SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LẠNG SƠN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LẠNG SƠN NĂM HỌC 2022-2023 MƠN : TỐN CHUN ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Trắc nghiệm: 2,5 điểm Mỗi ý 0,25 điểm 1.Biểu thức P = x−9 A.x ≤ có nghĩa B.x ≥ −9 ( −7 ) 72 + C.x ≤ −9 2.Kết phép tính A.14 y= 3.Giá trị hàm số A.3 98 B x C.0 x = −3 4.Cho hai điểm A, biết C − Số đo ∠BOC B.135° C.145° 5.Đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆ABC ABC ( O) B, C cắt D.90° có bán kính R = 12cm, Độ dài cạnh : A.24 3cm 6.Cho B.6 3cm ∆ABC vuông A có A.30 2cm 7.Cho cao D − thuộc đường tròn (O) Hai tiếp tuyến ∠BAC = 45° A.45° D.-14 B.1 B, C D.x ≥ BC = 30cm B.15 2cm ∆ABC AH C 12 3cm vuông A, đường cao D.9 3cm Bán kính đường trịn ngoại tiếp C.15cm AH , biết 8.Parabol B.9cm y = x2 C.25cm : D.24cm BH = 2cm, CH = 32cm Độ dài đường A.20cm ∆ABC D.8cm đường thẳng sau khơng có điểm chung ? A y = x+5 B y = − x − 9.Số giao điểm hai đồ thị A.2 C y = x − y = x2 B.3 10.Biết ( x0 ; y0 ) y = 5x + D y = − x + C.0 D.1 nghiệm hệ phương trình 2 x − y = x + 5y = Khi giá trị biểu 2x − y thức 2 A.1 C − B.7 A= Câu (1,0 điểm) Cho biểu thức a) b) D − x2 + x x − x2 − x x + x − x > + + ÷ x x− x x−x x x ≠1 Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Câu (1,5 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình sau : a )3 x − + x + = x − xy − x + 12 y − = b) 2 x + y − xy + x − 16 = Câu (1,0 điểm) a) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn phương trình x + xy − x − y + = b) Cho x, y , z số thực dương, thỏa mãn T= biểu thức x x + x +8 y y y y +8 z + x + y + z = z z z +8 x Tìm giá trị nhỏ Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB > AC ) tâm O Tiếp tuyến với đường tròn (O) A cắt đường thẳng chân đường vng góc kẻ từ A cắt đường trịn K ( BC đến BC, E điểm đối xứng chân đườn vng góc kẻ từ A đến ( O) , nội tiếp đường tròn BE I Gọi trung điểm D Gọi A qua AH , M BC , H là đường thẳng BI K ≠ B) a) Chứng minh tứ giác b) Chứng minh c) Chứng minh AIMK EK ⊥ DK BD nội tiếp đường tròn tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK Câu (1,0 điểm) a) Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d Tính giá trị b) Trên mặt phẳng kính 1cm S = P ( −3) + 5.P ( 5) Oxy cho 2023 chứa khơng thỏa mãn P ( 1) = 4; P ( ) = 6, P ( 3) = 10 điểm Chứng minh tồn tai hình trịn bán 1012 điểm cho ĐÁP ÁN Câu Trắc nghiệm 1D 2A 3A 4B 5C 6C 7D A= Câu (1,0 điểm) Cho biểu thức 8B 9A 10B x2 + x x −1 x2 − x x + x −1 x > + + ÷ x x− x x−x x x ≠1 Rút gọn biểu thức A c) x + x x −1 x2 − x x + x − x > A= + + ÷= x x− x x−x x x ≠1 ( )( x( ) +( )( x −1 x + x +1 x −1 x2 + + x = x2 + + x + x + − x + x −1 x2 + x + = x x d) A= ) x ( 1− x) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x > 0, x ≠ Với ) x −1 )( x +1 x − x +1 = , ta có : x2 + x + 1 1 = x x +2+ =x x+ + + x x x x x +2 ≥ 4 x x 1 x x x MinA = Vậy +2=4 3 +2 3 +2⇔ x = 3 Câu (1,5 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình sau : a )3 x − + x + = ( x ≥ 1) ⇔ x − − + x + − = x −1 −1 4x +1− + =0 x −1 +1 4x +1 + 3 4 ⇔ ( x − 2) + + > 0) = ⇔ x = 2( 4x +1 + x −1 + 4x +1 + x −1 +1 ⇔3 ( ) x −1 −1 + 4x + − = ⇔ x=2 Vậy x − 3xy − x + 12 y − = ( 1) b) 2 x + y − xy + x − 16 = ( ) Từ (1) ta có : x − xy − x + 12 y − = ⇔ ( x − x − ) − ( xy − 12 y ) = x = ⇔ ( x − 4) ( x + 2) − y ( x − 4) = ⇔ ( x − ) ( x + − y ) = ⇔ x = 3y − Với x=4 ⇒ ( ) ⇔ 42 + y − 3.4 y + 4.4 − 16 = ⇔ y − y + = y = ⇔ ( y − 2) ( y − 4) = ⇔ y = Với x = 3y − ( y − 2) thay vào (2) ta : + y − ( y − ) y + ( y − ) − 16 = y = −5 ⇒ x = −17 ⇔ ⇔ y + y − 10 = ⇔ y = 2⇒ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu (1,0 điểm) ( 4; ) , ( 4; ) , ( −17; −5) , ( 4; ) Tìm tất cặp số nguyên c) ( x; y ) thỏa mãn phương trình x + xy − x − y + = ⇔ x − x + + xy − y = −3 ⇔ ( x − 3) + y ( x − 3) = ⇔ ( x − 3) ( x − + y ) = = 1.3 = 3.1 = −1 − = −3 − x − = x = *) ⇔ x − + y = y = x − = −1 x = *) ⇔ x − + y = −3 y = − Vậy ta có cặp số x − = x = *) ⇔ x − + y = y = x − = −3 x = *) ⇔ x − + y = y = ( 4;1) ; ( 6; −1) , ( 2; −1) , ( 0;1) x + y + z = x, y , z Cho d) số thực dương, thỏa mãn T= biểu thức y3 y x3 x + x +8 y y +8 z + Tìm giá trị nhỏ z3 z z +8 x (BÍ) Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A ( AB > AC ) , nội tiếp đường tròn tâm O Tiếp tuyến với đường tròn (O) A cắt đường thẳng Gọi M BC , H chân đường vng góc kẻ từ A đường thẳng cắt đường trịn ( O) D đến BC, E điểm đối xứng chân đườn vng góc kẻ từ A đến BI BC K ( BE I Gọi trung điểm K ≠ B) A AH , qua d) Chứng minh tứ giác Ta có M trung điểm AE ( E AIMK nội tiếp đường tròn điểm đối xứng Aqua BC M chân đường I vng góc kẻ từ A đến BC); trung điểm ∆AHE → MI / / EH ⇒ ∠AMI = ∠AEB Lại có ∠AEB = ∠AKI AH ⇒ MI đường trung bình (hai góc đồng vị) (hai góc nội tiếp chắn cung AB) ⇒ ∠AMI = ∠AKI ( = ∠AEB ) AIMK Tứ giác có hai đỉnh tứ giác nội tiếp e) Chứng minh M,K nhìn cạnh EK ⊥ DK AI góc nên Ta có A BC ⇒ BC E đối xứng qua trung trực AE nên OA = OE suy E ∈( O) ∆OED = ∆OAC (c.c.c) ⇒ ∠OED = ∠OAD = 90° ⇒ OE ⊥ DE tuyến (O)nên Lại có ∠DEK = ∠KAE (cùng chắn cung AE) E ∈ ( O) nên DE tiếp ( 1) ∠DMA = 90° ( AM ⊥ BC ) ; ∠AIM = 90° ( MI / / EH , AH ⊥ BE ) Tứ giác AIMK nội tiếp ⇒ ∠DMK = ∠DMA − ∠KMA = 90° − ∠KMA = 90° − ∠KIA = ∠KIM = ∠KAM ( ) Từ (1), (2) ta có DK ∠DEK = ∠DMK ⇒ góc ⇒ tứ giác DKME có hai đỉnh E, M nhìn cạnh tứ giác DKME nội tiếp nên : ∠DKE = ∠DME = 90° ⇒ DK ⊥ EK f) Chứng minh BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK Tứ giác DKME ∠KEA = ∠DAK nội tiếp suy ∠KDB = ∠KEA (hai góc nội tiếp chắn cung KM ) (hai góc nội tiếp chắn cung AK) ⇒ ∠KDB = ∠DAK ( = ∠KEA ) ⇒ DB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp (định lý đảo định lý góc tạo tia tiếp tuyến dây cung) ∆ADK Câu (1,0 điểm) c) Cho đa thức P ( x) = x + ax + bx + cx + d Tính giá trị S = P ( −3) + 5.P ( 5) thỏa mãn P ( 1) = 4; P ( ) = 6, P ( 3) = 10 P ( x ) = x + ax + bx + cx + d Xét đa thức Giả sử Do P ( x ) = x + ax3 + bx + cx + d = ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) ( x − q ) + mx + nx + p P ( 1) = 4, P ( ) = 6, P ( 3) = 10 , nên thay vào, ta có : m + n + p = m = 4m + 2n + p = ⇔ n = −1 9m + 3n + p = 10 p = ⇒ P ( x) = ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) ( x − q ) + x − x + ⇒ P ( −3) = 120q + 376; P ( ) = 144 − 24q ⇒ S = P ( −3) + P ( ) = 120q + 376 + 5.144 − 5.24q = 1096 Vậy S = 1096 d) Trên mặt phẳng bán kính Gọi 2023 AB 1cm Oxy 2023 điểm Chứng minh tồn tai hình trịn chứa khơng 1012 điểm cho đoạn thẳng có độ dài lớn số cấc đoạn thẳng nối số điểm cho AB ≤ Nếu hình trịn nhiên Nếu cho AB > ( A;1) chứa toàn 2023 điểm cho, khẳng định hiển , xét điểm C số 2021 điểm cịn lại Theo giả thiết, ta có AC