024 b đề vào 10 hệ chuyên môn toán tin 2022 2023 tỉnh hà nội

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi: TỐN – CHUN TIN Thời gian làm : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài (2,0 điểm) (x x2 − x + = a) b) Giải phương trình Cho số thực dương a , b, c + ) ( x + 1) thỏa mãn điều kiện abc = Tính giá trị biểu thức : 1 P= + + a ( b + c) + b ( c + a) + c ( a + b) + Bài (2,0 điểm) p a) Cho số nguyên tố lớn Chứng minh b) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) p + p2 chia hết cho thỏa mãn : x − x y + x = 5x − y − 2 Bài (2,0 điểm) a) Cho số thực dương a , b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 − ( a + b − c ) ≥ − b) x − 2bx + c = 0, x − 2cx + a = đoạn thẳng cho phương trình x − 2ax + b = 0, tam giác EF ABC có nghiệm số nguyên dương ABC với AB < AC , qua điểm H nội tiếp đường tròn Gọi I, K ( O) Ba đường cao trung điểm BC AI HI = AK HK a) Chứng minh b) Chứng minh đường thẳng IHK a , b, c Bài (3,0 điểm) Cho tam giác AD, BE , CF Chứng minh Tìm tất số nguyên dương abc = AH tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác EF Gọi P chân đường vng góc kẻ từ điểm H đến đường thẳng c) đường thẳng DP song song với đường thẳng Chứng minh AI m Bài 5.(1,0 điểm) Trên bảng có hai số tự nhiên n An Bình chơi trị chơi sau : Mỗi lượt chơi, bạng chọn hai số bảng để xóa vầ viết lên bảng số hiệu khơng âm số vừa xóa với ước số tự nhiên số vừa xóa Hai bạn luân phiên thực luật chơi Bạn thực lượt chơi người thua cuộc, người cịn lại người thắng Biết An người thực lượt chơi a) b) Với Với m = 2022 n = 2023, m = 2022, n = 1981 chiến thuật chơi An để An người thắng , chiến thuật chơi An để An người thắng ĐÁP ÁN Bài (2,0 điểm) (x x2 − 2x + = Giải phương trình c) Điều kiện : (x x ≥ −1 + ) ( x + 1) hay ( x2 + − x + )( ) x2 + + x + = S = { 0; 4} Cho số thực dương P= thức : Do (x  x = 0(tm) x + = x + ⇔ ⇔   x = 4(tm) Từ đó, ta có d) + ) ( x + 1) Phương trình cho viết lại thành : + ) − ( x + 1) = Vậy abc = a , b, c thỏa mãn điều kiện 1 + + a ( b + c) + b ( c + a) + c ( a + b) + nên 1 bc = = = a ( b + c ) + a ( b + c ) + abc a ( ab + bc + ca ) ( ab + bc + ca ) Chứng minh tương tự, ta có : abc = Tính giá trị biểu ca ab = , = b ( c + a ) + 3 ( ab + bc + ca ) c ( a + b ) + 3 ( ab + bc + ca ) P= ab + bc + ca = ( ab + bc + ca ) Do Bài (2,0 điểm) p + p2 p Cho số nguyên tố lớn Chứng minh chia hết cho Vì p số nguyên tố lớn nên p lẻ p không chia hết cho Do p lẻ nên hiểu nhiên c) p + p2 số chẵn ( 1) Do p không chia hết p chia dư 2, suy nên 5p +p p chia dư Từ đây, ta suy chia hết cho + p2 p2 ( 2) chia dư Mặt khác, p lẻ p Từ (1) (2), với ý (2, 3) = 1, có d) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) chia hết cho 2.3 = thỏa mãn : x − x y + x = 5x − y − 2 x3 − x2 + x + = y ( x − ) Phương trình cho viết lại thành Do x2 − ≠ nên từ đây, ta suy x3 − x + x + x − 5x + x + − ( x − ) ( x − 5) = x − chia hết cho chia hết cho 16 ( x − ) − ( x + ) ( x − ) = 49 chia hết cho x − ∈ { −1;1; 7; 49} x − ≥ −2 Từ x2 − 2 Và thế, ta có x2 − x2 − x ∈ { −1;1; −3;3} Vì nên từ kết trên, ta suy hay Lần lượt thay giá trị vào phương trình (1), ta tìm cặp số nguyên (x y) thỏa mãn yêu cầu đề (−1, 7), (1, 1) (–3, −11) Bài (2,0 điểm) c) Cho số thực dương a , b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 − ( a + b − c ) ≥ − abc = Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức AM − GM ≥c a + ≥ 4a , b + ≥ 4b , c + ta có : a ≥ 4a − 4, b ≥ 4b − 4; c ≥ c − Từ bất đẳng thức trên, ta suy : Do : 33 33 a + b + c − ( a + b − c ) ≥ a + b + 4c − ≥ 3 4abc − = − 4 Dấu xảy a=b=2 Tìm tất số nguyên dương d) x − 2bx + c = 0, x − 2cx + a = Gọi c= m a, b, c cho phương trình có nghiệm số nguyên dương nghiệm nguyên dương phương trình hay ( m − a) = a − b Suy b −c a2 − b Chứng minh tương tự, ta có a2 − b < a2 Nếu ta có phương, mâu thẫn Do đó, ta phải có a = Mà Vậy a, b, c a − b ≥ a − a = ( a − 1) + a − > ( a − 1) a , b, c Thử lại, ta thấy với x = số phương Khơng tính ( a; b; c ) = ( 1;1;1) Khi đó, ta có số phương c −a tổng quát, giả sử số lớn số a > 1, x − 2ax + b = a a = b = c = x − 2ax + b = 0, m − 2am + b = dương 2 nên a2 − b số a số nguyên dương lớn ba số nên a = b = c =1 ba phương trình có nghiệm ngun Bài (3,0 điểm) Cho tam giác AD, BE , CF tam giác đoạn thẳng d) Do nội tiếp ⇒ với AB < AC , qua điểm đường cao tam giác tương ứng trung điểm AI EI EF = = AK BK BC H Gọi I, K Ba đường cao trung điểm AI HI = AK HK ABC ⇒ ∠AEF = ∠ABC ⇒ ∆AEF ∽ ∆ABC ( g g ) I, K nội tiếp đường tròn ( O) BC Chứng minh AD, BE , CF Lại có EF ABC ABC EF nên ∠BEC = ∠BFC = 90° BC nên , suy tứ giác ∆AEI ∽ ∆ABK (c.g c) BFEC Ta có BC nên ∠HEF = ∠HCB ∆HFI ∽ ∆HBK (c.g c) Như vây, ta có : e) nên ⇒ ∆HEF ∽ ∆HCB( g g ) ∠NDK = 900 Lại có Từ suy Do f) AH tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam AD EF KI ⊥ EF nên nên tứ giác ∆HFI ∽ ∆HBK AH DNIK nội tiếp suy ∠ANI = ∠DKI ∠HIN = ∠HKD nên ∠ANI − ∠HIN = ∠DKI − ∠HKD hay ∠HKI = ∠NHI tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆IHK Gọi P chân đường vng góc kẻ từ điểm H đến đường thẳng đường thẳng DP song song với đường thẳng I Từ Ta có hình bình hành Suy QE ⊥ HF QF ⊥ HE ∆HEF ∽ ∆HCB( g.g ) ∆HEP ∽ ∆HCD ( g.g ) Từ suy QE / / AF EF Chứng minh AI Gọi Q điểm đối xứng với điểm A qua điểm I Do trung điểm AQ AEQF IHK KE = KF = KB = KC Mà EF AI HI = AK KH Gọi N giao điểm hai đường thẳng Do tương ứng trung điểm HI FI EF = = HK BK BC Chứng minh đường thẳng giác , mà I, K EF nên tứ giác QF / / AE hay Q trực tâm ∆HEF mà Q, A trực tâm hai tam giác nên ta suy ∆HEQ ∽ ∆HCA( g.g ) HP HD = ⇒ DP / / AI HQ HA (Định lý Talet đảo) m Bài 5.(1,0 điểm) Trên bảng có hai số tự nhiên n An Bình chơi trò chơi sau : Mỗi lượt chơi, bạng chọn hai số bảng để xóa vầ viết lên bảng số hiệu không âm số vừa xóa với ước số tự nhiên số vừa xóa Hai bạn luân phiên thực luật chơi Bạn thực lượt chơi người thua cuộc, người lại người thắng Biết An người thực lượt chơi Ở hai ý, An chọn số 2022 để xóa viết lên bảng số 2022–1 = 2021 lượt Khi đó, sau lượt chơi An, lại hai số lẻ Lúc đến lượt Bình thủ dù Bình chơi thể nữa, sau lượt Bình, bảng xuất số chẵn số lẻ (Bình chắn khơng thực cách chơi dễ số chẵn trở 0, lúc An đưa hai số bảng trở Bình khơng thể thực lượt chơi thua cuộc) Lúc An chọn số chân xóa độ viết lên bảng số với Trên lại xuất hai số lẻ đến lượt Bình An tiếp tục thực chiến thuật Rõ ràng An ln thực lượt chơi Vị trò chơi phải kết thúc nên đến lúc đó, Bình khơng thể thực lượt chơi, Bình thua