên tố nên p Như vậy, dấu đẳng thức dãy đánh giá phải xảy ra, tức phải có m n p m, n 2, Thử lại, ta thấy thỏa mãn Vậy có nghiệm 4) Với a, b, c số thực không âm thỏa mãn điều kiện a b c 3, tìm giá trị lớn biểu thức P ab 2bc 3ca 3abc Sử dụng bất đẳng thức AM GM ta có : 2 27 abc a b c P ab 2bc 3ca a b c 2c a b 2 2 27 Max P a c ,b Vậy I Bài IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với AB AC Đường tròn nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với ba cạnh BC , CA, AB ba điểm D, E F 4) Gọi M giao điểm hai đường thẳng AI DF Chứng minh đường thẳng CM vng góc với đường thẳng AI I Do đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên ta có AI , BI , CI đường phân giác tam giác ABC ; ID BC , IE CA, IF AB Do BD, BF tiếp tuyến (I) nên tam giác BDF cân B Suy : BDF BFD 180 ABC 180 ABC BAC ACB 2 Xét tam giác AMF , có : Suy IMD ICD Do , tứ giác CIDM nội tiếp Suy IMC IDC 90 Vì CM AI AMF BFD MAF 5) Gọi N giao điểm hai đường thẳng AI DE Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh tam giác KMN tam giác cân Gọi N giao điểm hai đường thẳng AI DE Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh tam giác KMN tam giác cân Chứng minh B, F , I , N , D thuộc đường tròn, suy BN AM BN // CM Gọi H giao điểm BN AC , J giao điểm CM AB Ta có: N trung điểm BH ( ABH cân) M trung điểm CJ ( ACJ cân) 1 KN CH ; KM BJ ; CH BJ 2 Suy Do KN KM KMN cân cắt điểm S Chứng 6) Các tiếp tuyến M N đường tròn minh đường thẳng AS song song với đường thẳng ID K ; KM · · Dựng đường cao AP ta có tứ giác APMC nội tiếp suy PMN PCA · · · · Dễ nhận thấy KN // AC nên ta có PCA NKP PMN NKP Do tứ giác PMKN nội tiếp K , KM Vì SM , SN tiếp tuyến nên ta có S , M , K , N thuộc đường trịn đường kính SK Suy P, S , M , K , N thuộc đường trịn đường kính SK nên · SPK 90o , PS BC , mà AP BC suy A, P, S thẳng hàng Do AS BC , ID BC AS / / ID (đpcm) Bài V (1,0 điểm) Cho tập hợp A gồm 70 số nguyên dương không vượt 90 Gọi B tập hợp gồm số có dạng x y với x A y B (x,y không thiết phân biệt ) 3) Chứng minh 68 B 1; 67 ; 2; 66 ; ; 34; 34 tập A chứa 70 số nguyên dương không Xét 34 cặp số vượt 90 ( A không chứa 20 số nguyên dương không vượt 90) nên có cặp số thuộc A Từ ta có 68 B 4) Chứng minh B chứa 91 số nguyên liên tiếp Ta chứng minh số nguyên dương n với 42 n 90 , thuộc tập B Với 42 n 90 : Giả sử n B n 1 n 1 ; n – 1,1 ; n – 2;2 ; 2 Vì n B nên n Nếu số lẻ, cặp số ; cặp số có số khơng thuộc tập A Suy có n 1 21 số nguyên dương không lớn 90 không thuộc tập A , mâu thuẫn tập A gồm 70 số nguyên dương không vượt 90 - n 1 n 1 ; n – 1,1); n – 2;2 ; số Nếu n số chẵn, xét cặp số ( ; n Vì n B nên cặp số có số khơng thuộc tập A , ngồi n n A 21 Suy có số nguyên dương không lớn 90 không thuộc tập A, mâu thuẫn A gồm 70 số nguyên dương không vượt 90 Như vậy, tất số nguyên dương n với 42 n 90 , thuộc tập B Với 91 n 140 : Giả sử n B n 1 n 1 ; 2 Vì n B n Nếu nên cặp số có số khơng thuộc tập A Suy có n 1 91 21 số nguyên dương không lớn 90 không thuộc tập A , mâu thuẫn tập A gồm 70 số nguyên dương không vượt 90 90, n – 90 , 89; n – 89 ; ; số lẻ: xét cặp số - n2 n2 ; 90; n – 90 ; 89; n – 89 ; 2 n Nếu số chẵn, xét cặp số ; n số Vì n B nên cặp số có số khơng thuộc tập A , n n A 91 21 Suy có số ngun dương không lớn 90 không thuộc tập A , mâu thuẫn A gồm 70 số ngun dương khơng vượt 90 Như vậy, tất số nguyên dương n với 91 n 140 , thuộc tập B - Từ hai kết trên, ta suy điều phải chứng minh ... nội tiếp tam giác ABC , tiếp xúc với ba cạnh BC , CA, AB ba điểm D, E F 4) Gọi M giao điểm hai đường thẳng AI DF Chứng minh đường thẳng CM vng góc với đường thẳng AI I Do đường tròn nội. .. ; KM · · Dựng đường cao AP ta có tứ giác APMC nội tiếp suy PMN PCA · · · · Dễ nhận thấy KN // AC nên ta có PCA NKP PMN NKP Do tứ giác PMKN nội tiếp K , KM Vì SM , SN tiếp tuyến nên... 180 ABC 180 ABC BAC ACB 2 Xét tam giác AMF , có : Suy IMD ICD Do , tứ giác CIDM nội tiếp Suy IMC IDC 90 Vì CM AI AMF BFD MAF 5) Gọi N giao điểm hai đường thẳng