Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh lai châu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LAI CHÂU ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 20220-2023 MƠN THI : TỐN CHUN Thời giang làm : 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức a) b)  a −1   a + a a  a > 0 A = 1 + : + ÷  ÷ ÷ ÷ ÷  a − a   a −1 a − a   a ≠  Rút gọn biểu thức A A= a Tính giá trị Câu (2,0 điểm) Cho phương trình a) b) có với m tham số m=2 Giải phương trình với m Tìm tất giá trị thỏa mãn biểu thức x − x + m + = ( 1) để phương trình ( 1) x + x = ( x1 + x2 ) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 2 Câu (2,0 điểm) x + + x2 − x + = x a) Giải phương trình : b) Giải hệ phương trình :  xy − x − y = 1( 1)  3  x − 12 x + x = − y + y + ( ) Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn OA = R ( O; R ) Từ A kẻ tiếp tuyến Đường thẳng OA cắt dây BC tuyến M đường tròn lượt điểm P, Q AB, AC I Gọi ( O) cắt A cố định bên đường tròn, đến đường tròn M ( O) (B, C tiếp điểm) điểm di động cung nhỏ AB, AC E, F Dây BC cắt BC Tiếp OE , OF lần ∠ABI = 60° a) Chứng minh b) Chứng minh c) Xác định vị trí điểm nhỏ EF = PQ M tứ giác cung nhỏ OBEQ BC tứ giác nội tiếp cho tam giác OPQ có diện tích Câu (1,0 điểm) x, y , z Cho số thực dương thỏa mãn S = 10 x + 10 y + z biểu thức 2 xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm)  a −1   a + a a   a > 0 A = 1 + : + ÷  ÷ ÷ ÷ ÷  a − a   a −1 a − a   a ≠  Cho biểu thức Rút gọn biểu thức c) A  a −1   a + a a  a > 0 A = 1 + : + ÷  ÷ ÷ ÷ ÷  a − a   a −1 a − a   a ≠      a a +1 a −1   a   = 1+ : +    a a −1 a −1 a + a a −1      ( = d) ( ) ( )( A= a Khi ) Vậy 4 a= 16 Câu (2,0 điểm) Cho phương trình Với ) a −1 16 = ⇒ a − = a ⇔ a = (tm) a ⇔ A= Giải phương trình với c) ( a +1 a +1 a −1 : = a a −1 a Tính giá trị A= ) x − x + m + = ( 1) có với m tham số m=2 x =1 m = ⇒ ( 1) ⇔ x − x + = ⇔  x = d) Tìm tất giá trị x1 ; x2 Ta có : m thỏa mãn biểu thức ∆ ' = − ( m + 1) = − m + để phương trình x + x = ( x1 + x2 ) ( 1) có hai nghiệm phân biệt 2 Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : ∆ ' > ⇔ −m + > ⇔ m < Áp dụng hệ thức Vi-et ta có :  x1 + x2 =   x1 x2 = m + Khi : x12 + x22 = ( x1 + x2 ) ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ( x1 + x2 ) ⇔ 16 − ( m + 1) = 20 ⇔= −2m = ⇔ m = −3(tm) Vậy m = −3 Câu (2,0 điểm) c) Giải phương trình : Điều kiện : x ≥  x − 4x +1 ≥ x + + x2 − 4x + = x Bình phương hai vế, ta có : x − 11x + + ( x + 1) x − x + = ⇔ − ( x + x + 1) + ( x − x + 1) + ( x + 1) x − x + = Đặt  x2 + 2x + = a ( a ≥ 0)    x − x + = b ( b ≥ ) Ta có :  a = −b − a + 5b − 4ab = ⇔ ( a + b ) ( 5b − a ) = ⇔  5b = a *)a = −b ⇒ x + x + = − x − x + 1( ktm) *)5b = a ⇒ x + x + = x − x + ⇔ x + x + = 25 ( x − x + 1) x = ⇔ 24 x − 102 x + 24 = ⇔  x =  Vậy  1 x ∈ 4;   4 d) Đặt Giải hệ phương trình : z = y −1  xy − x − y = 1( 1)  3 4 x − 12 x + x = − y + y + ( ) , hệ phương trình thành :  yz = z +  yz = z +  yz = z +  ⇔ ⇔  y = − z  3  y − 3y z + 4z  y − y ( z + ) + z =  y = z   + 17 + 17 + 17 ;y= ;x = z = 4 ⇔  − 17 − 17 − 17 ;y= ;x = z =  4  + 17 + 17   − 17 − 17   ; ; ÷;  ÷ ÷ ÷      ( x; y ) ∈  Vậy hệ phương trình có hai nghiệm Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn OA = R điểm Từ A kẻ tiếp tuyến điểm) Đường thẳng BC ( O; R ) OA cắt dây AB, AC BC A cố định bên ngồi đường trịn, đến đường tròn I Gọi Tiếp tuyến M đường tròn ( O) cắt M ( O) (B, C tiếp điểm di động cung nhỏ AB, AC E, F Dây BC cắt OE , OF d) P, Q Chứng minh Ta có : OB = OC = R, AB = AC trực BC hay BC ⊥ OA cos ∠ABI = cos ∠AOB = e) tứ giác OBEQ ⇒ OA đường trung I Do : Mà ∠MOC + ∠BOM ∠BOC = = ∠AOB = 60° ⇒ ∠EOF = ∠BOI 2 ∠ABI = ∠FOE = 60° ⇒ ∠QBE = ∠QOE ⇒ OBEQ Chứng minh tứ giác nội tiếp (tính chất hai tiêp tuyến cắt nhau) OB = 0,5 ⇒ ∠ABI = 60° OA ∠EOF = ∠MOF + ∠EOM = Từ : ∠ABI = 60° EF = PQ tứ giác nội tiếp ∠OQP = ∠OEB = ∠OEF ⇒ ∆OQP ∽ ∆OEF ⇒ Ta có Mặt khác ∠OBE = ∠OQE = 180° mà ∠OBE = 90° ⇒ ∠OQE = 90° ⇒ ∠OEQ = 90° − ∠EOF = 30° f) Xác định vị trí điểm tích nhỏ M ⇒ sin OEQ = cung nhỏ Qua O kẻ đường thẳng vng góc với OA cắt ∆OQP ∽ ∆OEF ⇒ Vì SOQP S FOE = PQ OQ = PE OE BC OQ ⇒ = ⇒ EF = PQ OE cho tam giác AB, AC OPQ có diện K, H S FE R.FE = ⇒ SOPQ = FOE = PQ 4 mà R ∠K = ∠BOI = 60° ⇒ HC = KB = OB.cot K = Ta có : FE = FM + EM = FC + EB = HF − HC + KE − BK = HF + KE − HC − BK = ( HF + KE ) − HC ≥ HF KE = 2R Mặt khác ta có : ∆HFO ∽ ∆OFE ; ∆KOE ∽ ∆OFE ⇒ ∆HFO ∽ ∆KOE ⇒ ⇒ HF KE = OK OH = OK = FH HO = OK EK 4R2 S R.FE R ⇒ SOPQ = FOE = ≥ 8 M nằm cung BC Câu (1,0 điểm) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn S = 10 x + 10 y + z biểu thức xy + yz + zx = x + y ≥ xy;16 x + z ≥ zx;16 y + z ≥ yz Ta có : Cộng vế theo vế bất đẳng thức chiều ta có : Tìm giá trị nhỏ x = y = S ≥ ( xy + yz + zx ) ≥ 36 ⇒ Min S = 36 ⇔  z = ... x + 1) x = ⇔ 24 x − 102 x + 24 = ⇔  x =  Vậy  1 x ∈ 4;   4 d) Đặt Giải hệ phương trình : z = y −1  xy − x − y = 1( 1)  3 4 x − 12 x + x = − y + y + ( ) , hệ phương trình thành... nội tiếp cho tam giác OPQ có diện tích Câu (1,0 điểm) x, y , z Cho số thực dương thỏa mãn S = 10 x + 10 y + z biểu thức 2 xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm)  a −1   a + a a... R.FE R ⇒ SOPQ = FOE = ≥ 8 M nằm cung BC Câu (1,0 điểm) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn S = 10 x + 10 y + z biểu thức xy + yz + zx = x + y ≥ xy;16 x + z ≥ zx;16 y + z ≥ yz Ta có : Cộng vế theo