a đề vào 10 hệ chuyên toán 2022 2023 tỉnh phú thọ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG Năm học : 2022-2023 Mơn : TỐN CHUN Câu (2,0 điểm) a) Cho phương trình x  x   8m  Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn  x1  x2 2 b) Gọi a, b, c số thực thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  2 Tính giá trị biểu thức A  a   3bc Câu (2,0 điểm) P x  x  ax  bx  c P 2  29, a) Xác định hệ số a, b, c đa thức   , Biết   P  1  5 P  3  b) Cho n số nguyên dương cho 4n  13 5n  16 số phương Chứng minh 2023n  45 chia hết cho 24 Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình  17 x     x  x  3 x   x  3x  22   Gọi H hình chiếu b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm  vng góc A trục Ox Tìm số điểm nguyên nẳm tam giác OAH (Điểm ngun điểm có hồnh độ tung độ số nguyên) A 146; 2022 O; R  O '; R '  Câu 4.(3,0 điểm) Cho hai đường tròn   cắt hai điểm A B O , O ' AB ) Đường thẳng AO cắt (O) ( R  R ' thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ  O ' C M, đường thẳng AO ' cắt (O) (O ' ) N D  C , D, M , N  A  Gọi K trung điểm CD; H giao điểm CN DM a) Chứng minh năm điểm M , N , O, K , B thuộc đường tròn I b) Gọi   đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E điểm đối xứng C qua B; P giao điểm AE HD; F giao điểm BH với  I   F  H  ; Q giao điểm CF với BP Chứng minh BP  BQ c) Chứng minh IBP  90 Câu (1,0 điểm) Cho x, y , z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu P thức : x4  x  y  y4  y  z  z4  z  x ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) c) Cho phương trình x  x   8m   1 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn  x1  x2 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt   '   12  8m   m    x1  x2   Vì x1 , x2 nghiệm (1) nên  x1 x2   8m  x1  1   x2  1   x1  x2   x1  x2     x1 x2   x1  x2     x1  1  x2  1  Ta có 8    8m    m     8m    3  m giá trị cần tìm Vậy 2 2 d) Gọi a, b, c số thực thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  Tính giá trị biểu thức A  a   3bc 2 2 2 Ta có a  b  c  ab  bc  ca  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca   a  b   b  c   c  a   a  b  c 2 2 Mà a  b  c   a  b  c   A  a   3bc  11 Câu (2,0 điểm) c) Xác định hệ số a, b, c đa thức P  x   x  ax  bx  c , Biết P  2   29, P  1  5 Vì P  2   29 P  3  nên ta có 8  4a  2b  c  29  4a  2b  c  21 P  1    a  b  c  5  a  b  c  6 P  3   27  9a  3b  c   9a  3b  c  26 4a  2b  c  21 a  3    b  a  b  c  6 9a  3b  c  26 c  5   Ta có hệ phương trình : Vậy a  3, b  2, c  5 d) Cho n số nguyên dương cho 4n  13 5n  16 số phương Chứng minh 2023n  45 chia hết cho 24 2 5n  16  b  a, b  ¥ * Giả sử 4n  13  a , từ 4n  13  a  a số lẻ Ta có 4n  13  a   n  3  a    n  3   a  1  a  1 a  1  a  1 M Vì a số lẻ nên a  1; a  hai số chẵn liên tiếp,    n  3 M2  n Lại có Ta có Mà số lẻ  b  5n  16 số lẻ 5n  16  b   n  3   b  1  b  1 M8 5,8    n  3 M  1 , Mà   a  b  9n  29   mod 3 a   0;1 (mod 3), b   0,1 (mod 3)  a  b  1 mod   4n  13  1 mod 3    n  3   mod    5n  16  1 mod 3 3;8  n  3 M24 Vì   nên từ (1) (2) suy  Từ 2023n  45  2016   n  3  24 M24( dfcm) Câu (2,0 điểm) c) Giải phương trình  17 x     x  x  3 x   x  x  22  2x    x   Điều kiện :  1  x  34 x  44 x  12   x  x  3 x   Phương trình (1)   x  3  x  16 x    x  1 x     x  3(tm)  6 x  16 x    x  1 x       x  1   x     x  1 x     Phương trình (2) Khi x  khơng thỏa mãn phương trình (3) Khi x   2x    2x  2x  x   6     3  2 x 1  2x   x  1  2   x 1  x  13  67  2x  x     9 x  26 x  11   x 1   2x  x 1  29    2 x    x  10 x    x 1  13  67  29  x  3; ;     Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trình A  146; 2022  Oxy, H d) Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm Gọi hình chiếu vng góc A trục Ox Tìm số điểm nguyên nẳm tam giác OAH (Điểm ngun điểm có hồnh độ tung độ số nguyên) H 146;0  Vì H hình chiếu vng góc A trục Ox nên  Gọi B hình chiếu vng góc A trục Oy, suy B  0; 2022  Gọi C trung điểm đoạn OA, suy Điểm M  x0 ; y0   x0 ; y0  ¢  M '  x0 '; y0 '   x0 '; y0 '  ¢  C  73;1011 điểm nguyên nằm OAH điểm đối xứng với điểm M qua C nằm OAB Do số điểm nguyên nằm tâm giác OAH (số điểm nguyên nằm hình chữ nhật ABOH trừ số điểm nguyên nằm đoạn thẳng OA) Số điểm nguyên nằm hình chữ nhật ABOH 145.2021  293045 y 1011 x 73 Từ kiểm tra số điểm nguyên Phương trình đường thẳng OA đoạn thẳng OA (trừ điểm O A) 293045   146522 Vậy số điểm nguyên OAH    cắt hai điểm A Câu 4.(3,0 điểm) Cho hai đường tròn  B ( R  R ' O, O ' thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ AB) Đường thẳng O; R O '; R ' AO cắt (O)  O '  C M, đường thẳng AO ' cắt (O) (O ' ) lần C , D, M , N  A  lượt N D  Gọi K trung điểm CD; H giao điểm CN DM d) Chứng minh năm điểm M , N , O, K , B thuộc đường tròn O )  AD  CH Ta có ANC  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn   CMD  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  O ' )  AC  DH Suy A trực tâm HCD  HA  CD  H , A,B thẳng hàng Dễ có tứ giác CDMN nội tiếp đường trịn tâm K  MKN  2MCN (góc nội tiếp góc tâm chắn cung MN)  HCM  HDN  1 Ta có tứ giác ABCN nội tiếp  ACN  ABN (góc nội tiếp chắn cung AN) Tứ giác ABDM nội tiếp  ADM  ABM (góc nội tiếp chắn cung AM) Kết hợp với (1) suy ABN  ABM  ACN  MKN  MBN  2ACN     Ta có Từ (2) (3) suy điểm M , N , O, K , B thuộc đường tròn MON  2ACN  MBN e) Gọi  I  đường tròn ngoại tiếp tam giác HCD; E điểm đối xứng C qua B; P giao điểm AE HD; F giao điểm BH với  I   F  H  ; Q giao điểm CF với BP Chứng minh BP  BQ Xét tứ giác ACFE có hai đường chéo CE  AF trung điểm B CE   Ta có DCM  BHD (cùng phụ với CDH ) Mà BHD  DCF (góc nội tiếp » chắn DF )  DCM  DCF   Từ (1) (2) suy ACFE hình thoi Xét BFE BQC có BEP  BCQ (so le trong), BE  BC , EBP  CBQ (đối đỉnh)  BPE  BQC ( g c.g )  BP  BQ(dfcm) f) Chứng minh IBP  90 I Gọi S , T giao điểm BQ   (như hình vẽ) Xét tứ giác ADEH có AED  AHD (cùng ACE ), suy tứ giác ADEH nội tiếp  PD.PH  PA.PE  PT PS Từ BPE  BQC  PE  QC  PA  QF  PA.PE  QF QC  QS QT Vậy QS QT  PT PS  QS  PQ  PT   PT  PQ  QS   QS PQ  QS PT  PT PQ  PT QS  QS PQ  PT QS  QS  PT  B trung điểm ST nên IB  ST  IBP  90  dfcm  Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương Tìm giá trị nhỏ P biểu thức : P Ta có a x4  x  y y    1 x    y4  y  z z   y  1     z4  z  x 4 x   1  z  1 y z x abc   P    4 , b  ; c   a , b, c   a  1  b  1  c  1 x y z Đặt Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có : 1 1 1  2  4 (a  1) 16 16  a  1  a  1  b  1  P  1  ; 16  b  1  c  1  Tương tự ta có : 1  16  c  1 1 1       16   a  1  b  1  c  1  a  1 Ta chứng minh  Thật vậy:  a  1    b  1  b  1   1  ab với a, b  2 2   a  1   b  1    ab    a  1  b  1    ab   a  b  2a  2b     ab    ab  a  b  1   a  b  2a  2b     ab    ab  a  b    ab  a  b     ab  a  b   2ab  a 2b  ab  a  b    ab  1  (luôn đúng) Dấu xảy a  b  2 Tương tự có : P  c  1    1  1 ab   1 c 1 ab  ab Khi : 1 1  1 ab 1 3 3             2 2   a  1  b  1  c  1  16   ab ab   16 16 16 Vậy Min P   a  b  c 1 x  y  z 16