Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh lào cai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2022-2023 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2 điểm)  1  x 2  6x P      x  0; x  1; x   x  x  x  x x  x  x    , với a) Cho biểu thức Tìm số nguyên x để P nhận giá trị nguyên b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx  12 Chứng minh  12  y   12  x   y  12  x   12  z   z  12  x   12  y  x 2 12  x 2 12  y 2 12  z  24 Câu (0,5 điểm) Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số, lấy ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để lấy số phương khơng vượt q 2022 Câu (2 điểm) a) Theo kế hoạch công nhân phải làm 54 sản phẩm thời gian dự định Do yêu cầu đột xuất, người phải làm 68 sản phẩm nên người làm tăng thêm sản phẩm cơng việc hoàn thành sớm so với dự định 20 phút Hỏi theo dự định người phải làm sản phẩm, biết người làm khơng q 12 sản phẩm b) Cho phương trình x   m  1 x  m    1 (với m tham số) Tìm m để phương trình (1) có x  x  x1 x2  2  x1 x2 hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2 AB  AC  Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC không cân  nội tiếp đường tròn (O), ba đường cao AD, BE , CF  D  BC , E  AC , F  AB  tam giác ABC cắt H Gọi I , M trung điểm AH BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn   điểm K (K khác A) a) Chứng minh tứ giác DMEF nội tiếp b) Chứng minh tứ giác IOMK hình thang cân c) Chứng minh KF HE  KE.KF d) Tiếp tuyến A K đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt T Chứng minh TM , AH , EF đồng quy Câu (1,0 điểm) a) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh : O ab bc ac    ab bc ac b) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  abc Tìm giá trị lớn biểu thức a b c   a  bc b  ac c  ab Câu (1,0 điểm) P  n  13n  1  2n  1 a) Chứng minh với số nguyên n biểu thức chia hết cho b) Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn 3x  y  x   xy  y   ĐÁP ÁN Câu (2 điểm)  1  x 2  6x P      x  0; x  1; x   x  x  x  x x  x  x    , với c) Cho biểu thức Tìm số nguyên x để P nhận giá trị nguyên  1  x 2  6x P      x 1 x 1   9x x  6x  x   x 1    x  1  x  1  x  x   x   x  1  x  1  x  1  x  1 x  x  1 x  x  1 x  x  1    x  1  x  1 x  x  1 x   6x   x 1  P  ¢  x  1 U (4)   1; 2; 4  x    1; 2; 4 ( x  1)  x   2;3;5 (tmdk ) Do x  ¢ nên để d) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện xy  yz  zx  12 Chứng minh  12  y   12  x   y  12  x   12  z   z  12  x   12  y  Ta có : x 2 12  x 2 12  y 2 12  z 2  24 xy  yz  zx  12  12  x  x  xy  yz  zx  12  x   x  y   x  z  2 Tương tự ta có : 12  y  ( x  y)( y  z); 12  z   z  y   x  z  , :  12  y   12  z   y  12  x   12  z   z  12  y   12  x  x x 2 12  x  y  z y 12  y  x  z z  y  x 2 12  z  x y  z  y  x  z  z  y  x   xy  yz  zx   2.12  24 Câu (0,5 điểm) Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số, lấy ngẫu nhiên số từ tập S Tính xác suất để lấy số phương khơng vượt q 2022  Không gian mẫu :  2 2 Theo đề ta có : 1000  n  2022  32  n  44 , nên số số phương : 1000;1001; ;9999  n  9000 13 44  32   13 Vậy xác suất cần tìm : 9000 Câu (2 điểm) c) Theo kế hoạch công nhân phải làm 54 sản phẩm thời gian dự định Do yêu cầu đột xuất, người phải làm 68 sản phẩm nên người làm tăng thêm sản phẩm cơng việc hồn thành sớm so với dự định 20 phút Hỏi theo dự định người phải làm sản phẩm, biết người làm không 12 sản phẩm  Đổi 20 phút Gọi số sản phẩm người phải làm theo kế hoạch x (sản phẩm) Điều kiện : x  ¥ *, x  12 54 Thời gian dự định người hồn thành cơng việc : x (giờ) Thực tế làm : x  (sản phẩm) 68 Thời gian thực tế người hồn thành cơng việc x  (giờ) Theo đề ta có phương trình :  x  9(tm) 54 68     x  54 x  486    x x3  x  54( ktm) Vậy theo kế hoạch người phải sản phamat d) Cho phương trình x   m  1 x  m    1 (với m tham số) Tìm m để phương 2 trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  x1 x2  2  x1 x2 x   m  1 x  m    1    m  1   m  3  m  6m  13   m      m  2 Nên phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m Áp dụng định lý Vi-et ta có :  x1  x2  m    x1 x2  m  x  x  x1 x2  2  x1 x2  m   Ta có : 2   x1  x2   x1 x2  x1 x2  2  x1 x2   m  1   m     m  3  2   m    m  9m  22   m 2 Đặt t   m , t   t   m  m   t    t     t   22  2t  t  t  2t  2   t  1 t Vậy m  t  1(tm)  m    4(tm)  2t      t  2t   0(VN ) AB  AC  Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC không cân  nội tiếp đường tròn (O), ba   tam giác ABC cắt H Gọi I , M đường cao trung điểm AH BC Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường AD, BE , CF D  BC , E  AC , F  AB tròn  O  điểm K (K khác A) e) Chứng minh tứ giác DMEF nội tiếp MBE cân M  EMC  2MBE , BFHD, BFEC tứ giác nội tiếp  1   Nên Từ (1) (2) suy DMEF tứ giác nội tiếp f) Chứng minh tứ giác IOMK hình thang cân AEH  AFH  90  AH đường kính đường tròn ngoại tiếp AEF  AKH  90 Vẽ đường kính AA ' (O) ta có AKA '  90  K , H , A ' thẳng hàng Dễ chứng minh BHCA ' hình bình hành  M trung điểm A ' H Dễ chứng minh IOMH hình bình hành nên OI / / KM  OM  IH  IK Nhận thấy IK cắt IH IH / / OM  IK khơng song song với OM Suy OIKM hình thang cân g) Chứng minh KF HE  KE.KF DFE  DFH  CFE  DBH  CBE  2DBH ACB) Vì MBE cân M nên MEB  MBE mà MBE  DAC (cùng phụ với HAE  HKE (do AEHF tứ giác nội tiếp)  MEH  MKE  MEH ∽ MKE  g g   EH ME  EK MK FH MF  FK MK EH FH   EH FK  EK FH EK FK Tương tự : mà ME  MF nên h) Tiếp tuyến A K đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt T Chứng minh TM , AH , EF đồng quy Gọi P giao điểm AK với BC, ta có : AFK  AHK  APD suy tứ giác HKPD nội tiếp Do KFP  KBP  KAC  KAE  180  KFE nên E , F , P thẳng hàng Ta có TIK  AHK  DPK  KTI ∽ KPD  KPI ∽ KMT nên PIK  MTK Mà IK  TK nên PI  MT Xét IMP có EF  IM , TM  IP, ID  MP  MT , EF , AD đồng quy Câu (1,0 điểm) c) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh : ab bc ac    ab bc ac Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có : ab ab ab ab a  b     a  b ab ab bc b  c ac ac  ;  ac Suy : Tương tự ta có : b  c ab bc ac abbcca     ab bc ac Dấu xảy a  b  c  d) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  abc Tìm giá trị lớn a  b  ab  biểu thức Ta có : a b c   a  bc b  ac c  ab a2 b2 c2 P   a  abc b  abc c  abc a b c    a  ab  bc  ca b  ab  bc  ca c  ab  bc  ca a b c     a  b  a  c   a  b  b  c   c  b   a  c  Áp dụng bđt Co-si ta có : 1   ab ac  a  b  b  c  1 1       a  b  b  c  a  b a  c  1 b b       ;  a  b  b  c  a  b b  c  b Tương tự ta có : Từ (1), (2), (3) ta có : c  c  b  a  c  1 c c      2cb ac  a a b b c c  1 a b c b a c  P              a b a c bc a b c b a c  2 a b c b a c  Max P   a  b  c  Vậy Câu (1,0 điểm) P  n  13n  1  2n  1 c) Chứng minh với số nguyên n biểu thức chia hết cho Nếu n chẵn  nM2 , n lẻ  13n  1M2  P M2  b  ¢  Nếu n   mod   P M3 n  1 mod    2n  1 M3 Nếu n   mod 3   13n  1 M3  P M3 2,3   P M6  n  ¢  Mà   2 d) Tìm tất cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn 3x  y  x   xy  y   x  y  x   xy  y    y   x  1 y  x  x    1 Ta xem phương trình (1) phương trình bậc ẩn y với x tham số  '   x  1   x  x    5 x2  Để phương trình (1) có nghiệm : x   ( x  ¢ )  x   1; 0;1 x   '   5 x    x  1;1  1; 1 ;  0; 1 ;  1;  ,  1;  Thay vào (1) ta đượ nghiệm nguyên  ... nhiên số từ tập S Tính xác suất để lấy số phương không vượt 2022  Không gian mẫu :  2 2 Theo đề ta có : 1000  n  2022  32  n  44 , nên số số phương : 1000;1001; ;9999  n  9000 13 44... (giờ) Thực tế làm : x  (sản phẩm) 68 Thời gian thực tế người hồn thành công việc x  (giờ) Theo đề ta có phương trình :  x  9(tm) 54 68     x  54 x  486    x x3  x  54( ktm) Vậy...  x   1; 0;1 x   '   5 x    x  1;1  1; 1 ;  0; 1 ;  1;  ,  1;  Thay vào (1) ta đượ nghiệm nguyên 