SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LAI CHÂU ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 20220-2023 MƠN THI : TỐN CHUN Thời giang làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức a) b) a −1 a + a a a > 0 A = 1 + : + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ a − a a −1 a − a a ≠ Rút gọn biểu thức A A= a Tính giá trị Câu (2,0 điểm) Cho phương trình a) b) có với m tham số m=2 Giải phương trình với m Tìm tất giá trị thỏa mãn biểu thức x − x + m + = ( 1) để phương trình ( 1) x + x = ( x1 + x2 ) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 2 Câu (2,0 điểm) x + + x2 − x + = x a) Giải phương trình : b) Giải hệ phương trình : xy − x − y = 1( 1) 3 x − 12 x + x = − y + y + ( ) Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn OA = R ( O; R ) Từ A kẻ tiếp tuyến Đường thẳng OA cắt dây BC tuyến M đường tròn lượt điểm P, Q AB, AC I Gọi ( O) cắt A cố định bên đường tròn, đến đường tròn M ( O) (B, C tiếp điểm) điểm di động cung nhỏ AB, AC E, F Dây BC cắt BC Tiếp OE , OF lần ∠ABI = 60° a) Chứng minh b) Chứng minh c) Xác định vị trí điểm nhỏ EF = PQ M tứ giác cung nhỏ OBEQ BC tứ giác nội tiếp cho tam giác OPQ có diện tích Câu (1,0 điểm) x, y , z Cho số thực dương thỏa mãn S = 10 x + 10 y + z biểu thức 2 xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) a −1 a + a a a > 0 A = 1 + : + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ a − a a −1 a − a a ≠ Cho biểu thức Rút gọn biểu thức c) A a −1 a + a a a > 0 A = 1 + : + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ a − a a −1 a − a a ≠ a a +1 a −1 a = 1+ : + a a −1 a −1 a + a a −1 ( = d) ( ) ( )( A= a Khi ) Vậy 4 a= 16 Câu (2,0 điểm) Cho phương trình Với ) a −1 16 = ⇒ a − = a ⇔ a = (tm) a ⇔ A= Giải phương trình với c) ( a +1 a +1 a −1 : = a a −1 a Tính giá trị A= ) x − x + m + = ( 1) có với m tham số m=2 x =1 m = ⇒ ( 1) ⇔ x − x + = ⇔ x = d) Tìm tất giá trị x1 ; x2 Ta có : m thỏa mãn biểu thức ∆ ' = − ( m + 1) = − m + để phương trình x + x = ( x1 + x2 ) ( 1) có hai nghiệm phân biệt 2 Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : ∆ ' > ⇔ −m + > ⇔ m < Áp dụng hệ thức Vi-et ta có : x1 + x2 = x1 x2 = m + Khi : x12 + x22 = ( x1 + x2 ) ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) ⇔ 16 − ( m + 1) = 20 ⇔= −2m = ⇔ m = −3(tm) Vậy m = −3 Câu (2,0 điểm) c) Giải phương trình : Điều kiện : x ≥ x − 4x +1 ≥ x + + x2 − 4x + = x Bình phương hai vế, ta có : x − 11x + + ( x + 1) x − x + = ⇔ − ( x + x + 1) + ( x − x + 1) + ( x + 1) x − x + = Đặt x2 + 2x + = a ( a ≥ 0) x − x + = b ( b ≥ ) Ta có : a = −b − a + 5b − 4ab = ⇔ ( a + b ) ( 5b − a ) = ⇔ 5b = a *)a = −b ⇒ x + x + = − x − x + 1( ktm) *)5b = a ⇒ x + x + = x − x + ⇔ x + x + = 25 ( x − x + 1) x = ⇔ 24 x − 102 x + 24 = ⇔ x = Vậy 1 x ∈ 4; 4 d) Đặt Giải hệ phương trình : z = y −1 xy − x − y = 1( 1) 3 4 x − 12 x + x = − y + y + ( ) , hệ phương trình thành : yz = z + yz = z + yz = z + ⇔ ⇔ y = − z 3 y − 3y z + 4z y − y ( z + ) + z = y = z + 17 + 17 + 17 ;y= ;x = z = 4 ⇔ − 17 − 17 − 17 ;y= ;x = z = 4 + 17 + 17 − 17 − 17 ; ; ÷; ÷ ÷ ÷ ( x; y ) ∈ Vậy hệ phương trình có hai nghiệm Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn OA = R điểm Từ A kẻ tiếp tuyến điểm) Đường thẳng BC ( O; R ) OA cắt dây AB, AC BC A cố định bên ngồi đường trịn, đến đường tròn I Gọi Tiếp tuyến M đường tròn ( O) cắt M ( O) (B, C tiếp điểm di động cung nhỏ AB, AC E, F Dây BC cắt OE , OF d) P, Q Chứng minh Ta có : OB = OC = R, AB = AC trực BC hay BC ⊥ OA cos ∠ABI = cos ∠AOB = e) tứ giác OBEQ ⇒ OA đường trung I Do : Mà ∠MOC + ∠BOM ∠BOC = = ∠AOB = 60° ⇒ ∠EOF = ∠BOI 2 ∠ABI = ∠FOE = 60° ⇒ ∠QBE = ∠QOE ⇒ OBEQ Chứng minh tứ giác nội tiếp (tính chất hai tiêp tuyến cắt nhau) OB = 0,5 ⇒ ∠ABI = 60° OA ∠EOF = ∠MOF + ∠EOM = Từ : ∠ABI = 60° EF = PQ tứ giác nội tiếp ∠OQP = ∠OEB = ∠OEF ⇒ ∆OQP ∽ ∆OEF ⇒ Ta có Mặt khác ∠OBE = ∠OQE = 180° mà ∠OBE = 90° ⇒ ∠OQE = 90° ⇒ ∠OEQ = 90° − ∠EOF = 30° f) Xác định vị trí điểm tích nhỏ M ⇒ sin OEQ = cung nhỏ Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt ∆OQP ∽ ∆OEF ⇒ Vì SOQP S FOE = PQ OQ = PE OE BC OQ ⇒ = ⇒ EF = PQ OE cho tam giác AB, AC OPQ có diện K, H S FE R.FE = ⇒ SOPQ = FOE = PQ 4 mà R ∠K = ∠BOI = 60° ⇒ HC = KB = OB.cot K = Ta có : FE = FM + EM = FC + EB = HF − HC + KE − BK = HF + KE − HC − BK = ( HF + KE ) − HC ≥ HF KE = 2R Mặt khác ta có : ∆HFO ∽ ∆OFE ; ∆KOE ∽ ∆OFE ⇒ ∆HFO ∽ ∆KOE ⇒ ⇒ HF KE = OK OH = OK = FH HO = OK EK 4R2 S R.FE R ⇒ SOPQ = FOE = ≥ 8 M nằm cung BC Câu (1,0 điểm) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn S = 10 x + 10 y + z biểu thức xy + yz + zx = x + y ≥ xy;16 x + z ≥ zx;16 y + z ≥ yz Ta có : Cộng vế theo vế bất đẳng thức chiều ta có : Tìm giá trị nhỏ x = y = S ≥ ( xy + yz + zx ) ≥ 36 ⇒ Min S = 36 ⇔ z = ... x + 1) x = ⇔ 24 x − 102 x + 24 = ⇔ x = Vậy 1 x ∈ 4; 4 d) Đặt Giải hệ phương trình : z = y −1 xy − x − y = 1( 1) 3 4 x − 12 x + x = − y + y + ( ) , hệ phương trình thành... nội tiếp cho tam giác OPQ có diện tích Câu (1,0 điểm) x, y , z Cho số thực dương thỏa mãn S = 10 x + 10 y + z biểu thức 2 xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) a −1 a + a a... R.FE R ⇒ SOPQ = FOE = ≥ 8 M nằm cung BC Câu (1,0 điểm) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn S = 10 x + 10 y + z biểu thức xy + yz + zx = x + y ≥ xy;16 x + z ≥ zx;16 y + z ≥ yz Ta có : Cộng vế theo